“ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ” Μάθημα :Δ17 Φιλοσοφία των Μαθηματικών. Διδάσκουσα : Δήμητρα Χριστοπούλου Χειμερινό εξάμηνο 2015-2016 Μποχώτης.

Παρουσίαση με θέμα: "“ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ” Μάθημα :Δ17 Φιλοσοφία των Μαθηματικών. Διδάσκουσα : Δήμητρα Χριστοπούλου Χειμερινό εξάμηνο 2015-2016 Μποχώτης."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 “ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ” Μάθημα :Δ17 Φιλοσοφία των Μαθηματικών. Διδάσκουσα : Δήμητρα Χριστοπούλου Χειμερινό εξάμηνο 2015-2016 Μποχώτης Αθανάσιος Δ201410 Πέττας Νικόλαος- Μάρκος Δ201416 Platonism in the Philosophy of Mathematics Oystein Linnebo 1

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΛΑΤΩΝΙΣΜΟΣ  Η μεταφυσική θεωρία σύμφωνα με την οποία υπάρχουν αφηρημένα αντικείμενα ανεξάρτητα από εμάς, της γλώσσας, της σκέψης μας και των πρακτικών μας.  Επομένως οι μαθηματικές αλήθειες ανακαλύπτονται και δεν επινοούνται. Το πιο σημαντικό επιχείρημα για την ύπαρξη αφηρημένων αντικειμένων προέρχεται από τον Gottlob Frege.  Παρά το επιχείρημα του Frege,αρκετοί φιλόσοφοι διατύπωσαν μια ποικιλία αντιρρήσεων σχετικά με τον μαθηματικό πλατωνισμό.  Υποστηρίχτηκε κυρίως ότι τα μαθηματικά αντικείμενα είναι επιστημολογικά μη προσιτά και μεταφυσικά προβληματικά.  Ο μαθηματικός πλατωνισμός είναι από τα πιο φλέγοντα θέματα υπό συζήτηση στον τομέα της φιλοσοφίας τις τελευταίες δεκαετίες. 2

3 Τι είναι ο Μαθηματικός Πλατωνισμός  Ορίζεται ως ο συνδυασμός των παρακάτω τριών χαρακτηριστικών: i) Existence (υπάρχουν μαθηματικά αντικείμενα),φορμαλιστικά σημαίνει όπου x το μαθηματικό αντικείμενο και Μx το κατηγόρημα (το x ικανοποιεί την έννοια Μ) ii) Abstractness (ιδιότητα του αφηρημένου) δηλαδή τα μαθηματικά αντικείμενα δεν είναι χωροχρονικά. iii) Independence (ανεξαρτησία του νου) δηλαδή αν δεν υπήρχε κάποιος ευφυής παράγοντας ή αν είχαμε διαφορετική γλώσσα, σκέψη ή πρακτικές τότε τα μαθηματικά αντικείμενα θα υπήρχαν ακόμα.  Γενικά, Πλατωνισμός είναι η θεωρία η οποία προκύπτει από τους παραπάνω 3 ισχυρισμούς αν αντικαταστήσουμε το επίθετο μαθηματικός με οποιοδήποτε άλλο επίθετο. 3

4 Παρατηρήσεις  Αν και ο μαθηματικός πλατωνισμός εμπνεύστηκε από την διάσημη θεωρία του Πλάτωνα (των αφηρημένων και αιώνιων μορφών) σήμερα ο ορισμός του καθώς και η διαπραγμάτευση που γίνεται γύρω από αυτόν είναι ανεξάρτητα της ιστορικής του προέλευσης.  Παλαιότεροι χαρακτηρισμοί του πλατωνισμού θεωρούσαν ότι έχει επιστημολογικό περιεχόμενο καθώς έχει άμεση εξάρτηση από τα αφηρημένα αντικείμενα. Ως μεταφυσική θεωρία όμως πρέπει να διαχωριστεί από εκείνες που έχουν καθαρά επιστημολογικό περιεχόμενο.  Πολλοί φιλόσοφοι ( κυρίως οι υποστηρικτές του indispensability argument) όπως ο Quine υπερασπίζονται τον πλατωνισμό ως προς την καθαρά μεταφυσική του διάσταση και προσπαθούν να δώσουν μια ευρέως εμπειρική υπεράσπιση του μαθηματικού πλατωνισμού.  Σύμφωνα λοιπόν με τα παραπάνω απορρίπτεται ο ισχυρισμός ότι όλες οι αλήθειες των καθαρών μαθηματικών είναι απαραίτητες. 4

5 Φιλοσοφική Σημασία  Ο μαθηματικός πλατωνισμός, εφόσον είναι αληθής, μπορεί να ασκήσει έντονη πίεση στην φυσικαλιστική και νατουραλιστική θεωρία.  Η φυσικαλιστική θεωρία είναι η οντολογική θεωρία σύμφωνα με την οποία η πραγματικότητα εξαντλείται από την φυσική (φυσικό κόσμο).Για τον πλατωνισμό η πραγματικότητα είναι πέρα από τα όρια του πραγματικού κόσμου και περιλαμβάνει αντικείμενα τα οποία δεν έχουν αιτιώδη συνάφεια και δεν είναι χωροχρονικής τάξης.  Η νατουραλιστική θεωρία είναι μια μεταφυσική θεωρία που υποστηρίζει ότι όλα τα φαινόμενα μπορούν να ερμηνευτούν μηχανιστικά με την βοήθεια φυσικών νόμων και αιτιών, δηλαδή θεωρεί ότι δεν κατέχουμε ουσιαστικά την μαθηματική γνώση. Αντιθέτως, ο μαθηματικός πλατωνισμός υποστηρίζει ότι μπορούμε να αποκτήσουμε γνώση των αφηρημένων αντικειμένων.  Ο μαθηματικός πλατωνισμός είναι κατάλληλα διατυπωμένος ώστε να μπορεί να υποστηρίξει τέτοιου είδους συνέπειες γεγονός που βοηθά στην δημιουργία μιας πετυχημένης πειθαρχίας, τόσο για τα μαθηματικά όσο και ως εργαλείο για άλλες επιστήμες. 5

6 Αντινομιναλισμός  Στην σύγχρονη φιλοσοφία ως νομιναλισμός ορίζεται η θεωρία σύμφωνα με την οποία δεν υπάρχουν αφηρημένα αντικείμενα (καθολικές έννοιες-ιδέες).  Αντινομιναλισμός είναι η άρνηση του νομιναλισμού, δηλαδή υποστηρίζει ότι υπάρχουν αφηρημένα αντικείμενα.  Ο αντινομιναλισμός όσον αφορά τα μαθηματικά εκφράζει την σύνδεση των ιδιοτήτων Existence και abstractness, ενώ δεν λαμβάνει υπ’ όψιν του την ιδιότητα Independence. Οπότε θεωρείται λογικά ασθενέστερος του μαθηματικού πλατωνισμού.  Επομένως οι συνέπειες του αντινομιναλισμού στην φιλοσοφία δεν είναι τόσο ισχυρές όσος αυτών του μαθηματικού πλατωνισμού. 6

7  Αρκετοί φυσικαλιστές δέχονται την ύπαρξη μη φυσικών αντικειμένων υπό τον όρο ότι αυτά ανάγονται σε φυσικά αντικείμενα. Δηλαδή, δέχονται την ύπαρξη αντικειμένων όπως επιχειρήσεις/νόμοι/ποιήματα υπό τον όρο ότι είναι κατάλληλα εξαρτημένα ή αναγώγιμα σε φυσικά αντικείμενα.  Επίσης δεν υπάρχει πρόβλημα στην επιστημολογική προσέγγιση των μη φυσικών αντικειμένων τα οποία έχουμε κατασκευάσει ή συγκροτήσει εμείς και των οποίων μπορούμε να αποκτήσουμε γνώση κατά την διαδικασία κατασκευή τους.  Υπάρχουν θεωρίες στην φιλοσοφία των μαθηματικών οι οποίες είναι αντινομιναλιστικές χωρίς να είναι πλατωνιστικές.  Χαρακτηριστικό παράδειγμα τέτοιων θεωριών είναι οι κλασικές διαισθητικές θεωρίες. Οι οποίες δέχονται την ύπαρξη μαθηματικών αντικειμένων, αλλά θεωρούν ότι αυτά τα αντικείμενα εξαρτώνται ή καθορίζονται από τους μαθηματικούς και τις δραστηριότητες τους. 7

8 Truth-Value Realism  Είναι η φιλοσοφική θεωρία σύμφωνα με την οποία κάθε καλώς σχηματισμένη μαθηματική πρόταση έχει μια μοναδική και αντικειμενική αλήθεια ανεξάρτητα από το αν είναι γνωστή σε εμάς ή από το αν ακολουθεί λογικώς τις τρέχουσες μαθηματικές θεωρίες.  Επίσης υποστηρίζει ότι οι περισσότερες μαθηματικές προτάσεις οι οποίες θεωρούνται αληθείς είναι όντως αληθείς, δηλαδή είναι ξεκάθαρα μια μεταφυσική θεωρία, χωρίς να είναι οντολογική (αντίθετα με τον πλατωνισμό) αφού δεν υιοθετεί την χαρακτηριστική πλατωνιστική ιδέα ότι οι αλήθειες προέρχονται από την οντολογική φύση των μαθηματικών αντικειμένων.  Ο μαθηματικός πλατωνισμός την παρακινεί να εξηγήσει στο πως οι μαθηματικές προτάσεις είναι αληθείς.  Επίσης από μόνη της δεν συνεπάγεται την ιδιότητα Existence,οπότε δεν μπορεί να συνεπάγεται τον αντινομιναλισμό ή τον πλατωνισμό. 8

9  Αρκετοί νομιναλιστές επιδοκιμάζουν την truth-value realism, τουλάχιστον σε κάποιους βασικούς κλάδους των μαθηματικών όπως η αριθμητική.  Οι νομιναλιστές αυτού του είδους είναι προσκολλημένοι στην άποψη ότι αν και μια συνηθισμένη μαθηματική πρόταση όπως «υπάρχουν πρώτοι αριθμοί μεταξύ 10 και 20» είναι αληθής στην πραγματικότητα δεν υπάρχουν μαθηματικά αντικείμενα οπότε δεν υπάρχουν αριθμοί.  Για να δικαιολογήσουμε την παραπάνω άποψη θα πρέπει να διαχωρίσουμε την γλώσσα που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί (Lm) από αυτήν των νομιναλιστών ή των άλλων φιλοσόφων (Lp).  Η παραπάνω πρόταση διατυπώνεται στην Lm ενώ ο ισχυρισμός των νομιναλιστών στην Lp. Οπότε ο ισχυρισμός τους είναι σωστός εφόσον η πρόταση μεταφραστεί από την Lm στην Lp.  Το παραπάνω παράδειγμα δείχνει ότι για να έχει η ιδιότητα Existence το επιδιωκόμενο αποτέλεσμα οι μαθηματικές προτάσεις πρέπει να διατυπώνονται στην Lp. 9

10  Ένα μικρό αλλά σημαντικό μέρος φιλοσόφων υποστηρίζει ότι η συζήτηση σχετικά με τον πλατωνισμό θα πρέπει να αντικατασταθεί από μια συζήτηση σχετικά με την truth- value realism.  Διότι η truth-value realism είναι περισσότερο σαφής καθώς και η διαπραγμάτευση σχετικά με αυτήν θα αποφέρει πιο σημαντικά αποτελέσματα για την φιλοσοφία αλλά και για τα μαθηματικά αυτά κάθε αυτά. 10

11 The Mathematical Significance of Platonism  Working realism είναι η μεθοδολογική θεωρία σύμφωνα με την οποία τα μαθηματικά θα πρέπει να εφαρμόζονται με δεδομένο ότι ο πλατωνισμός είναι αληθής.  Η διαπραγμάτευση για την θεμελίωση του μαθηματικού πλατωνισμού ανέδειξε κάποιες συγκεκριμένες μαθηματικές μεθόδους,όπως : i. τις κλασσικές γλώσσες 1 ης τάξης (των οποίων οι ενικοί όροι και ποσοδείκτες δεν αναφέρονται στα μαθηματικά αντικείμενα). ii. την κλασσική και όχι ιντουσιονιστική λογική. iii. τις μη κατασκευαστικές μεθόδους καθώς και τα μη κατασκευαστικά αξιώματα (αξίωμα επιλογής) iv. τους μη κατηγορηματικούς ορισμούς. v. τον Hilbertian optimism (κάθε μαθηματικό πρόβλημα είναι επιλύσιμο)  Σύμφωνα με τον working realism οι παραπάνω μέθοδοι είναι αποδεκτές και διαθέσιμες για οποιονδήποτε μαθηματικό συλλογισμό, χωρίς να παίρνει θέση για το αν χρειάζονται περαιτέρω φιλοσοφικού τύπου αιτιολόγηση και αν αυτή θα πρέπει να βασιστεί στον μαθηματικό πλατωνισμό. Άρα working realism και πλατωνισμός είναι διακριτές θεωρίες. 11

12  Ωστόσο,είναι πιθανό να υπάρχουν λογικές σχέσεις μεταξύ των δύο θεωριών, καθώς είναι εμφανές ότι ο working realism υποστηρίζεται από τον μαθηματικό πλατωνισμό. Οπότε δεδομένου ότι ο μαθηματικός πλατωνισμός είναι αληθής έχουμε : 1. η γλώσσα των μαθηματικών ανάγεται στην (i). 2. υπό την προϋπόθεση ότι είναι ορθό να επιχειρηματολογούμε για κάθε ανεξάρτητη ύπαρξη της πραγματικότητας, έχουμε την (ii). 3. ο μαθηματικός πλατωνισμός μας εξασφαλίζει ότι τα μαθηματικά ανακαλύπτονται και δεν επινοούνται έχουμε την (iii). 4. σύμφωνα με το επιχείρημα του Gödel (1944),ότι οι μη κατηγορηματικοί ορισμοί ισχύουν όταν τα οριζόμενα αντικείμενα υπάρχουν ανεξαρτήτως των ορισμών, τότε έχουμε (iv). 5. εφόσον τα μαθηματικά αφορούν μια ανεξαρτήτως υπαρκτή πραγματικότητα, τότε κάθε μαθηματικό πρόβλημα θα έχει μια μοναδική απάντηση, οπότε έχουμε την (v).  Επομένως η αλήθεια του μαθηματικού πλατωνισμού θα είχε σημαντικές συνέπειες για τα μαθηματικά,καθώς θα ήταν σε θέση να αιτιολογήσει τις κλασσικές μεθόδους οι οποίες σχετίζονται με τον working realism και να ενθαρρύνει την έρευνα για νέα αξιώματα για την επίλυση ερωτημάτων που δεν μπορούν να απαντηθούν από τις τρέχουσες θεωρίες. 12

13  Ο working realism δεν συνεπάγεται ξεκάθαρα τον μαθηματικό πλατωνισμό,ενώ ισχυρίζεται ότι είναι δικαιολογημένο να χρησιμοποιούμε την πλατωνιστική γλώσσα στα σύγχρονα μαθηματικά,ωστόσο στην διαπραγμάτευση του truth-value realism είδαμε ότι η πλατωνιστική γλώσσα των μαθηματικών μπορεί να αναλυθεί κατά τέτοιον τρόπο ώστε να αποφύγει την αναφορά ή την ποσοτικοποίηση στα μαθηματικά αντικείμενα.  Επίσης θα ήταν απαραίτητο ένα ακόμα επιχείρημα για την αιτιολόγηση του Independence. Το Φρεγγιανό Επιχείρημα Για την Ύπαρξη  Ο πρώτος φιλόσοφος που διατύπωσε ένα επιχείρημα για την ύπαρξη των μαθηματικών αντικειμένων ήταν ο Frege.  Ήταν γενικό και αφηρημένο και απείχε από τις ιδιαίτερες απόψεις του σχετικά με την ύπαρξη των μαθηματικών αντικειμένων καθώς και από την άποψη του ότι η αριθμητική ανάγεται στην λογική. 13

14  Οπότε ο λογικισμός του Frege είναι ένας τρόπος μέσα από τον οποίο μπορούμε να περιγράψουμε το Fregean Argument ενώ παρακάτω θα αναπτύξουμε κάποιους άλλους τρόπους.  Το Fregean Argument βασίζεται σε δύο στοιχεία : 1) Classical Semantics : αφορά την σημασιολογία της γλώσσας των μαθηματικών.  οι ενικοί όροι της γλώσσας των μαθηματικών και οι ποσοδείκτες 1 ης τάξης αποσκοπούν στο να αναφερθούν στα μαθηματικά αντικείμενα.  Αποσκοπώ (purport) σημαίνει ότι όταν μια πρόταση S (αληθής) σκοπεύει να αναφερθεί ή να ποσοτικοποιήσει με ένα συγκεκριμένο τρόπο στα μαθηματικά αντικείμενα,τότε αυτό επιτυγχάνεται οπωσδήποτε. 2) Truth: οι περισσότερες προτάσεις οι οποίες είναι αποδεκτές ως μαθηματικά θεωρήματα είναι αληθείς, ανεξάρτητα από την συντακτική ή σημασιολογική τους δομή. 14

15 Classical Semantics  Θεωρεί ότι η γλώσσα των μαθηματικών σημασιολογικά λειτουργεί με παρόμοιο τρόπο με αυτόν της γλώσσας στην γενική της λειτουργία.  Είναι συμβατή με τις περισσότερες παραδοσιακές σημασιολογικές θεωρίες και κυρίως με αυτές που αναφέρονται στις έννοιες των προτάσεων.  Η γλώσσα των μαθηματικών θεωρείται ότι έχει την ίδια σημασιολογική δομή με την συνήθης μη μαθηματική γλώσσα. Σύμφωνα με τον Burgess (1999) οι προτάσεις « Evelyn is prim» και «Eleven is prime» έχουν την ίδια σημασιολογική δομή διότι το κατηγόρημα αποδίδεται στο υποκείμενο.  Η παραπάνω παρατήρηση υποστηρίζεται από αρκετούς γλωσσολόγους και σημασιολόγους. Ωστόσο,η Classical Semantics έχει αμφισβητηθεί από τους νομιναλιστές όπως οι Helman (1989) και Hofweber (2005) οι οποίοι ισχυρίστηκαν ότι οι ομοιότητες μεταξύ μαθηματικής και μη μαθηματικής γλώσσας είναι απατηλές. 15

16 16  Σε όλους τους τρόπους υποστήριξης της αλήθειας πρώτα αναγνωρίζεται κάποιο πρότυπο με το οποίο οι τιμές αλήθειας των μαθηματικών προτάσεων μπορούν να αξιολογηθούν και στη συνέχεια υποστηρίζεται ότι τα μαθηματικά θεωρήματα ικανοποιούν αυτό το πρότυπο.  Μια επιλογή υποστήριξης της αλήθειας είναι να απευθυνθούμε σε ένα πρότυπο που είναι πιο θεμελιώδες από αυτό των ίδιων των μαθηματικών. Ένα παράδειγμα παρέχει ο λογικισμός.  Μια άλλη επιλογή είναι να απευθυνθούμε προς τα πρότυπα της εμπειρικής επιστήμης. Το επιχείρημα της αναγκαιότητας των Quine-Putnam παρέχει ένα παράδειγμα.  Μια τρίτη επιλογή είναι να απευθυνθούμε στα πρότυπα των ίδιων των μαθηματικών Υποστήριξη της αλήθειας

17 17  Εδώ είναι ένα παράδειγμα για το πώς μπορεί να αναπτυχθεί μια νατουραλιστική στρατηγική. Ανακαλέστε τη στάση που μαθηματικοί παίρνουν στα θεωρήματα «αποδοχής» των μαθηματικών. Στη συνέχεια, οι ακόλουθοι ισχυρισμοί φαίνονται προφανείς: (6) Οι μαθηματικοί δικαιολογούνται στην αποδοχή των θεωρήματων των μαθηματικών. (7) Αποδεχόμενοι μια μαθηματική πρόταση S περιλαμβάνει ότι η προταση S είναι αληθής. (8) Όταν ένας μαθηματικός δέχεται μια μαθηματική πρόταση S, το περιεχόμενο αυτής της αποδοχής είναι σε γενικές γραμμές η κυριολεκτική έννοια του S. Από αυτούς τους τρείς ισχυρισμούς προκύπτει ότι οι ειδικοί των μαθηματικών έχουν κάθε λόγο να λαμβάνουν τα θεωρήματα των μαθηματικών κυριολεκτικά αληθή. Κατ 'επέκταση οι υπόλοιποι από εμάς δικαιολογούμαστε να πιστεύουμε στην αλήθεια. Σημειώστε ότι οι ειδικοί οι οποίοι πιστεύουν τον ισχυρισμό (6) οι ίδιοι δεν χρειάζεται να πιστεύουν τους ισχυρισμούς (7) και (8), πόσο μάλλον που είναι δικαιολογημένο σε κάθε τέτοια πίστη (αλήθεια). Αυτό που έχει σημασία είναι ότι οι τρεις ισχυρισμοί είναι αληθείς. Το έργο της θεμελίωσης της αλήθειας των (7) και (8) μπορεί να πέσει σε γλωσσολόγους, ψυχολόγους, κοινωνιολόγους, ή φιλόσοφους, αλλά σίγουρα όχι στους ίδιους τους μαθηματικούς.

18 Η έννοια της οντολογικής δέσμευσης  Eκδόσεις του επιχειρήματος του Frege αναφέρονται μερικές φορές στην έννοια της οντολογικής δέσμευσης. Υποθέτουμε ότι λειτουργούμε με το τυπικό Quinean κριτήριο της οντολογικής δέσμευσης: Κριτήριο του Quine. Μια πρόταση πρώτης τάξης (ή συλλογή τέτοιων προτάσεων) είναι οντολογικά δεσμευμένη σε τέτοια αντικείμενα, όπως θα έπρεπε να είναι,σε όλο το σύνολο τιμών των μεταβλητών για τις οποίες η πρόταση (ή συλλογή των προτάσεων) είναι αληθής. Όμως όπως προκύπτει από την κλασική σημασιολογία,πολλές προτάσεις των μαθηματικών είναι οντολογικά δεσμευμένες στα μαθηματικά αντικειμένα. Το κριτήριο έχει αμφισβητηθεί. Ορισμένοι φιλόσοφοι αρνούνται ότι ενικοί όροι και οι ποσοδείκτες πρώτης τάξης συνεπάγονται αυτόματα οντολογικές δεσμεύσεις. 18

19 19  Η απάντηση σε αυτές τις προκλήσεις είναι να παρατηρήσουμε ότι το επιχείρημα του Frege αναπτύχθηκε πιο πάνω χωρίς τη χρήση του όρου «οντολογική δέσμευση». Η απάντηση είναι απίθανο να ικανοποιεί τους αμφισβητίες, οι οποίοι θα απαντήσουν ότι το συμπέρασμα του επιχειρήματος που αναπτύχθηκε παραπάνω είναι πολύ αδύναμο για να έχει το επιδιωκόμενο αποτέλεσμα.  Οι αμφισβητίες όμως θα πρέπει να παρέχουν μια εξήγηση γιατί η μη τυπική έννοια της οντολογικής δέσμευσης είναι καλύτερη και θεωρητικά πιο ενδιαφέρουσα από ότι η τυπική Quinean έννοια.

20 Από την ύπαρξη στον Μαθηματικό Πλατωνισμό  Ο μαθηματικός Πλατωνισμός είναι το αποτέλεσμα της προσθήκης στην Ύπαρξη των ισχυρισμών της ιδιότητας του αφηρημένου και της Ανεξαρτησίας του νου. Ιδιότητα του αφηρημένου. Με τα πρότυπα της φιλοσοφίας η ιδιότητα του αφηρημένου παρέμεινε σχετικά αναμφισβήτητη. Σε κάθε φιλοσοφική ερμηνεία της μαθηματικής πρακτικής πρέπει να αποφεύγουμε να αποδίδουμε στα μαθηματικά χαρακτηριστικά που θα καθιστούσαν την μαθηματική πρακτική ανεπαρκή. Έτσι είναι δύσκολο να αρνηθούμε ότι τα αντικείμενα των καθαρών μαθηματικών έχουν την ιδιότητα του αφηρημένου,γιατί αν δεν την είχαν, οι μαθηματικοί θα έπρεπε να ενδιαφερθούν για τις θέσεις των αντικειμένων τους (όπως οι φυσικοί ενδιαφέρονται για τις θέσεις των δικών τους) και έτσι η μαθηματική πρακτική θα ήταν ανεπαρκής.Οι μαθηματικοί όμως δεν δείχνουν κανένα ενδιαφέρον για τις θέσεις των αντικειμένων τους το οποίο δείχνει ότι τα αντικείμενα τους έχουν την ιδιότητα του αφηρημένου. 20

21 21 Τα μαθηματικά αντικείμενα είναι ανεξάρτητα του νου.  Η ανεξαρτησία του νου λέει ότι τα μαθηματικά αντικείμενα αν υπάρχουν είναι ανεξάρτητα από τους φορείς ευφυΐας,της γλώσσας,σκέψης και της πρακτικής τους.  Ο ισχυρισμός αυτός έχει γίνει σιωπηρά αποδεκτός από τους περισσότερους αναλυτικούς φιλοσόφους όχι λόγω επιχειρημάτων υπέρ του αλλά γιατί δεν κατανοούν τι θα σήμαινε να μην ισχύει ο ορισμός.  Η αδυναμία να δούμε σαφείς εναλλακτικές λύσεις για μια άποψη δεν είναι μία υπεράσπιση της άποψης. Για να ξεπεράσουμε αυτό το εμπόδιο μια στρατηγική είναι να ψάξουμε για μια διαδρομή από τον τρόπο εργασίας του ρεαλισμού στην Ανεξαρτησία του νου. Μια άλλη επιλογή είναι να προχωρήσουμε από τη μεθοδολογία της σύγχρονης θεωρίας συνόλων στην Ανεξαρτησία του νου. Όμως αυτή η επιλογή αφήνει ένα ανοικτό ερώτημα: μπορεί η πρόταση αυτή να εξέλιχθεί σε ένα πειστικό επιχείρημα;

22 Αντιρρήσεις στο Μαθηματικό Πλατωνισμό Επιστημολογική πρόσβαση. Είναι μια βελτιωμένη έκδοση από τον Field (1989) της αντίρρησης Benacerraf (1973).Η έκδοση αυτή βασίζεται στις παρακάτω προϋποθέσεις:  Προϋπόθεση 1. Οι μαθηματικοί είναι αξιόπιστοι, με την έννοια ότι για σχεδόν κάθε μαθηματική πρόταση S, αν οι μαθηματικοί αποδέχονται την πρόταση S, τότε η πρόταση S είναι αλήθής.  Προϋπόθεση 2. Για να μπορέσει να δικαιολογηθεί μια γνώμη (πίστη) στα μαθηματικά,θα πρέπει τουλάχιστον κατ 'αρχήν, να είναι δυνατόν να εξηγήσει την αξιοπιστία που περιγράφεται στην Προϋπόθεση 1.  Προϋπόθεση 3. Αν ο μαθηματικός Πλατωνισμός είναι αληθής, τότε αυτή η αξιοπιστία δεν μπορεί να εξηγηθεί ούτε στις βασικές αρχές. 22

23 Μια μεταφυσική αντίρρηση  Ο Benacerraf (1965) υπερασπίζεται την στρουκτουραλιστική άποψη των φυσικών αριθμών, σύμφωνα με την οποία οι φυσικοί αριθμοί δεν έχουν άλλες ιδιότητες εκτός από να είναι θέσεις σε ω-ακολουθία.  Ο Benacerraf αντλεί το παρακάτω συμπεράσμα: οι αριθμοί δεν είναι καθόλου αντικείμενα,γιατί δίνοντας τις ιδιότητες των αριθμών απλώς χαρακτηρίζουμε μία αφηρημένη δομή και ο διαχωρισμός έγκειται στο γεγονός ότι τα «στοιχεία» της δομής δεν έχουν καμία άλλη ιδιότητα εκτός αυτής που τους συσχετίζει σε άλλα " στοιχεία "της ίδιας δομής. Τα δύο βήματα της επιχειρηματολογίας Benacerraf έχουν αμφισβητηθεί.Το πρώτο βήμα -οι φυσικοί αριθμοί έχουν μόνο δομικές ιδιότητες- αμφισβητείται από τους λογικιστές και νεο-λογικιστές, οι οποίοι ισχυρίζονται ότι οι φυσικοί αριθμοί είναι άρρηκτα συνδεδεμένοι με τις πληθικότητες των συλλογών που αριθμούν. Το δεύτερο βήμα, -ότι δεν υπάρχουν αντικείμενα μόνο με δομικές ιδιότητες- απορρίπτεται ρητά από όλους τους δομιστές που υπερασπίζονται το πρώτο βήμα. 23

24 Άλλες μεταφυσικές αντιρρήσεις.  Μία μεταφυσική αντίρρηση στο μαθηματικό πλατωνισμό και στη θεωρία συνόλων είναι του Goodman (1956) που υπερασπίζεται την αρχή του Νομιναλισμού, η οποία ορίζει ότι, όταν δύο οντότητες έχουν τα ίδια βασικά συστατικά, είναι πανομοιότυπες. Η αρχή αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως ενίσχυση στο γνωστό σύνολο των θεωρητικών αξιωμάτων της Επεκτασιμότητας.  Με την έγκριση αυτής της αρχής,ο Goodman δεν επιτρέπει το σχηματισμό των συνόλων και των κλάσεων, επιτρέποντας μόνο το σχηματισμό μερεολογικών αθροισμάτων και την εφαρμογή των τυποποιημένων μερεολογικών πράξεων.  Ωστόσο, η υπερασπίση από τον Goodman της Αρχής του Νομιναλισμού είναι πλέον διαδεδομένο ότι δεν είναι πειστική, όπως αποδεικνύεται από την ευρεία αποδοχή της θεωρίας συνόλων από τους φιλοσόφους και μαθηματικούς,,ως βασικού κλάδου των μαθηματικών. 24

25 Μορφές του Πλατωνισμού.  Πλήρης Πλατωνισμός.  Ο καθαρόαιμος Πλατωνισμός είναι μια μορφή Πλατωνισμού που χαρακτηρίζεται από την αρχή της πληρότητας σύμφωνα με την οποία κάποια μαθηματικά αντικειμένα που θα μπορούσαν να υπάρχουν, υπάρχουν στην πραγματικότητα.  Ένα υποτιθέμενο πλεονέκτημα αυτής της πλήρους άποψης είναι στην επιστημολογία των μαθηματικών. Αν κάθε συνεπής μαθηματική θεωρία είναι αληθής για κάποιο μέρος του σύμπαντος των μαθηματικών αντικειμένων, τότε η μαθηματική γνώση θα είναι κατά κάποιο τρόπο εύκολο να επιτευχθεί,με την προϋπόθεση ότι οι μαθηματικές μας θεωρίες είναι συνεπείς, και είναι εγγυημένα αληθείς για κάποιο μέρος του σύμπαντος των μαθηματικών αντικειμένων. 25

26 26  Ο «καθαρόαιμος Πλατωνισμός» έχει δεχτεί αρκετή κριτική.  Επικρίνεται για υπονομεύση της δυνατότητας αναφοράς στα μαθηματικά αντικείμενα (Colyvan and Zalta 1999), έλλειψη σαφών και πειστικών διατύπωσεων της αρχής της πληρότητας πάνω στην οποία στηρίζεται (Restall 2003),Ο Martin (2001) προτείνει ότι διαφορετικά σύμπαντα συνόλων συγχωνεύονται για να δώσουν ένα μοναδικό μέγιστο σύμπαν, το οποίο θα τύχει ευνοϊκής μεταχείρισης από την τοποθέτηση της αντίληψής μας για τα σύνολα καλύτερα από οποιοδήποτε άλλο σύμπαν συνόλων. Οι (Linsky & Zalta 2006 ) αναφέρουν ότι ο παραδοσιακός Πλατωνισμός σφάλλει συλλαμβάνοντας αφηρημένα αντικειμένα με το μοντέλο των φυσικών αντικειμένων, συμπεριλαμβάνοντας ειδικότερα την ιδέα ότι αυτά τα αντικείμενα είναι «αραιά» παρά πλήρη.

27 Απλές σημασιολογικές αξίες.  Ας υποθέσουμε ότι ο αντι-νομιναλισμός είναι αληθής και για λόγους ευκολίας ας υποθέσουμε το ίδιο και η κλασική σημασιολογία. Οι υποθέσεις αυτές εξασφαλίζουν ότι οι ενικοί όροι και ποσοδείκτες της μαθηματικής γλώσσας αναφέρονται και κυμαίνονται πάνω από τα αφηρημένα αντικείμενα.  Λαμβάνοντας υπ΄όψη αυτές τις υποθέσεις τα αντικείμενα στα οποία οι μαθηματικές προτάσεις αναφέρονται και ποσοτικοποιούν ικανοποιούν την Ανεξαρτησία του νου ή κάποια παρόμοια κατάσταση; 27

28 28  Ας κάνουμε επίκληση της έννοιας της σημειολογικής αξίας για να διατυπώσουμε τις υποθέσεις μας πιό αντικειμενικά. Οι υποθέσεις μας μπορούν τώρα να διατυπωθούν αντικειμενικά όπως και ο ισχυρισμός ότι οι μαθηματικοί ενικοί όροι έχουν αφηρημένες σημασιολογικές αξίες και ότι ποσοδείκτες τους κυμαίνονται πάνω από τα είδη των στοιχείων που χρησιμεύουν ως σημασιολογικές τιμές. Ποιά είναι η φιλοσοφική σημασία του ισχυρισμού ενικός όρος;Υποστηρίζει κάποια εκδοχή ανεξαρτησίας; Η απάντηση εξαρτάται από το τι απαιτείται για ένα μαθηματικό ενικό όρο ώστε να έχει μια σημειολογική αξία. Ορισμένοι φιλόσοφοι υποστηρίζουν ότι δεν απαιτούνται πάρα πολλά.(Frege 1953, Dummett 1981, Dummett 1991a, Hale & Wright 2000, και Wright 1983).

29 Τελικά τι είναι ο μαθηματικός Πλατωνισμός;  Οι απλές μορφές του Πλατωνισμού αξίζει να λέγονται «Πλατωνικές»; δεδομένου ότι οι απόψεις αυτές χαρακτηρίζονται καθαρά ως αντι- νομιναλιστικές,είναι αρκετά αληθείς στον κόσμο της Ανεξαρτησίας;  Η Ανεξαρτησία του νου τεκμηριώνει μια αναλογία μεταξύ των μαθηματικών αντικειμένων και των απλών φυσικών αντικειμένων.  Η Ανεξαρτησία του νου πιθανώς θα πρέπει να σχολιαστεί κατά τρόπο που να την καθιστά ασυμβίβαστη με τις φόρμες του Πλατωνισμού.  Το πρόβλημα είναι η «άπιαστη» φύση της αναλογίας στην οποία η Ανεξαρτησία του νου βασίζεται. Μέχρι να πάρουμε μια καλύτερη πρόσφυση σε αυτήν την αναλογία, θα παραμείνει ασαφές το πώς ακριβώς ο Πλατωνισμός υποτίθεται πάει πέρα ​​ από τον αντι-νομιναλισμό. 29

30 Ευχαριστούμε πολύ!