Πιθανότητες. Τυχαίο Πείραμα όσες φορές και να γίνει κρατώντας τις συνθήκες σταθερές, το αποτέλεσμά του δεν είναι πάντα το ίδιο.

Παρουσίαση με θέμα: "Πιθανότητες. Τυχαίο Πείραμα όσες φορές και να γίνει κρατώντας τις συνθήκες σταθερές, το αποτέλεσμά του δεν είναι πάντα το ίδιο."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Πιθανότητες

2 Τυχαίο Πείραμα όσες φορές και να γίνει κρατώντας τις συνθήκες σταθερές, το αποτέλεσμά του δεν είναι πάντα το ίδιο

3 Δειγματικός Χώρος (Sample Space) Το σύνολο που περιέχει όλα τα δυνατά αποτελέσματα ενός τέτοιου πειράματος Συμβολίζουμε με Ω. Μπορεί να είναι πεπερασμένο ή άπειρο

4 Παραδείγματα το φύλο του νεογέννητου παιδιού Ω = { Α, Κ } η ρίψη ενός ζαριού, Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } το ύψος των ατόμων μιας περιοχής Ω = [0,  ) αριθμός των αποικιών ενός μύκητα σε μία καλλιέργεια, Ω = { 0, 1, 2, 3,... }

5 Γεγονότα ή Ενδεχόμενα (events) Τα υποσύνολα του δειγματικού χώρου, Συμβολίζονται συνήθως με τα κεφαλαία γράμματα Α, Β, Γ,.. Απλά γεγονότα αποτελούνται από ένα μόνο σημείο Σύνθετα γεγονότα περιλαμβάνουν περισσότερα σημεία

6 Γεγονότα (γραφική απεικόνηση)

7 Θεωρία Συνόλων & Γεγονότα Πραγματοποιείται το Α και το Β Πραγματοποιείται η Α  Β (τομή) Ω Α Β

8 Θεωρία Συνόλων & Γεγονότα Πραγματοποιείται το Α ή το Β (ή και τα δύο) Πραγματοποιείται η Α  Β (ένωση) Ω Α Β

9 Θεωρία Συνόλων & Γεγονότα Δεν πραγματοποιείται το Α Πραγματοποιείται το Α c (συμπλήρωμα) Ω Α ΑcΑc

10 Κάποιες ιδιότητες i) Α  Β τότε "πραγματοποίηση του Α" σημαίνει "πραγματοποίηση του Β« οπωσδήποτε ii) Α  Β=  τότε "πραγματοποίηση του Α" σημαίνει "μη πραγματοποίηση του Β" και "πραγματοποίηση του Β" σημαίνει "μη πραγματοποίηση του Α" Ασυμβίβαστα

11 Ασυμβίβαστα Γεγονότα Ω Α Β Α  Β= 

12 Αδύνατο / Βέβαιο γεγονός Το Ω ονομάζεται βέβαιο γεγονός (sure event) – πραγματοποιείται πάντα Το κενό σύνολο  ονομάζεται αδύνατο γεγονός (impossible event) – δεν πραγματοποιείται ποτέ

13 Πιθανότητες (probabilities) (ορισμός) Στατιστικός ορισμός Α-priori ορισμός Υποκειμενικός ορισμός;; Όπως και να οριστεί η πιθανότητα, πρέπει να έχει κάποιες ιδιότητες, να υπακούει σε κάποιους κανόνες, π.χ. 0 ≤ Ρ(Α) ≤ 1 (0% - 100%)

14 Στατιστικός ορισμός Πιθανότητα ενός γεγονότος Α, είναι η σχετική συχνότητα εμφάνισης του Α, όταν το πείραμα επαναληφθεί πάρα πολλές (άπειρες!) φορές, κάτω από τις ίδιες ακριβώς συνθήκες Η πιθανότητα δηλαδή εκτιμάται σε ένα δείγμα από τη σχετική συχνότητα.

15 Α-priori ορισμός Αν ο δειγματικός χώρος είναι πεπερασμένος και αποτελείται από k απλά γεγονότα, δηλ. Ω = { ω 1, ω 2,..., ω k } τότε αν όλα τα αποτελέσματα του πειράματος έχουν την ίδια πιθανότητα εμφάνισης (ισοπίθανα), η πιθανότητα του καθενός είναι ίση με 1/k

16 Ιδιότητες i) 0  P(A)  1 (η πιθανότητα είναι πάντα αριθμός μεταξύ 0 και 1) ii) P(Ω) = 1 και P(  ) = 0 (η πιθανότητα του βέβαιου γεγονότος είναι 1 και του αδύνατου γεγονότος 0)

17 Ιδιότητες iii) Αν Α  Β τότε Ρ(Α)  Ρ(Β) (Οταν η πραγματοποίηση του Α σημαίνει ταυτόχρονα και την πραγματοποίηση του Β, τότε το Β είναι περισσότερο "πιθανό" από το Α) iv) Αν Α  Β=  τότε Ρ(Α  Β)= Ρ(Α) + Ρ(Β). (Αν τα γεγονότα Α και Β είναι ξένα μεταξύ τους, τότε η πιθανότητα να συμβεί ένα από τα δύο, είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων που έχουν να συμβούν το καθένα χωριστά).

18 Ιδιότητες v) Γενικά Ρ(Α  Β)= Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α  Β) προσθετικό θεώρημα vi) Ρ(Α c ) + Ρ(Α)= 1 (H πιθανότητα του συνόλου και η πιθανότητα του συμπληρώματός του έχουν άθροισμα 1)

19 Πιθανότητα υπό συνθήκη Έστω ότι έχουμε μια πληροφορία για το αποτέλεσμα ενός πειράματος Μας λένε δηλαδή, ότι συνέβη το γεγονός Β. Τότε η πιθανότητα να συμβεί το Α ενώ γνωρίζουμε οτι συνέβη το Β ονομάζεται Δεσμευμένη Πιθανότητα (conditional probability) του Α, δοθέντος του Β Συμβολίζουμε με Ρ(Α/Β)

20 Ορισμός (εννοείται βέβαια οτι Ρ(Β)  0) Από τον τύπο αυτό προκύπτει ο τύπος Ρ(Α  Β) = P(Α|Β). Ρ(Β)

21 Ανεξάρτητα γεγονότα Υπάρχουν περιπτώσεις που η πληροφορία μας για την πραγματοποίηση ενός γεγονότος Β δεν αλλάζει την πιθανότητα του γεγονότος Α, που μας ενδιαφέρει, δηλαδή P(Α|Β) = Ρ(Α) Τότε τα γεγονότα Α και Β ονομάζονται ανεξάρτητα (independent)

22 Βασική ιδιότητα ανεξαρτησίας Τα Α και Β είναι ανεξάρτητα όταν Ρ(Α  Β) = P(Α). Ρ(Β) Η ιδιότητα επεκτείνεται σε n γεγονότα. Αν τα Α 1,…,Α n είναι ανεξάρτητα τότε Ρ(Α 1  …  Α n ) = P(Α 1 )…Ρ(Α n )