ΛΟΓΙΚΗ.

Παρουσίαση με θέμα: "ΛΟΓΙΚΗ."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΛΟΓΙΚΗ

2 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΤΗΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ
1. ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΛΟΓΙΚΗ; Η λογική ασχολείται κατά βάση με τη μελέτη διαδικασιών και κανόνων, με τους οποίους μπορούμε να οδηγηθούμε με ορθό τρόπο από υποθέσεις σε συμπεράσματα. ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΤΗΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

3 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΤΗΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ
Ο ουρανός έχει μαύρα σύννεφα, άρα θα βρέξει. Το δωμάτιο της Ελένης έχει πλάτος 10 μέτρα και μήκος 15 μέτρα. Άρα το δωμάτιο της Ελένης έχει εμβαδόν 150 τ.μ. Διαδικασία της συλλογιστικής που ακολουθήθηκε: Το δωμάτιο της Ελένης είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. πλάτος= 10 μ. και μήκος= 15μ. Εμβαδόν ορθ. παραλληλογράμμου = βάση x ύψος Εμβαδόν δωματίου Ελένης = 10μ x 15μ = 150 τ.μ. ΥΠΟΘΕΣΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΤΗΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΥΠΟΘΕΣΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

4 θεωρήσαμε δεδομένο ότι το δωμάτιο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
θεωρήσαμε δεδομένο ότι το δωμάτιο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Παρόλο που τα περισσότερα δωμάτια έχουν ορθογώνια δομή υπάρχει περίπτωση να συμβεί και το αντίθετο. Εάν συνέβαινε κάτι τέτοιο το συμπέρασμά μας θα ήταν λάθος !

5 2. ΤΥΠΟΙ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΩΝ Πώς ξεχωρίζουμε την σωστή από την λανθασμένη συλλογιστική πορεία; Περίπτωση √ Περίπτωση × Όλοι οι άνθρωποι είναι θηλαστικά. Όλοι οι άνθρωποι είναι θηλαστικά. Η Ελένη είναι άνθρωπος Η αγελάδα είναι θηλαστικό. Άρα, η Ελένη είναι θηλαστικό Άρα η αγελάδα είναι άνθρωπος. Περίπτωση Περίπτωση 2 Για κάθε x : Εάν το x είναι άνθρωπος, Για κάθε x : Εάν το x είναι άνθρωπος, τότε το x είναι θηλαστικό τότε το x είναι θηλαστικό. Η Ελένη είναι άνθρωπος Η αγελάδα είναι θηλαστικό. Άρα, η Ελένη είναι θηλαστικό Άρα η αγελάδα είναι άνθρωπος. .

6 Για κάθε x: Aν x είναι άνθρωπος, x είναι θηλαστικό. P Q
Modus Ponens: Δίνεται ότι: Αν το P είναι αλήθεια, τότε το Q είναι αλήθεια. Και: Το P είναι αλήθεια. Είναι λογικό να συμπεράνουμε ότι: Το Q είναι αλήθεια. Probabilistic Modus Ponens: Δίνεται ότι: Αν το P είναι αλήθεια, τότε το Q είναι πιο πιθανό να είναι αλήθεια. Και: Το P είναι αλήθεια. Είναι λογικό να συμπεράνουμε ότι: Το Q είναι πολύ πιθανό να είναι αλήθεια. Περίπτωση 1: P Q P Άρα Q Περίπτωση 2: P Q Q Άρα P

7 Παράδειγμα: 1) Η Ελένη πήγε στο γραφείο της στις 7 Γενάρη του 2017; Α) Για κάθε x που είναι Σάββατο, η Ελένη πηγαίνει στο γραφείο της τη μέρα x Β) Εάν η Ελένη ήταν άρρωστη τη μέρα x, δε πήγε στο γραφείο της Γ) 7 Γενάρη του 2017, ήταν Σάββατο Δ) Επομένως, από τα Α) και Γ) συμπεραίνουμε ότι η Ελένη πήγε στο γραφείο της στις 7 Γενάρη του ) Α) Για κάθε x που είναι Σάββατο, η Ελένη πηγαίνει στο γραφείο της τη μέρα x Δ) Η Ελένη ήταν άρρωστη στις 7 Γενάρη του 2017 Ε) Σύμφωνα με τα Α) και Γ), η Ελένη πήγε στη δουλειά της στις 7 Γενάρη 2017 Ζ) Σύμφωνα με τα Β) και Δ), η Ελένη δεν πήγε στη δουλειά της στις 7 Γενάρη 2017 H) Σύμφωνα με τα Ε) και Ζ) η Ελένη πηγαίνει στο γραφείο της τα Σάββατα αλλά δεν πήγε στο γραφείο της το Σάββατο στις 7 Γενάρη του 2017.

8 Defeasible Modus Ponens
Δίνεται: Α) Εάν το P είναι αλήθεια, τότε το Q είναι αλήθεια. Β) Εάν το R είναι αλήθεια τότε το «όχι» Q είναι αλήθεια. Γ) Το P είναι αλήθεια. Δ) Το R είναι αλήθεια Και το Α) είναι περισσότερο ισχυρό από το Β) Μπορούμε να συμπεράνουμε λοιπόν, ότι το Q είναι αλήθεια και το «όχι» Q είναι ψέμα.

9 Έγκυρη απαγωγή, εναλλακτικές αιτίες δεν είναι διαθέσιμες !
Επαγωγική λογική π.χ. η λογική που χρησιμοποιούν οι γιατροί και δίνουν τα φάρμακα Δίνεται ότι: το P είναι η καλύτερη εξήγηση για το Q Και το Q είναι αληθές Επομένως P είναι αληθές, μέχρις ότου να αποδειχθεί το αντίθετο ή να βρεθεί μια καλύτερη εξήγηση για το Q Όταν η Μαρία τσακώνεται με τον Γιώργο, αυτός κλαίει. Ο Γιώργος κλαίει τώρα. Άρα, ο Γιώργος τσακώθηκε με τη Μαρία. Έγκυρη απαγωγή, εναλλακτικές αιτίες δεν είναι διαθέσιμες !

10 analogical reasoning Δίνεται ότι: Το x είναι ανάλογο με το ψ
Και P ισχύει για το ψ Συμπεραίνουμε ότι: P ισχύει για x Για παράδειγμα: Δίνεται ότι: Οι σκύλοι έχουν ανάλογη συμπεριφορά με τους ανθρώπους Και Οι άνθρωποι βιώνουν πόνο όταν τραυματιστούν Συμπεραίνουμε ότι: Οι σκύλοι βιώνουν πόνο όταν τραυματιστούν

11 3. Προτασιακή λογική Γλώσσα, πρόταση, αληθοτιμή πρότασης
Στην επικοινωνίας μας με τα άλλα πρόσωπα χρησιμοποιούμε τις προτάσεις με ποικίλους τρόπους. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τις ακόλουθες εκφράσεις: 1. «ο Γιώργος άνοιξε το παράθυρο» 2. «άνοιξε ο Γιώργος το παράθυρο;» 3. «ας ανοίξει το παράθυρο ο Γιώργος!» «ω, ο Γιώργος άνοιξε το παράθυρο!» Και οι τέσσερις είναι προτάσεις, οι οποίες εκφέρονται για διαφορετικό λόγο και με διαφορετικό τρόπο ή κάθε μία. Η πρώτη εκφράζει μια διαβεβαίωση για κάτι. Είναι μια απόφανση, διότι το πρόσωπο το οποίο την εκφέρει αποφαίνεται σχετικά με μια κατάσταση. Η δεύτερη εκφράζει μια ερώτηση. Η τρίτη εκφράζει μια επιθυμία ή προτροπή ή και διαταγή. Η τελευταία συνιστά επιφώνημα θαυμασμού, έκπληξης ή δυσαρέσκειας. βλέπουμε λοιπόν ότι μπορούμε να διακρίνουμε διάφορα είδη προτάσεων, όπως αποφαντικές ή κρίσης, ερωτηματικές, επιθυμίας, επιφωνηματικές κτλ.

12 Χαρακτηρίζουμε αληθή κάθε αποφαντική πρόταση, η οποία περιγράφει μια πραγματική κατάσταση του κόσμου μας. Χαρακτηρίζουμε ψευδή κάθε αποφαντική πρόταση, η οποία περιγράφει μια μη υπαρκτή κατάσταση των πραγμάτων. Αν μια αποφαντική πρόταση είναι αληθής λέμε ότι έχει τιμή αληθείας ή αληθοτιμή Α. Αν είναι ψευδής λέμε ότι έχει τιμή αληθείας ή αληθοτιμή Ψ. Λέμε ότι δύο αποφαντικές προτάσεις έχουν αντίθετες τιμές αληθείας όταν η μια είναι αληθής και η άλλη ψευδής, για παράδειγμα, «ο ήλιος λάμπει σήμερα» και «ο ήλιος δεν λάμπει σήμερα».

13 Σύνδεσμοι, πίνακες αληθοτιμών
Ας υποθέσουμε ότι ο Γιώργος και ο Γιάννης εργάζονται στον τρίτο όροφο του κτιρίου μιας εταιρίας. Ο Γιώργος είναι υπεύθυνος του τμήματος παραγγελιών που περιλαμβάνει δύο γραφεία στο δεύτερο όροφο, στα οποία εργάζονται ο Κώστας και ο Νίκος. Καθώς θέλει να δει πως προχωράει μια επείγουσα εργασία, στέλνει τον Γιάννη στο τμήμα παραγγελιών για να μάθει τι γίνεται λέγοντάς του: «πήγαινε στις παραγγελίες και έλα να μου πεις -με μια πρόταση σε παρακαλώ- τι γίνεται». Ο Γιάννης γυρίζει και του περιγράφει την υφισταμένη κατάσταση στο τμήμα παραγγελιών με την πρόταση; (1) «ούτε ο Κώστας βρίσκεται στο γραφείο του ούτε ο Νίκος βρίσκεται στο δικό του γραφείο». Η πρόταση αυτή προκύπτει από δύο άλλες απλούστερες (2) «ο Κώστας βρίσκεται στο γραφείο του» και (3) «Ο Νίκος βρίσκεται στο δικό του γραφείο», οι οποίες συνδέονται με το σύνδεσμο «ούτε... ούτε...»

14 Παρατηρούμε ότι η πρόταση (1) είναι αληθής μόνον στην περίπτωση όπου και οι δύο προτάσεις (2) και (3) είναι ψευδείς. Στο ίδιο ακριβώς συμπέρασμα καταλήγουμε αν συμπληρώσουμε τα δύο κενά του συνδέσμου «ούτε... ούτε...» με οποιοδήποτε ζεύγος προτάσεων. Bλέπουμε λοιπόν ότι η αληθοτιμή της πρότασης που προκύπτει δεν εξαρτάται από τη σημασία, το εννοιολογικό περιεχόμενο των δύο προτάσεων, το τι περιγράφουν ή το ποια είναι η σχέση τους, αλλά μόνον από τις αληθοτιμές τους.

15 Μπορούν να υπάρξουν το πολύ 16 τρόποι λογικής σύνδεσης δύο προτάσεων, λαμβάνοντας υπόψη και τη σειρά με την οποία συνδέονται αυτές. Δηλαδή, μπορούμε να πούμε ότι υπάρχουν το πολύ 16 σύνδεσμοι. Η λογική συμπεριφορά τους περιγράφεται από τον παραπάνω πίνακα.

16 Συμβολική γλώσσα, προτασιακές μεταβλητές
Αντί να χρησιμοποιούμε την έκφραση: η πρόταση «ο Κώστας βρίσκεται στο γραφείο του» χρησιμοποιούμε την έκφραση: η πρόταση Π. Τα γράμματα που χρησιμοποιούμε ως σύμβολα προτάσεων τα καλούμε προτασιακές μεταβλητές. Λειτουργούν με τρόπο ανάλογο προς τις μεταβλητές που χρησιμοποιούμε στα Μαθηματικά, όπου στη θέση τους μπορούμε να τοποθετήσουμε οποιουσδήποτε αριθμούς. αν πάρουμε την έκφραση Π Ρ της συμβολικής γλώσσας και θέσουμε στη θέση του Π την πρόταση «το βιβλίο βρίσκεται στο ράφι» και στη θέση του Ρ την πρόταση «το στυλό βρίσκεται στο γραφείο», τότε, λαμβάνοντας υπόψη ότι το σύμβολο Εικόνα αναπαριστά το σύνδεσμο «ούτε... ούτε...», η έκφραση αυτή γίνεται η πρόταση «ούτε το βιβλίο βρίσκεται στο ράφι ούτε το στυλό βρίσκεται στο γραφείο».

17 Σύζευξη Μια πρόταση καλείται συζευκτική και χρησιμοποιείται για να περιγράψει μια κατάσταση των πραγμάτων του κόσμου μας, η οποία συντίθεται από τις δύο καταστάσεις που περιγράφουν οι δύο προτάσεις που συμπλέκονται. Μπορούμε να πούμε, με άλλα λόγια, ότι μια τέτοια πρόταση χρησιμοποιείται με σκοπό να περιγράψει τη συνύπαρξη σε ένα ενιαίο όλο και των δύο καταστάσεων τις οποίες περιγράφουν οι δύο προτάσεις που συμπλέκονται. Η ανατροπή ή παύση ισχύος έστω και της μιας από τις δύο καταστάσεις ανατρέπει τη μια κατάσταση που περιγράφει η σύζευξη. Η συμβολική έκφραση, η οποία αντιστοιχεί στη σύζευξη δύο προτάσεων είναι η Π Ρ και διαβάζεται «Π και Ρ», όπου Π και Ρ είναι προτασιακές μεταβλητές. Η σύζευξη δύο προτάσεων είναι αληθής πρόταση στην περίπτωση κατά την οποίαν και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς και μόνον σε αυτήν.

18 Διάζευξη «Το φάκελο τον έχει αναλάβει ο Κώστας ή ο Νίκος».
Μια τέτοια πρόταση καλείται διαζευκτική. Χρησιμοποιείται για να περιγράψει μια κατάσταση, η οποία υφίσταται μόνον στην περίπτωση που υφίσταται μια τουλάχιστον από τις καταστάσεις που περιγράφονται από τις δύο προτάσεις που συνδέονται και μόνο σε αυτήν. (Με άλλα λόγια, χρησιμοποιείται για να δηλώσει δύο ανεξάρτητους εναλλακτικούς τρόπους με τους οποίους μπορεί να υφίσταται η κατάσταση που περιγράφει. Λέμε ανεξάρτητους διότι είναι ανοιχτή η πιθανότητα να υπάρχει και τρίτος τρόπος, ο οποίος εξαρτάται από τους άλλους δυο: να υφίσταται και οι δύο καταστάσεις που περιγράφουν οι προτάσεις που συνδέουμε με τη λέξη ή). Αν και οι δύο καταστάσεις παύσουν να υφίστανται, τότε δεν υφίσταται και η κατάσταση που περιγράφει η διαζευκτική πρόταση. Η συμβολική έκφραση, η οποία αντιστοιχεί στη διάζευξη δύο προτάσεων, είναι η Π Ρ και διαβάζεται «Π ή Ρ», όπου Π και Ρ είναι προτασιακές μεταβλητές. Η διάζευξη δύο προτάσεων είναι αληθής όταν και μόνον όταν τουλάχιστον η μια από τις δυο προτάσεις είναι αληθής.

19 Άρνηση «ο Γιώργος χτες το βράδυ πήγε στον κινηματογράφο», αν μπροστά από το ρήμα της τοποθετήσουμε τη λέξη δεν. Η λέξη αυτή λειτουργεί ως προτασιακός γεννήτορας, ο οποίος δρα σε μια μόνον πρόταση. Ο προτασιακός γεννήτορας «δεν...» έχει την ιδιότητα πως η αληθοτιμή της άρνησης μιας πρότασης εξαρτάται μόνον από την αληθοτιμή αυτής και όχι από τη σημασία της. Τον καλούμε άρνηση και χρησιμοποιούμε για αυτόν το σύμβολο . Αν είναι Π μια προτασιακή μεταβλητή το Εικόνα διαβάζεται «όχι Π» και για λόγους ευκολίας την ονομάζουμε και αυτήν άρνηση του Π. Αν στη θέση του Π τοποθετηθεί μια λογική πρόταση, τότε το καθίσταται η άρνηση της πρότασης αυτής. Αν, για παράδειγμα, στη θέση του Π τοποθετήσουμε την πρόταση: «ο Όλυμπος είναι ψηλότερος από τον Κίσαβο», τότε το Εικόνα γίνεται η πρόταση: «ο Όλυμπος δεν είναι ψηλότερος από τον Κίσαβο» Η άρνηση μιας πρότασης είναι αληθής όταν και μόνον όταν η πρόταση αυτή είναι ψευδής.

20 Συνεπαγωγή ο σύνδεσμος «εάν..., τότε...» έχει την ίδια λογική συμπεριφορά με το σύνδεσμο «δεν ισχύει το εξής: ....και δεν...». Μια υποθετική πρόταση είναι ψευδής στην περίπτωση κατά την οποίαν ο ηγούμενος όρος είναι αληθής και ο επόμενος όρος είναι ψευδής και μόνο σε αυτή. Το σύνδεσμο αυτόν τον ονομάζουμε συνεπαγωγή και τον συμβολίζουμε με Τη συμβολική έκφραση στην οποία αντιστοιχεί η υποθετική πρόταση τη γράφουμε Π Ρ. Αυτή διαβάζεται «Π συνεπάγεται Ρ», και καλείται και αυτή συνεπαγωγή.

21 Διπλή συνεπαγωγή ή ισοδυναμία
Οι δύο καταστάσεις που περιγράφουν οι συνδεόμενες προτάσεις είναι τέτοιες, ώστε δεν είναι δυνατόν ή μια να υφίσταται και η άλλη να μην υφίσταται. Δηλαδή, η πρόταση αυτή είναι αληθής, στην περίπτωση, και μόνο σε αυτή, που και οι δύο προτάσεις έχουν την ίδια αληθοτιμή. Το σύνδεσμο αυτό τον συμβολίζουμε με και τον ονομάζουμε διπλή συνεπαγωγή ή ισοδυναμία. Μια πρόταση που παράγεται από αυτόν το σύνδεσμο ονομάζεται επίσης διπλή συνεπαγωγή και η συμβολική έκφραση που αντιστοιχεί σε αυτήν είναι η Π Ρ. (Αυτή η έκφραση ονομάζεται επίσης διπλή συνεπαγωγή. Η διπλή συνεπαγωγή είναι αληθής στην περίπτωση στην οποίαν οι δύο συνδεόμενες προτάσεις έχουν την ίδια αληθοτιμή και μόνο σε αυτή.