1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson Βασίλης Μάγκλαρης

Παρουσίαση με θέμα: "1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson Βασίλης Μάγκλαρης"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 9/3/2016

2 Επανάληψη (1) ΤΥΠΟΣ Little Χρόνος καθυστέρησης Τ = W + s Ε(Τ) = Ε(n)/γ (Τύπος Little) Ε(Τ) = E{n(t)}/γ = E(W) + E(s) = = E{n q (t)}/γ + E{n s (t)}/γ (Τύπος Little)

3 Επανάληψη (2) ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ A/S/N/K –A : Τύπος διαδικασίας εισόδου πελατών –S : Τύπος τυχαίας μεταβλητής χρόνου εξυπηρέτησης –Ν: Αριθμός εξυπηρετητών –Κ : Χωρητικότητα συστήματος (μέγιστος αριθμός πελατών στην αναμονή + εξυπηρέτηση) Παραδείγματα –Μ/Μ/1: Αφίξεις Poisson (Markov, Memoryless), ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης εκθετικοί (Markov), 1 εξυπηρετητής, άπειρη χωρητικότητα συστήματος (μηδενικές απώλειες ή αστάθεια) –M/D/1: Αφίξεις Poisson (Markov, Memoryless), ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης σταθεροί (Deterministic), 1 εξυπηρετητής, άπειρη χωρητικότητα συστήματος –M/G/1/4: Αφίξεις Poisson (Markov, Memoryless), ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης γενικής κατανομής (General), 1 εξυπηρετητής, χωρητικότητα συστήματος 4 πελάτες –Μ/Μ/4/8: Αφίξεις Poisson (Markov, Memoryless), ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης εκθετικοί (Markov), 4 εξυπηρετητές, χωρητικότητα συστήματος 8 πελάτες: Μοντέλο κέντρου κλήσεων (call center) με 4 χειριστές – τηλεφωνητές & μέχρι 4 κλήσεις στην αναμονή

4 Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ (exponential distribution) Μια τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) - random variable Χ ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο λ όταν: F χ (t) = P[X ≤ t] = 1-exp(-λt), f Χ (t) = dF χ (t)/dt = λ exp(-λt) για t ≥ 0 F χ (t) = f Χ (t) = 0 για t < 0 E(Χ) = 1/λ, var(Χ) = 1/λ 2 Ιδιότητα έλλειψης μνήμης P[X>t+s/X>t] = P[X>s] Κατανομή ελαχίστου μεταξύ ανεξάρτητων τ.μ. εκθετικά κατανεμημένων Χ 1 : με παράμετρο λ 1 Χ 2 : με παράμετρο λ 2 Χ = min{Χ 1,Χ 1 } είναι εκθετικά κατανεμημένη με παράμετρο λ = λ 1 +λ 2

5 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ – ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ (Stochastic Processes – Time Series)

6 Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Poisson k γεγονότα (π.χ. αφίξεις) σε διάστημα t εμφανίζονται με πιθανότητα P[n(t) = k] = P k (t) = e –λt (λt) k / k !, k = 0,1,2,… E t (n) = λt Var t (n) = λt Μέσος ρυθμός αφίξεων: λ πελάτες/sec ανεξάρτητα από χρόνο αναφοράς (στάσιμες αυξήσεις) Η κατανομή Poisson σαν όριο της Διωνυμικής Κατανομής (binomial distribution)

7 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ Poisson Οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων μιας διαδικασίας Poisson με μέσο ρυθμό λ, είναι τυχαίες μεταβλητές (τμ) εκθετικά κατανεμημένες με μέση τιμή 1/λ Υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poisson λ 1, λ 2 δημιουργεί διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό λ = λ 1 + λ 2 Διάσπαση διαδικασίας Poisson ρυθμού λ μέσω ανεξαρτήτων τυχαίων επαναλήψεων Bernoulli με πιθανότητες p, q = 1-p (π.χ. τυχαία δρομολόγηση χωρίς μνήμη) δημιουργεί ανεξάρτητες διαδικασίες Poisson με μέσους ρυθμούς λ 1 = pλ λ 2 = qλ