Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών 1 Κεφάλαιο 3 – ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΚΜΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ.

Παρουσίαση με θέμα: "Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών 1 Κεφάλαιο 3 – ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΚΜΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών 1 Κεφάλαιο 3 – ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΚΜΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ

2 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΚΜΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΜΟΡΦΗΣ FERGUSON, BEZIER, B-SPLINES, NURBS 2

3 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Δύο μέθοδοι αναπαράστασης καμπυλών (πεπλεγμένη και παραμετρική) –Πεπλεγμένη, C(x, y, z) = 0 (implicit εξίσωση καμπύλης), ή x = C(y, z) (explicit εξίσωση καμπύλης) μπορεί να επαληθεύσει άμεσα εάν ένα σημείο στο χώρο ανήκει σε μια καμπύλη, Η πρώτη δεν μπορεί να μας δώσει άμεσα σημεία πάνω στην καμπύλη, ενώ η δεύτερη μπορεί. Είναι εύκολο να υπολογιστεί το μέγεθος του εφαπτόμενου διανύσματος, αλλά στην πρώτη περίπτωση μπορεί να υπολογιστεί ακόμα και στις κάθετες ή σχεδόν κάθετες διευθύνσεις, ενώ στη δεύτερη περίπτωση αυτό δεν είναι εύκολο. Εξαρτώνται από το σύστημα συντεταγμένων ή με αποτέλεσμα να είναι δύσκολη η εφαρμογή των μετασχηματισμών ή η μεταφορά τους σε άλλο σύστημα συντεταγμένων 3

4 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Παραμετρική εξίσωση. εξισώσεις της μορφής x = Χ(u), y = Υ(u) και z = Z(u), u є [0,1] –Ελεύθερες εξισώσεις κατά x, y και z. –Άμεσος υπολογισμός σημείων πάνω στην καμπύλη. –Αναπαριστάνει κλειστές καμπύλες ή καμπύλες με πολλαπλές τιμές (αυτοτεμνόμενες). –Υπολογίζονται τα διανυσματικά μεγέθη, π.χ. εφαπτόμενο διάνυσμα. –Είναι ανεξάρτητη από το σύστημα συντεταγμένων με αποτέλεσμα να υλοποιούνται εύκολα οι μετασχηματισμοί και η μεταφορά τους σε άλλο σύστημα συντεταγμένων. –Μειονέκτημα - δεν μπορεί να επαληθευτεί εύκολα εάν ένα τυχαίο σημείο, ανήκει σε μια καμπύλη. διανυσματική απεικόνιση: r = C(u) –r είναι το διάνυσμα θέσης του σημείου στην καμπύλη για τητιμή του u, –C(u) η διανυσματική συνάρτηση ορισμού της καμπύλης ως προς u. 4

5 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Σ' ένα σύστημα CAD χρησιμοποιείται η παραμετρική αναπαράσταση, –υλοποιούνται εύκολα οι περισσότερες λειτουργίες όπως: σχεδίαση ενός ορισμένου τμήματος της καμπύλης, υπολογισμός διαδοχικών σημείων πάνω στην καμπύλη, προσδιορισμός ενός ορισμένου σημείου πάνω στην καμπύλη Ενώ το αντίστροφο πρόβλημα, δηλαδή, η εξακρίβωση εάν ένα σημείο ανήκει σε μια καμπύλη, δεν είναι εύκολο Δεν είναι μονοσήμαντη Κύκλος x(u) = cos(u), y(u) = sin(u), με 0 ≤ u ≤ π/2 Ή x(u) = (1-u 2 )/(1+u 2 ), y(u)=2u/(1+u 2 ), με 0 ≤ u ≤ 1 5

6 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ 6

7 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΗ Παραμετρική εξίσωση: Ρ = Ρ 1 + u(Ρ 2 - Ρ 1 ) Η εφαπτόμενη διεύθυνση Ρ΄ και το μοναδιαίο διάνυσμα n : Ρ΄= Ρ 2 - Ρ 1 n = (P 2 - Ρ 1 ) / I (l το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος). Καταχωρούνται τα δύο άκρα της γραμμής, το είδος, το πάχος, το χρώμα, το επίπεδο σχεδίασης, κ.λπ. 7

8 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΚΥΚΛΟΣ ΚΑΙ ΤΟΞΟ Κύκλος ή τόξο, στο επίπεδο xy σε ύψος zc, κέντρο το (xc, yc), και ακτίνα r: –x = xc + rcosu –y = yc + rsinu –z = zc Πεδίο ορισμού παραμέτρου: –για πλήρη κύκλο 0 ≤ u ≤ 2π –για τόξο κύκλου us ≤ u < ue Καταχωρείται η ακτίνα, οι συντεταγμένες του κέντρου του, οι γωνίες αρχής και τέλους του τόξου, το είδος της γραμμής, το πάχος, το χρώμα, το επίπεδο σχεδίασης, κ.λπ. Υπολογισμός σημείων στην περιφέρεια του κύκλου (πεπερασμένες διαφορές) 8

9 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΕΛΛΕΙΨΗ έλλειψης στο επίπεδο xy, με κέντρο το σημείο (xc, yc), με τον κύριο άξονα κατά τη διεύθυνση x, με μήκος Α, και τον δευτερεύοντα κατά τη διεύθυνση y και με μήκος Β Εάν ο κύριος άξονας σχηματίζει γωνία a, ως προς τον άξονα x, Υπολογισμός Σημείων 9

10 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΠΑΡΑΒΟΛΗ Η γενική εξίσωση παραβολής που έχει γωνία κλίσης a, ως προς τον άξονα Χ, Υπολογισμός σημείων 10

11 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΓΕΝΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ Οι κωνικές τομές είναι καμπύλες δεύτερου βαθμού - γενική πεπλεγμένη μορφή: Το είδος της καμπύλης γίνεται με εξέταση της διακρίνουσας B 2 - A*C: –1. Εάν B2 < A*C, τότε η γενική εξίσωση παριστάνει μια έλλειψη. –2. Εάν B2 = A*C, τότε η γενική εξίσωση παριστάνει μια παραβολή. –3. Εάν B2 > A*C, τότε η γενική εξίσωση παριστάνει μια υπερβολή. Οι κωνικές τομές σε μορφή πινάκων: 11

12 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ –ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΑΙΟ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟ, ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΕΥΘΕΙΑ –ΚΥΡΙΟ ΚΑΘΕΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ –ΔΙΚΑΘΕΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ –ΚΑΘΕΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ –ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ –ΕΠΙΠΕΔΟ ΑΝΟΡΘΩΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟΣ ΚΥΚΛΟΣ, ΚΕΝΤΡΟ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ, ΑΚΤΙΝΑ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΣΤΡΕΨΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΠΛΑΙΣΙΟ FERNET 12

13 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ Ορίζεται η πρώτη παράγωγος (ή ανωτέρου βαθμού) Κανονικό εάν ισχύει η σχέση 13

14 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ Το διάνυσμα t = C΄(u 0 ), παράγωγος της καμπύλης ως προς u στο σημείο C(u 0 ), ονομάζεται εφαπτόμενο διάνυσμα στην καμπύλη. Το μήκος του εφαπτόμενου διανύσματος είναι │t│=. Το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα, T(u): Η εφαπτόμενη ευθεία της καμπύλη στο σημείο C(u) = C(u0), από τη διανυσματική σχέση: R(u) = C(u 0 ) + uT(u 0 ) –R(u) το διάνυσμα θέσης για σημείο πάνω στην ευθεία, C(u 0 ) το διάνυσμα για το σημείο C(u 0 ) της καμπύλης, u η παράμετρος ορισμού της ευθείας και T(u 0 ) το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα στην καμπύλη στο σημείο C(u 0 ). –Υφίσταται σε κάθε ομαλό σημείο της καμπύλης. 14

15 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΚΑΘΕΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Το επίπεδο που περνάει από το σημείο C(u 0 ) μιας καμπύλης, και είναι κάθετο στο εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης στο σημείο αυτό. Η διανυσματική εξίσωση του επιπέδου: (R – C(u 0 )) C΄(u 0 ) = 0, –R το διάνυσμα για σημείο στο επίπεδο –C(u o ), C΄(u 0 ) το διάνυσμα θέσης του σημείου και το εφαπτόμενο διάνυσμα στο σημείο της καμπύλης –Το διάνυσμα R – C(u 0 ) ανήκει πάνω στο κάθετο επίπεδο –το C΄(u 0 ) είναι το εφαπτόμενο διάνυσμα στην καμπύλη και είναι κάθετο στο επίπεδο 15

16 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Το επίπεδο στο C(u 0 ) μιας καμπύλης στο οποίο κείται κατά προσέγγιση η καμπύλη. Ορίζεται από το C(u 0 ) και από άλλα δύο σημεία πάνω στην καμπύλη, πολύ κοντά στο σημείο, τα C(u 0 +Δu 1 ) και C(u 0 +Δu 2 ). Η εξίσωση 16

17 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΚΑΘΕΤΟ και ΔΙΚΑΘΕΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΔΙΚΑΘΕΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Το μοναδιαίο διάνυσμα πάνω στο εφαπτόμενο επίπεδο, κάθετο στο εφαπτόμενο διάνυσμα t(u) –N(u) = (dT(u)/ du)/|dT(u)/d(u)|. Το μοναδιαίο διάνυσμα, κάθετο στο εφαπτόμενο διάνυσμα και στο κύριο κάθετο διάνυσμα, είναι το δικάθετο διάνυσμα (binormal): –B(u) = T(u) xN(u) ή Β(u)=(C΄(u)xC΄΄(u)) / |C΄(u)xC΄΄(u)| Το επίπεδο που ορίζεται από το εφαπτόμενο και το δικάθετο διάνυσμα ονομάζεται επίπεδο ανόρθωσης (rectifying),είναι κάθετο στο κάθετο διάνυσμα 17

18 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ Στο εφαπτόμενο επίπεδο, ορίζεται ο εφαπτόμενος κύκλος (osculating circle) ή κύκλος καμπυλότητας –κύκλος που προσεγγίζει καλύτερα τη μορφή της καμπύλης σε αυτό το σημείο και βρίσκεται στο κοίλο τμήμα της καμπύλης –Το κέντρο και η ακτίνα του ορίζουν το κέντρο καμπυλότητας c(u) και την ακτίνα καμπυλότητας ρ(u), αντίστοιχα, της καμπύλης –H καμπυλότητα κ(u) στο σημείο ορίζεται ως το αντίστροφο της ακτίνας καμπυλότητας, ρ(u) –ορισμός Η στρέψη τ μιας καμπύλης εκφράζει το ποσό της στροφής του εφαπτόμενου επίπεδου κατά μήκος της καμπύλης s. 18

19 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΗΜΕΙΩΝ Άμεση μέθοδος, με αντικατάσταση Βηματική μέθοδος (προσεγγιστική) σημεία σε απόσταση Δu –Πολυωνυμική καμπύλη C(u) = αu 3 + bu 2 + cu + d, 0 ≤ u ≤ 1 –Υπολογίζονται οι παραστάσεις C(0) = d (αρχικό σημείο στην καμπύλη) Δ 1 C 0 = a(Δu) 3 + b(Δu) 2 + c(Δu) Δ 2 C 0 =6a(Δu) 3 + 2b(Δu) 2 Δ 3 C 0 = 6a(Δu) 3 –Επόμενο σημείο C i+1 = C i + Δ 1 C i 0 ≤ i ≤n –Υπολογισμός των παραστάσεων Δ 1 C i+1 = Δ 1 C i + Δ 2 C ί Δ 2 C i+1 = Δ 2 C i + Δ 3 C i Δ 3 C i+1 = Δ 3 C i 19

20 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΣΥΝΔΕΣΗ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ Συνέχεια Θέσης, C 0, C II (0) = C I (1) Συνέχεια Κλίσης, C 1, t 1 = C’ I (1) = t 2 = C’ II (0) Γεωμετρική Συνέχεια, G 1, Συνέχεια C 2, C’’ I (1) = C’’ II (0) Συνέχεια Καμπυλότητας, κοινό διάνυσμα καμπυλότητας 20

21 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΣΥΝΔΕΣΗ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ Συνέχεια C 2 συνεπάγεται Συνέχεια Καμπυλότητας, δεν ισχύει το αντίστροφο. Γεωμετρική συνέχεια G 2 δεν είναι τόσο άμεση. –Δύο τμήματα καμπυλών, που έχουν C 1 συνέχεια έχουν και G 2 συνέχεια στο σημείο επαφής, εάν το διάνυσμα C I ΄΄(1) - C II ΄΄(0) είναι παράλληλο προς το C I ΄(1) = C II ΄΄(0). 21

22 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Μήκος l καμπύλης μεταξύ δύο τιμών της παραμέτρου ορισμού u 0 και u 1 Το εμβαδόν της πίτας, από το κέντρο προς τμήμα της καμπύλης 22

23 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Κάθε καμπύλη ορίζεται από τμήματα που ενώνονται μεταξύ τους σε μια σύνθετη καμπύλη. Τα συνήθη σχήματα είναι πολυωνυμικά. 23

24 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ Ένα πολυωνυμικό τμήμα ορίζεται από μια εξίσωση που απαρτίζεται από το άθροισμα των γινομένων των βασικών (ή πολυωνυμικών, ή μείξης) συναρτήσεων της παραμέτρου u ορισμού της καμπύλης, με τους διανυσματικούς (ή πολυωνυμικούς) συντελεστές. Γενική μορφή καμπύλης τρίτου βαθμού –a οι πολυωνυμικοί ή διανυσματικοί συντελεστές –1, u, u 2, u 3 οι συναρτήσεις μείξης 24

25 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΚΑΜΠΥΛΕΣ FERGUSSON Εφαρμόστηκαν για πρώτη φορά από τον Fergusson το 1960, για τη σχεδίαση τμημάτων επιφανειών αεροσκαφών. Οι απλές βασικοί συναρτήσεις 1, u, u 2 και u 3 στην εξίσωση r = C(u) = a 0 + ua 1 + u 2 a 2 + u 3 α 3 αντικαθίστανται από τις (συναρτήσεις μείξης Hermite τρίτου βαθμού): –(1 – 3u 2 + 2u 3 ) αντί του 1, –(3u 2 – 2u 3 ) αντί του u, –(u – 2u 2 + u 3 ) αντί του u 2, –(-u 2 + u 3 ) αντί του u 3. Αποδεικνύεται ότι οι διανυσματικοί συντελεστές είναι: –τα διανύσματα θέσης στα άκρα της καμπύλης, a 0 = P 0 = C(0) και a 1 = Ρ 1 = C(1), –οι τιμές της πρώτης παράγωγου στα άκρα, a 2 = Ρ΄ 0 = C΄(0) και a 3 = Ρ΄ 1 = C΄(1) Μορφή της εξίσωσης r = C(u) = (1 – 3u 2 + 2u 3 ) Ρ 0 + (3u 2 – 2u 3 ) Ρ 1 + (u – 2u 2 + u 3 ) P΄ 0 + (-u 2 + u 3 ) Ρ΄ 1 25

26 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΚΑΜΠΥΛΕΣ FERGUSSON Η καμπύλη Fergusson –ξεκινάει από το πρώτο σημείο Ρ 0, –εφαπτόμενη προς το διάνυσμα Ρ΄ 0 και –καταλήγει στο δεύτερο σημείο Ρ 1 –εφαπτόμενη προς το διάνυσμα Ρ΄ 1 Εφαπτόμενο διάνυσμα σε σημείο της καμπύλης 26

27 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΚΑΜΠΥΛΕΣ FERGUSSON - ΕΛΕΓΧΟΣ Η μορφή της αλλάζει μεταβάλλοντας έναν ή περισσότερους από τους διανυσματικούς συντελεστές Ρ 0, Ρ 1, Ρ΄ 0 και Ρ΄ 1. –Αλλαγή θέσης ακραίων σημείων Ρ1 και Ρ2, τότε η καμπύλη θα διέρχεται από τα νέα ακραία σημεία. –Αλλαγή διεύθυνσης των εφαπτόμενων διανυσμάτων στα άκρα, η καμπύλη θα αλλάξει μορφή, ώστε να παραμένει εφαπτόμενη αυτών στα άκρα. –Αλλαγή του μεγέθους του εφαπτόμενου διανύσματος στα άκρα, αλλάζει τη μορφή συμμετρικά ή ασύμετρα 27

28 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ FERGUSSON ΣΕ ΣΗΜΕΙΑ σειρά από n σημεία, Ρ0, Ρ1, Ρ2,..., Ρn-1 και τα ακραία εφαπτόμενα διανύσματα Ρ΄ 0 και Ρ΄ η-1 στα δύο ακραία σημεία. Προσαρμόζεται καμπύλη Fergusson μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων, Ρ κ και Ρ κ+1. πρέπει να υπολογιστούν τα εφαπτόμενα διανύσματα σε όλα τα ενδιάμεσα σημεία, Ρ 1 έως Ρ n-2. Στα ενδιάμεσα σημεία, Ρ 1.. Ρ n-2, επιβάλλουμε C 2 -συνέχεια εκτός από την υφιστάμενη συνέχεια κλίσης 28

29 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ FERGUSSON ΣΕ ΣΗΜΕΙΑ Στα τμήματα μεταξύ των σημείων P 0 P 1 και P 1 P 2, πρέπει: C΄΄ 1 (u 1 =1) = C΄΄ 2 (u 2 =0) παίρνουμε τη σχέση P' 1 = - (3P 0 +P' 0 -3P 2 +P' 2 ) Για το εφαπτόμενο διάνυσμα στο Ρ 1. Δημιουργούνται n-2 εξισώσεις για τους n-2 αγνώστους, τις τιμές των παράγωγων στα ενδιάμεσα σημεία. Γενίκευση με καμπύλες Hermite –Έχουμε περισσότερες συνθήκες στα ακραία σημεία –Ορίζεται καμπύλη βαθμού (2k+1) όπου k ο βαθμός της παραγώγου στα άκρα –Fergusson παρεμβολή, k=1, βαθμός 3. –Ορίζονται οι συναρτήσεις παρεμβολής Hermite 29

30 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΚΑΜΠΥΛΕΣ BEZIER Χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά από τον γάλλο μαθηματικό Bézier το 1972 στη Renault, και αποτέλεσαν τη βάση για πολλά συστήματα CAD. Είχαν αναπτυχθεί και από τον Ρ. Decasteljau, το 1959, στη Citroen, όπου είχαν χρησιμοποιηθεί ως τμήμα του συστήματος CAD της Citroen, αλλά δεν είχαν ποτέ δημοσιευτεί, σε αντίθεση με τις καμπύλες Bézier. Ορίζονται από μια σειρά σημείων στο χώρο, που συνιστούν το πολύγωνο ελέγχου ή χαρακτηριστικό πολύγωνο της καμπύλης, –αυτά μόνο προσδιορίζουν τη μορφή της καμπύλης. –Η καμπύλη περνάει από το πρώτο και το τελευταίο σημείο της σειράς και –προσεγγίζει όλα τα ενδιάμεσα. –Αποτελούν μια μέθοδο προσέγγισης σειράς σημείων με μια καμπύλη. Οι κυριότερες διαφορές ως προς τις καμπύλες Fergusson, είναι: –Η μορφή της καμπύλης εξαρτάται μόνον από τα σημεία ελέγχου ορισμού της καμπύλης, –Υπάρχει καλύτερη σχέση και κατανόηση της μορφής και των δυνατοτήτων ελέγχου της καμπύλης. –Ο βαθμός της καμπύλης εξαρτάται από τα σημεία ελέγχου (βαθμός καμπύλης = αριθμός σημείων ελέγχου - 1) –Όσο μεγαλώνει ο βαθμός της καμπύλης Bézier, γίνεται ασθενέστερη και η σχέση μεταξύ του χαρακτηριστικού πολυγώνου και της καμπύλης. –Η καμπύλη Bézier είναι πιο ομαλή επειδή έχει μεγαλύτερου βαθμού συνέχεια. 30

31 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ BEZIER Γενική μορφή καμπύλης Bezier βαθμού n: B i,n είναι τα πολυώνυμα Bernstein D(n, i) είναι ο δυωνυμικός συντελεστής 31

32 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΕΙΞΗΣ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ είναι συμμετρικά ως προς u = 1/2, –υπάρχει ένα συμμετρικό πολυώνυμο ή –είναι συμμετρικό ως προς το u = 1/2. Ορίζονται σε όλο το εύρος της παραμέτρου ορισμού u –παίρνουν μη μηδενικές τιμές (εκτός των τιμών u = 0,1), –κάθε σημείο ελέγχου συνεισφέρει στον ορισμό της καμπύλης για κάθε τιμή u. Σε κάθε τιμή της u, το άθροισμα των τιμών των πολυώνυμων Bernstein είναι ίσο με τη μονάδα και κάθε πολυώνυμο παίρνει μια μέγιστη τιμή για τιμή u = i/n 32

33 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ – ΚΑΜΠΥΛΗ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Καμπύλη πρώτου βαθμού, n=1, απαιτούνται δύο σημεία ελέγχου, τα P 0 και P 1 για τον ορισμό της. Τα πολυώνυμα Bernstein είναι: B 0,1 (u) = 1-u και B 1,1 (u) = u. Εξίσωση της καμπύλης: C(u) = (1 -u)P 0 + uP 1, η καμπύλη είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα από το σημείο P 0 μέχρι το σημείο P 1 33

34 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ – ΚΑΜΠΥΛΗ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Καμπύλη δεύτερου βαθμού, n=2, ορίζεται από τρία σημεία ελέγχου, Ρ 0, Ρ 1 και Ρ 2. Πολυώνυμα Bernstein: B 0,2 (u) = (1 -u) 2, B 1,2 (u) = 2u(1 -u) Β 2,2 (u) = u 2 εξίσωση της καμπύλης: C(u) = (1-u) 2 P 0 +2u(1-u)P 1 +u 2 P 2 παραβολικό τόξο από το Ρ 0 μέχρι το Ρ 2. Βασικές ιδιότητες: –πολύγωνο ελέγχου το τρίγωνο Ρ 0 Ρ 1 Ρ 2, –διέρχεται από τα άκρα, Ρ 0 = C(0) και P 2 = C(1) τα εφαπτόμενα διανύσματα στα άκρα συμπίπτουν με τα τμήματα P 0 P 1 και P 1 P 2, η καμπύλη περιέχεται πάντα μέσα στο τρίγωνο P 0 P 1 P 2 34

35 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ – ΚΑΜΠΥΛΗ 3 ου ΒΑΘΜΟΥ καμπύλη τρίτου βαθμού, n = 3, –τέσσερα σημεία ελέγχου, Ρ 0, Ρ 1, Ρ 2 και Ρ 3, πολυώνυμα Bernstein B 0,3 = (1 - u) 3 B 1,3 = 3u(1 - u) 2 B 2,3 = 3u 2 (1 - u) B 3,3 = u 3. εξίσωση του κυβικού τμήματος C(u) = (1-u) 3 P 0 + 3u(1-u) 2 P 1 + 3u 2 (1-u)P 2 + u 3 P 3 Ιδιότητες –διέρχεται από τα ακραία σημεία Ρ 0 και Ρ 3 –τα εφαπτόμενα διανύσματα στα άκρα είναι προς την κατεύθυνση των τμημάτων Ρ 0 Ρ 1 και Ρ 2 Ρ 3 –η καμπύλη περιέχεται στο κυρτό πολύγωνο που ορίζουν τα σημεία ελέγχου 35

36 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ BEZIER Στηρίζονται στις ιδιότητες των πολυωνύμων Bernstein. Η καμπύλη περνάει από τα ακραία σημεία ελέγχου, τα Ρ 0 και Ρ n, ενώ προσεγγίζει όλα τα ενδιάμεσα σημεία ελέγχου. εφάπτεται στα ακραία τμήματα του πολυγώνου ελέγχου C΄(0) = n(Ρ 1 – Ρ 0 ) και C΄(1) = n(Ρ n – Ρ n-1 ) Ανώτερου βαθμού παράγωγοι στα άκρα εξαρτώνται μόνον από τα σημεία ελέγχου της καμπύλης –παράγωγος k - 1 βαθμού εξαρτάται από τα k προηγούμενα για το τελικό σημείο (ή επόμενα για το αρχικό σημείο) σημεία ελέγχου της καμπύλης –δεύτερου βαθμού παράγωγος C΄΄(0) = n(n - 1)(P 0 - 2P 1 + P 2 ) και C΄΄(1) = n(n - 1)(P n - 2P n-1 + P n-2 ). Είναι συμμετρική ως προς u και (1 - u), με συνέπεια η αντιστροφή των σημείων ελέγχου να μην αλλάζει τη μορφή της καμπύλης 36

37 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ BEZIER Μεταβολή μορφής –Αλλαγή θέσης ΣΕ –Πολλαπλότητα ΣΕ Το κάθε ΣΕ επηρεάζει περισσότερο την καμπύλη για υ = i/n. –Μετακίνηση του Ρ i ΣΕ επηρεάζει όλη την καμπύλη και στο σημείο C(u = i/n) έχουμε τη μέγιστη μετατόπιση της καμπύλης Δημιουργείται κλειστή καμπύλη Bézier, κλείνοντας το πολύγωνο ελέγχου Για κάθε u, το άθροισμα όλων των συναρτήσεων B i,n (u) είναι ίσο με τη μονάδα, –Οι καμπύλες Bézier είναι αμετάβλητες στην εφαρμογή των απλών μετασχηματισμών 37

38 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ BEZIER Τα σημεία ελέγχου της καμπύλης σχηματίζουν ένα κυρτό πολύγωνο και όλη η καμπύλη περικλείεται μέσα στο πολύγωνο αυτό Σημεία τομή καμπύλης και ευθείας. Ο αριθμός των σημείων τομής μεταξύ μιας ευθείας (ή επίπεδου για τρισδιάστατη καμπύλη) με την καμπύλη είναι μικρότερος ή ίσος από τον αριθμό των σημείων τομής της ευθείας (επίπεδου) με το πολύγωνο ελέγχου (variation diminishing). Η μορφή της καμπύλης. –Στην αρχή (u = 0) η καμπύλη στρέφει τα κοίλα προς την ίδια κατεύθυνση όπως το τρίγωνο P 0 P 1 P 2, και στο τέλος (u = 1) προς το τρίγωνο P n-2 P n-1 P n. –Βρόχος στο πολύγωνο ελέγχου μπορεί να δώσει και βρόχο στην καμπύλη 38

39 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ DECASTELJAU βασίζεται στην αναδρομική σχέση που συνδέει τα πολυώνυμα Bernstein, B i,n (u) = (1 – u)B i,n-1 (u) + uB i-1, n-1 (u) αρχικές συνθήκες, B i,n (u) = 0 εάν i n αποτελεί μια μεθοδολογία προσδιορισμού σημείων πάνω σε μια καμπύλη Bézier με επαναλαμβανόμενη γραμμική παρεμβολή 39

40 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ DECASTELJAU – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ – ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Καμπύλη Bézier διαιρείται σε δύο επιμέρους τμήματα Η καμπύλη διαιρείται σε δύο νέες καμπύλες με ΣΕ Ρ 0 Ρ 1,0 Ρ 2,0 Ρ 3,0 Ρ 3,0 Ρ 2,1 Ρ 1,2 Ρ 3 αντίστοιχα για κάθε τμήμα. 40

41 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ – ΑΝΥΨΩΣΗ ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΜΠΥΛΗΣ δυνατότητα ανύψωσης του βαθμού της καμπύλης χωρίς να αλλάξει η καμπύλη. Αρχικά ΣΕ κυβικής καμπύλης P0, P1, P2, P3 Ορίζονται τα νέα σημεία ελέγχου με τις σχέσεις : P 0 1 = P 0 P 1 1 = [P 0 + 3P 1 ] /4 P 2 1 = [2P 1 + 2P 2 ] /4 P 3 1 = [3P 2 + P 3 ] /4 P 4 1 = P 3, η αρχική καμπύλη παραμένει αμετάβλητη και ο βαθμός της καμπύλης έχει αλλάξει από 3 (κυβική) σε 4 (τετάρτου βαθμού) Μεγαλύτερου βαθμού καμπύλες, n βαθμού Συνετελεστές i / (n + 1) και (1 – (i / (n + 1)) για i = 0,1,..., n + 1 Αναδρομική σχέση μεταξύ των σημείων Εφαρμογή στη σύνδεση τμημάτων 41

42 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΣΥΝΔΕΣΗ ΤΜΗΜΑΤΩΝ BEZIER Στη σύνδεση δύο τμημάτων καμπυλών Bézier σε μια σύνθετη καμπύλη, η θέση των σημείων ελέγχου καθορίζει και τη συνέχεια μεταξύ των δύο τμημάτων. Η συνέχεια είναι μηδενικού βαθμού C 0, όταν το τελευταίο σημείο ελέγχου της πρώτης συμπίπτει με το πρώτο σημείο ελέγχου της δεύτερης Τα δύο τμήματα έχουν συνέχεια G 1, όταν επιπλέον τα σημεία ελέγχου Ρ 2, Ρ 3 και Ρ 4, είναι συγγραμμικά. Έχουν συνέχεια πρώτου βαθμού, C 1, εάν επιπλέον ισχύει και η σχέση P 3 - P 2 = 4 / 3 (P 4 - P 3 ) έχουν συνέχεια δεύτερου βαθμού όταν οι παράγωγοι δεύτερου βαθμού είναι ίσοι. Η περίπτωση αυτή εξετάζεται στις καμπύλες B- Spline 42

43 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΚΥΡΤΟ ΠΕΡΙΒΛΗΜΑ Η ιδιότητα του κυρτού περιβλήματος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προσδιοριστούν οι παρακάτω παράμετροι: –Όριο ταλάντωσης καμπύλης. Το μέγεθος της καμπύλης, ανεξάρτητα του βαθμού της, είναι πάντα μέσα στο κυρτό πολύγωνο που ορίζουν τα σημεία ελέγχου. –Δυνατότητα δημιουργίας ευθύγραμμου τμήματος. Εάν τα σημεία ελέγχου είναι στην ευθεία, τότε και η καμπύλη, ανεξάρτητα του βαθμού της, είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα. –Όρια μεγέθους καμπύλης. Τα όρια της καμπύλης περιορίζονται μέσα στο κλειστό κυρτό πολύγωνο, και η ιδιότητα αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στον υπολογισμό τομής καμπυλών και σε άλλες εφαρμογές όπου απαιτείται η εύρεση του χώρου των καμπυλών. Αποτελεί το πρώτο βήμα σε αλγόριθμους τομής. Εάν μεταξύ των κλειστών κυρτών πολυγώνων δύο καμπυλών δεν υπάρχει επικάλυψη, τότε και οι καμπύλες δεν τέμνονται και η αναζήτηση σταματάει 43

44 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΤΟΜΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ BEZIER 44

45 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΚΑΜΠΥΛΕΣ B-SPLINES Αποτελούν μια γενίκευση των καμπυλών Bézier. ορίζεται από μια σειρά σημείων ελέγχου (ονομάζονται και σημεία De Boor), που σχηματίζουν το πολύγωνο ελέγχου (ή πολύγωνο De Boor). αποτελείται από περισσότερα του ενός τμημάτων. Ο αριθμός των τμημάτων, m, εξαρτάται από τον αριθμό των σημείων ελέγχου, n +1, και το βαθμό της καμπύλης, p, που επιλέγει ο χρήστης. Το πεδίο τιμών της παραμέτρου ορισμού u, δεν είναι [0,1), αλλά [0, m) (ανάλογα με το διάνυσμα κόμβων) Καμπύλη B-Spline δεύτερου βαθμού (p = 2), που ορίζεται από n +1 = 6 σημεία ελέγχου, Ρ 0,..Ρ 5, απαρτίζεται από m =4 επιμέρους τμήματα με διάστημα ορισμού [0,4). Μεταξύ των τμημάτων της καμπύλης έχουμε συνέχεια p -1. 45

46 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Οι καμπύλες B-Spline, έχουν όλες τις ιδιότητες των καμπυλών Bézier, αλλά συγχρόνως έχουν και βασικά προτερήματα απέναντί τους και συγκεκριμένα: –Δυνατότητα τοπικού ελέγχου καμπύλης. Στις καμπύλες B-Spline, η μετακίνηση ενός σημείου ελέγχου επηρεάζει μόνον ορισμένα από τα τμήματα που απαρτίζουν την καμπύλη. –Ο βαθμός της καμπύλης είναι ανεξάρτητος από τα σημεία ελέγχου, και επιλέγεται. Συνήθως χρησιμοποιούνται καμπύλες τρίτου βαθμού που ικανοποιούν τις απαιτήσεις συνέχειας στις περισσότερες εφαρμογές. Ο βαθμός της καμπύλης ορίζει τις βασικές συναρτήσεις. –Η προσθήκη/διαγραφή σημείων ελέγχου γίνεται χωρίς να υπάρχει αντίστοιχη αλλαγή του βαθμού της καμπύλης. 46

47 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ εξίσωση της καμπύλης Β-Spline p βαθμού, που ορίζεται από n + 1 σημεία ελέγχου P i, (0 ≤ i ≤n), οι συναρτήσεις N i,p (u) ονομάζονται βασικές συναρτήσεις Β-Splines. Στον ορισμό τους δεν υπάρχει ο όρος n(=αριθμός σημείων ελέγχου), αλλά εξαρτώνται από την παράμετρο p, βαθμός της καμπύλης που είναι συνήθως 3 (τρίτου βαθμού καμπύλες). Υπολογίζονται από την αναδρομική σχέση (Cox-de Boor) Τα u i ονομάζονται κόμβοι (knots) και όλες οι τιμές σχηματίζουν το διάνυσμα κόμβων. O αριθμός των κόμβων είναι m + 1, από u 0 μέχρι u m, και ισχύει η σχέση: (p + 1)+ (n + 1) = m+1 ή m = n + p + 1 = n + k Διαδικασία Υπολογισμού –Βαθμός, Κόμβοι, Βασικές συναρτήσεις, Καμπύλη 47

48 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΟΜΒΩΝ πολύ σημαντικός παράγοντας, επειδή επηρεάζει τον υπολογισμό των βασικών συναρτήσεων και κατά συνέπεια την τελική καμπύλη. –πρέπει, u i ≤ u i+1, Ορίζονται δύο τύποι διανυσμάτων κόμβων, –Περιοδικό (Periodic) –Ανοικτό (Open) η κατανομή των τιμών μπορεί να είναι ομοιόμορφη ή ανομοιόμορφη –Η επιλογή της κατανομής των τιμών εξαρτάται από την κατανομή των σημείων ελέγχου Συνεπώς, το διάνυσμα των κόμβων μπορεί να είναι: –Περιοδικό ομοιόμορφο –Ανοικτό ομοιόμορφο –Περιοδικό ανομοιόμορφο –Ανοικτό ανομοιόμορφο 48

49 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΟΜΒΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟ Οι κόμβοι είναι διακριτοί και ισαπέχουν μεταξύ τους, [0, 1, 2, 3, 4] ή [-0.2, -0.1, 0, 0.1, 0.2] αρχίζει από το μηδέν και αυξάνει κατά μονάδα, ή κανονικοποιείται στο διάστημα [0 1 ], [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0] γενικός τύπος ορισμού: u j = j, 0 ≤ j ≤ n + p + 1 χρήσιμο διάστημα κόμβων, p ≤ j ≤ n + 1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αριθμός σημείων ελέγχου της καμπύλης, n + 1 = 11, βαθμός καμπύλης, p = 2, να βρεθεί το περιοδικό ομοιόμορφο διάνυσμα κόμβων. Αριθμός κόμβων: m = n + p + 1 = 10 + 2 + 1 = 13, m + 1 = 14 Διάνυσμα κόμβων [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13] Χρήσιμο διάνυσμα [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11] και η καμπύλη αποτελείται από 9 επιμέρους τμήματα. τρίτου βαθμού καμπύλη, p = 3, m = 10 + 3 + 1 = 14, m + 1 = 15 Διάνυσμα κόμβων [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14] Χρήσιμο διάνυσμα [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11] και η καμπύλη αποτελείται από 8 επιμέρους τμήματα. Η αύξηση κατά 1 του βαθμού της καμπύλης μειώνει αντίστοιχα και τον αριθμό των τμημάτων από τα οποία αποτελείται η καμπύλη 49

50 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΟΜΒΩΝ ΑΝΟΙΚΤΟ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟ υπάρχει μια πολλαπλότητα τιμών στα άκρα που ισούται με την τάξη k (k = p + 1) των βασικών συναρτήσεων Β-Spline. Οι εσωτερικοί κόμβοι είναι ομοιόμορφα διατεταγμένοι, k = 2 (p = 1) [0, 0, 1, 2, 3, 4, 4] k = 3 (p = 2) [0, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 3] k = 4 (p =3) [0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2] κανονικοποιημένα διαστήματα, k = 2 (p=1) [0, 0, ¼, ½, ¾, 1, 1] k = 3 (p=2) [0, 0, 0, 1/3, 2/3, 1, 1, 1] k = 4 (p=3) [0, 0, 0, 0, ½, 1, 1, 1, 1] Στη γενική του περίπτωση, προσδιορίζεται από τη σχέση u i = 0 0 ≤ i < k u i = i – (k – 1) k ≤ i < n +1 u i = n – k + 2 n + 1 ≤i≤n + k Το χρήσιμο διάστημα τιμών συμπίπτει με όλες τις διακριτές τιμές στο διάνυσμα κόμβων ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αριθμός σημείων ελέγχου της καμπύλης, n + 1 = 11, βαθμός καμπύλης, p = 2, να βρεθεί το ανοικτό ομοιόμορφο διάνυσμα κόμβων. Αριθμός κόμβων: m = n + p + 1 = 10 + 2 + 1 = 13, m+1 = 14 Διάνυσμα κόμβων [0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9] Χρήσιμο διάνυσμα [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]. Ο αριθμός των τμημάτων από τα οποία αποτελείται η καμπύλη είναι 9, όπως και στην περίπτωση του περιοδικού διαστήματος. Για τρίτου βαθμού καμπύλη, p = 3, m = 10 + 3 + 1 = 14, m + 1 = 15 Διάνυσμα κόμβων [0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 8] Χρήσιμο διάνυσμα [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]. Η καμπύλη πάλι αποτελείται από 8 τμήματα, κατά 1 μικρότερο από τη δεύτερου βαθμού καμπύλη 50

51 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΟΜΒΩΝ Το ανομοιόμορφο διάνυσμα κόμβων μπορεί να παίρνει τιμές ανομοιόμορφα κατανεμημένες, ή να έχει πολλαπλούς εσωτερικούς κόμβους μπορεί να είναι περιοδικό ή ανοικτό, [0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2] (ανοικτό ανομοιόμορφο με διπλό εσωτερικό κόμβο) [0, 1, 2, 2, 3, 4] (περιοδικό ανομοιόμορφο με διπλό εσωτερικό κόμβο) [0, 0.28, 0.5, 0.72, 1] (περιοδικό ανομοιόμορφο με τυχαίες τιμές) Στο περιοδικό διάνυσμα κόμβων, η καμπύλη δεν διέρχεται από τα ακραία σημεία ελέγχου, ενώ στο ανοικτό διάνυσμα η καμπύλη διέρχεται. Για τον λόγο αυτό το δεύτερο διάνυσμα είναι πιο σύνηθες 51

52 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ B-SPLINE Η μορφή τους εξαρτάται από το διάνυσμα κόμβων. Υπολογίζονται από την αναδρομική σχέση Το διάγραμμα δείχνει ότι η βασική συνάρτηση πέμπτου βαθμού του πρώτου σημείου ελέγχου (i = 0), N 0,5 (u) εξαρτάται από 6 βασικές συναρτήσεις μηδενικού βαθμού και συγκεκριμένα από την Ν 0,0 (u) μέχρι τη N 5,0 (u). Στη γενική περίπτωση, –μια βασική συνάρτηση p βαθμού, –του i-σημείου ελέγχου, N i-1,p (u), –εξαρτάται από τις βασικές συναρτήσεις Ν i,0 (u) μέχρι N i+p,0 (u). 52

53 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 53

54 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΟΙΚΤΕΣ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 54

55 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΑΝΟΜΟΙΟΡΦΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΟΜΒΩΝ [Χ] = [0, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 3] [Χ] = [ 0, 0, 0, 0.4, 2.6, 3, 3, 3] [Χ] = [0, 0, 0, 1.8, 2.2, 3, 3, 3] [Χ] = 0, 0, 0, 1, 1, 3, 3, 3] [Χ] = [0, 0, 0, 2, 2, 3, 3, 3] 55

56 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗΑΝΟΙΚΤΗ ΣΕ = 14, P 0 … P 13 ΒΑΘΜΟΣ = 6, p=6 ΑΡΙΘΜΟΣ ΚΟΜΒΩΝ = 21, m=20 ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΟΜΒΩΝ [0, 1, 2, …, 18, 19, 20] ΧΡΗΣΙΜΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ [U 6,U 14 ] = [6,14] ΣΕ = 7, P 0 … P 6 ΒΑΘΜΟΣ = 3, p=3 ΑΡΙΘΜΟΣ ΚΟΜΒΩΝ = 11, m=10 ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΟΜΒΩΝ [0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4] ΧΡΗΣΙΜΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ [U 3,U 7 ] = [0,4] 56

57 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΟΜΒΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΥΝ ΜΙΑ ΒΑΣΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η βασική συνάρτηση N i,p (u), δεν μηδενίζεται στο διάστημα τιμών των κόμβων, [u i, u i+p+1 ), ή διαφορετικά η N i,p (u) δεν μηδενίζεται στα p +1 διαστήματα κόμβων [u i, u i+1 ), [u i+1, u i+2 ),..., [u i+p, u i+p+1 ). ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ Σ' ΕΝΑ ΜΟΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΟΜΒΩΝ σε κάθε διάστημα [u i, u i+1 ), μέχρι p +1 βασικές συναρτήσεις βαθμού p δεν μηδενίζονται και αυτές είναι οι: N i-p,p (u), N i-p+1,p (u), N i-p+2,p (u),..., N i-1,p (u) και N i,p (u). 57

58 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άθροισμα βασικών συναρτήσεων ίσο με τη μονάδα (εφαρμογή μετασχηματισμών) Κάθε βασική συνάρτηση παίρνει μόνο θετικές τιμές: N i,p (u) ≥ 0 (ιδιότητα κυρτού περιβλήματος) Ορίζονται όλοι οι παράγωγοι κάθε βασικής συνάρτησης N i,p (u) στα εσωτερικά σημεία των κόμβων –Στην τιμή ενός κόμβου, η βασική συνάρτηση N i,p (u) διαφοροποιείται (p - q) φορές, όπου q είναι η πολλαπλότητα του κόμβου –Η πολλαπλότητα του κόμβου υπολογίζεται από το διάστημα ορισμού. Κάθε βασική συνάρτηση Ν i,p (u) παίρνει μια μόνο μέγιστη τιμή. 58

59 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ B-SPLINE Βαθμός καμπύλης. –επιλέγεται από το χρήστη, –Πρέπει n - k + 2 > 0. –2, 3 και 4 σημεία ελέγχου, για τον προσδιορισμό πρώτου, δεύτερου ή τρίτου βαθμού καμπύλης Β-Spline. Τοπικός έλεγχος. –Μετακίνηση ενός ΣΕ επηρεάζει μόνο ορισμένα από τα τμήματα της καμπύλης και όχι όλη την καμπύλη –Μετακίνηση ενός ΣΕ, επηρεάζει p + 1 από τα τμήματά της, που ορίζονται από το διάστημα κόμβων [u i, u i+p +1 ), όπου i είναι το σημείο ελέγχου που μετακινείται. Η ανοικτή καμπύλη περνάει από τα ακραία ΣΕ και εφάπτεται στα ακραία τμήματα, ενώ η περιοδική καμπύλη δεν περνάει από αυτά, 59

60 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ B-SPLINE ΜΟΡΦΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Η μορφή της καμπύλης εξαρτάται από το βαθμό της –Για k = 1 (μηδενικού βαθμού), η καμπύλη εκφυλίζεται και συμπίπτει με τα σημεία ελέγχου, –για k = 2 (πρώτου βαθμού) η καμπύλη συμπίπτει με το πολύγωνο ελέγχου –Για k = 3 (δευτέρου βαθμού) η καμπύλη εφάπτεται του πολυγώνου ελέγχου στο μέσο του κάθε τμήματος, εκτός του πρώτου και του τελευταίου τμήματος. Τα μέσα των τμημάτων του πολυγώνου ελέγχου είναι και οι τιμές των κόμβων της καμπύλης –Εάν k = n + 1 έχουμε καμπύλη Bézier, και οι τιμές του u είναι μεταξύ 0 και 1. 60

61 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ B-SPLINE ΜΟΡΦΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Πολλαπλά σημεία ελέγχου μάς δίνουν υψηλή τιμή καμπυλότητας στο σημείο εκείνο και η καμπύλη έλκεται περισσότερο προς το συγκεκριμένο σημείο ελέγχου Ισχύει η ιδιότητα του κυρτού πολυγώνου. Η καμπύλη B- Spline περιλαμβάνεται πλήρως στο κυρτό πολύγωνο που δημιουργείται από τα σημεία ελέγχου της καμπύλης. Η ιδιότητα αυτή έχει μάλιστα και «τοπικό χαρακτήρα». 61

62 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ B-SPLINE Variation diminishing. Εάν η καμπύλη είναι επίπεδη, τότε ο αριθμός των σημείων τομής μεταξύ μιας γραμμής και της καμπύλης είναι μικρότερος ή ίσος από τον αριθμό των σημείων τομής της γραμμής με το πολύγωνο ελέγχου Και οι περιοδικές καμπύλες έχουν τις ίδιες ιδιότητες και τα ίδια χαρακτηριστικά με τις ανοικτές εκτός του ότι: –Δεν διέρχονται από τα ακραία σημεία ελέγχου. –Δεν εφάπτονται των ακραίων τμημάτων 62

63 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ BEZIER ΣΕ B-SPLINE Οι καμπύλες B-Spline και οι καμπύλες Bézier έχουν πολλές κοινές ιδιότητες. Οι B-Spline προέρχονται από τις Bézier και αποτελούν ένα υπερσύνολο αυτών. Μια καμπύλη Bézier ταυτίζεται με την αντίστοιχη B-Spline όταν ο βαθμός της B-Spline είναι ίσος με τον αριθμό των σημείων ελέγχου της μείον 1. Κάθε καμπύλη B-Spline μπορεί να χωριστεί σ' έναν αριθμό τμημάτων Bézier που συνδέονται μεταξύ τους με συνέχεια C 2. –O χωρισμός γίνεται στις τιμές των κόμβων και –απαιτείται να προσδιοριστούν τα σημεία ελέγχου κάθε τμήματος Bézier από τα υπάρχοντα σημεία ελέγχου της B-Spline Αντίστροφα, μια σειρά από καμπύλες Bézier μπορούν να συνδεθούν σε μια καμπύλη B-Spline, όταν –όλα τα τμήματα είναι του ίδιου βαθμού και –υπάρχει μεταξύ τους συνέχεια C 2. –το σημείο ένωσης των καμπυλών γίνεται σημείο τιμής κόμβου της καμπύλης B-Spline και –Πρέπει να προσδιοριστούν τα νέα σημεία ελέγχου της B-Spline από τα υπάρχοντα σημεία ελέγχου των καμπυλών Bézier. 63

64 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΕΝΩΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ BEZIER ΣΕ B-SPLINE Δύο καμπύλες τρίτου βαθμού, ορίζονται από τα ΣΕ P 0 1, P 1 1, P 2 1, P 3 1, η πρώτη P 0 2, P 1 2, P 2 2, P 3 2, η δεύτερη Αντικαθίστανται από B-Spline, όταν υπάρχει συνέχεια δεύτερου βαθμού μεταξύ τους. Συνθήκες: Κοινά άκρα, P 3 1 = P 0 2 Συνέχεια κλίσης: P 1 ΄(1)=p(P 3 1 –P 2 1 )=P 2 ΄(0)=p(P 1 2 –P 0 2 ) τα σημεία P 2 1, P 3 1 = P 0 2 και P 1 2 στην ίδια ευθεία και P 2 1 P 3 1 = P 0 2 P 1 2. Το σημείο P 3 1 = Ρ 0 2 είναι περιττό και ορίζεται από το μέσον του τμήματος P 2 1 P 1 2. Συνέχεια δεύτερου βαθμού: P 1 ΄΄(1) = p(p-1)(P 3 1 - 2P 2 1 + P 1 1 ) P 2 ΄΄(0) = p(p-1)(P 0 2 – 2P 1 2 + P 2 2 ) πρέπει P 1 1 P 2 1 = P 2 1 P 2 και P 2 2 P 1 2 = P 1 2 P 2 Τα P 2 1 και P 1 2 υπολογίζονται από το μέσον του τμήματος P 1 1 P 2 και P 2 2 P 2 αντίστοιχα Το πολύγωνο ελέγχου που ορίζεται από τα σημεία, P 0 1, P 1 1, P2, P 2 2, P 3 2 τιμές κόμβων τα άκρα των καμπυλών Bézier 64

65 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΔΙΑΙΡΕΣΗ B-SPLINE ΣΕ BEZIER Διαδικασία μετατροπής καμπύλης B-Spline, που αποτελείται από περισσότερα του ενός τμήματα, σε τμήματα Bézier: –Ορίζονται τα σημεία της καμπύλης B-Spline που αντιστοιχούν στις τιμές των κόμβων. –Τα σημεία αυτά είναι τα αντίστοιχα ακραία σημεία κάθε νέου τμήματος Bézier. –Προφανώς, τα σημεία αυτά είναι και σημεία ελέγχου κάθε τμήματος. –Σε καθένα από αυτά τα σημεία φέρονται εφαπτόμενες προς την καμπύλη και ορίζονται τα σημεία τομής της κάθε εφαπτόμενης με το πολύγωνο ελέγχου. –Τα σημεία τομής είναι τα πρόσθετα σημεία ελέγχου της κάθε καμπύλης Bézier. 65

66 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΝΟΙΚΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ B-SPLINE Όταν τα σημεία ελέγχου είναι διακριτά μεταξύ τους, τότε στην καμπύλη υπάρχει συνέχεια κατεύθυνσης και καμπυλότητας μεταξύ των διάφορων τμημάτων, αλλά δεν περνάει από κανένα από τα σημεία ελέγχου. Εάν δύο σημεία ελέγχου συμπίπτουν, τότε έχουμε ασυνέχεια καμπυλότητας. Εάν συμπίπτουν τρία συνεχόμενα σημεία ελέγχου, τότε έχουμε ασυνέχεια κλίσης. Το καθένα από τα κυβικά τμήματα έχει τις ιδιότητες του απλού μετασχηματισμού και του κυρτού περιβλήματος όπως και οι καμπύλες Bézier. Μπορούμε με κατάλληλη διαμόρφωση των εξισώσεων να κάνουμε την καμπύλη να περνάει από τα ακραία σημεία ελέγχου και να έχει κλίση ίση με τα ακραία τμήματα (μετατροπή σε ανοικτή ή μη περιοδική Β-Spline). 66

67 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΡΗΤΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ Η Απαίτηση Ευθείες και τα παραβολικά τμήματα απεικονίζονται ακριβώς με τη χρήση Bézier και B-Splines. Κύκλος, έλλειψη ή υπερβολή, προσεγγίζονται. Τα ρητά τμήματα (ομογενείς συντεταγμένες για τα ΣΕ), μπορούν να τα απεικονίσουν με ακρίβεια. Χρησιμοποιούνται οι ομογενείς συντεταγμένες. Σε μια ρητή καμπύλη, –όταν το W είναι ίδιο για όλα τα ΣΕ, η ρητή καμπύλη είναι ίδια με την πολυωνυμική καμπύλη. –Εάν το βάρος είναι διαφορετικό για ένα τουλάχιστον ΣΕ, τότε η ρητή καμπύλη είναι διαφορετική από την πολυωνυμική. Η μορφή της καμπύλης μεταβάλλεται με έναν πρόσθετο τρόπο, μεταβάλλοντας την τέταρτη συντεταγμένη W (το βάρος) του σημείου ελέγχου. Με τον τρόπο αυτό, απεικονίζονται με ακρίβεια κυκλικά τμήματα και κωνικές τομές εν γένει. Είναι σήμερα το κυρίαρχο standard στην απεικόνιση των καμπυλών και επιφανειών Η Έννοια του Βάρους 67

68 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΡΗΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ 68

69 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΥΚΛΟΥ - ΤΟΞΟΥ Σημεία ελέγχου (1,0) και (-1,0) με βάρος ίσο με τη μονάδα και το μεσαίο σημείο ελέγχου είναι το μέσον του τόξου (0,1) με βάρος 0 Βάρος ΣΕ, 1, cosφ, 1, με 2φ τη γωνία του τόξου 69

70 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΥΚΛΟΥ - ΤΟΞΟΥ Δεν είναι μοναδιαία η αναπαράσταση του κυκλικού τόξου. Εναλλακτική αναπαράσταση –ΣΕ (1,0,1), (1,1,1) και (0,2,2) –Εξίσωση καμπύλης –Αντίστοιχα μπορούν να περιγραφούν και όλες οι κωνικές τομές 70

71 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΡΗΤΗ ΚΑΜΠΥΛΗ BEZIER Γενική εξίσωση ρητών 2 ου βαθμού Πληρότητα καμπύλης w 0 w 2 / w 1 2 = k 2 K<1, υπερβολή K=1, παραβολή k>1, έλλειψη Εξίσωση κυβικής καμπύλης Απεικονίζουν ακριβώς κάθε κωνική τομή Γενική εξίσωση Bezier n-βαθμού Εάν Τότε η εξίσωση είναι 71

72 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Θετικές τιμές, R i,n (u) ≥ 0, για όλα τα ζεύγη i,n και 0 ≤ u ≤ 1. Άθροισμα ίσο με τη μονάδα, για 0 ≤ u ≤ 1. R 0,n (0) = R n,n (1) = 1 Η συνάρτηση R i,n (u) έχει ένα μέγιστο στο διάστημα [0,1]. Εάν w i = 1, για όλα τα i, τότε R i,n (u) = B i,n (u). ΚΑΜΠΥΛΩΝ Κυρτό πολύγωνο. Δεν μεταβάλλεται από τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς. Αριθμός τομών επιπέδου (ή ευθείας ) με την καμπύλη είναι μικρότερος ή ίσος από τον αριθμό τομών του επίπεδου με το πολύγωνο ελέγχου. Η καμπύλη περνάει από τα ακραία σημεία, C(0)= P 0 και C(1)= P 1. Η παράγωγος k-βαθμού, στα σημεία u = 0 και u = 1, εξαρτάται από τα πρώτα ή τα τελευταία αντίστοιχα, k+ 1, σημεία. Ειδικά C΄(0) και C΄(1) είναι παράλληλοι προς τα τμήματα P 1 -P 0 και P n -P n-1. Οι πολυωνυμικές καμπύλες Bézier είναι μια ειδική περίπτωση των ρητών καμπυλών Bézier. 72

73 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΡΗΤΕΣ B-SPLINES Ορίζονται όπως και οι Bezier Γενική εξίσωση καμπύλης p βαθμού Θέτοντας Εξίσωση Ιδιότητες Ρητών Συναρτήσεων Θετικές τιμές, R i,p (u) ≥ 0, για όλα τα i, p και 0≤ u ≤ 1. Άθροισμα ίσο με τη μονάδα, για 0 ≤ u ≤ 1. R 0,p (0) = R n,p (1) = 1 Η R i,p (u) έχει ένα μέγιστο στο διάστημα [0,1]. Τοπικότητα, Ri,p(u) = 0, για u [ui,u i+p + 1 ). Σε κάθε διάστημα κόμβων, p + 1 από τις συναρτήσεις R i,p (u) είναι μη μηδενικοί και είναι οι R i-p,p (u), …, R i,p (u) για το [u i, u i+ 1 ). Όλες οι παράγωγοι της R i,p (u) υπάρχουν στο εσωτερικό ενός διαστήματος που είναι μη μηδενική. Στον κόμβο η R i,p (u) παραγωγίζεται p - k, φορές, k είναι η πολλαπλότητα του κόμβου. 7. Εάν w i = 1, για όλα τα i, τότε R i,p (u) = N i,p (u). 73

74 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΡΗΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ Κυρτό πολύγωνο. Γενικό και τοπικό Δεν μεταβάλλεται από τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς. Αριθμός τομών επιπέδου (ή ευθείας) με την καμπύλη. Περνάει από τα ακραία σημεία, C(0) = P 0 και C(1) = P n. Στα εσωτερικά σημεία της καμπύλης (εκτός των τιμών των κόμβων) υπάρχει η παράγωγος οποιουδήποτε βαθμού. Στους κόμβους υπάρχει η παράγωγος k - p βαθμού, όπου k η πολλαπλότητα του κόμβου. Μια ρητή καμπύλη χωρίς εσωτερικούς κόμβους είναι μια ρητή Bézier. Οι πολυωνυμικές καμπύλες B-Spline είναι μια ειδική περίπτωση των ρητών καμπυλών B-Sline. 74

75 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΡΗΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ Τοπικότητα. Εάν μετατοπιστεί ένα σημείο ελέγχου, P i, ή αλλάξει το βάρος του σημείου ελέγχου, τότε η αλλαγή αυτή επηρεάζει μόνο το τμήμα της καμπύλης [u i, u i+p + 1 ). 75

76 Συστήματα CAD/CAM & Τρισδιάστατη Μοντελοποίηση 3 Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Ακμών Αναπαράσταση Καμπυλών ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΡΗΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ Για τιμές του u [u i, u i+p +1 ), όταν το w i αυξάνει ή μειώνεται, τότε το σημείο C(u) κινείται πλησιέστερα ή απομακρύνεται αντίστοιχα από το σημείο P i. Συνεπώς, και όλη η καμπύλη έλκεται ή απωθείται αντίστοιχα από το σημείο P i. Η αντίστοιχη κίνηση του σημείου C(u) είναι κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής για σταθερή τιμή του u 76