Ενότητα 11: Κβαντομηχανική και μονοδιάστατα προβλήματα Γ’ Όνομα Καθηγητή: Χριστόφορος Κροντηράς Τμήμα Φυσικής.

Παρουσίαση με θέμα: "Ενότητα 11: Κβαντομηχανική και μονοδιάστατα προβλήματα Γ’ Όνομα Καθηγητή: Χριστόφορος Κροντηράς Τμήμα Φυσικής."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Ενότητα 11: Κβαντομηχανική και μονοδιάστατα προβλήματα Γ’ Όνομα Καθηγητή: Χριστόφορος Κροντηράς Τμήμα Φυσικής

2  Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.  Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3  Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.  Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.  Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 4 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκων Καθηγητής: Χρ. Κροντηράς Niels Bohr (documentary, Nobel Prize)documentary Nobel Prize «Εκείνοι που δεν συγκλονίζονται από την κβαντική θεωρία, σίγουρα δεν την έχουν κατανοήσει» Πηγή: WikipediaWikipedia

5 5 Κβαντομηχανική και μονοδιάστατα προβλήματα Γ’ Φαινόμενο σήραγγας E. Schrödinger ( documentary ) Nobel Prize lecture Max Born (documentary) (documentary) Nobel Prize lecture Πηγή: Wikipedia by Bundesarchiv Bild183-R57262Wikipedia Πηγή: WikipediaWikipedia

6 6 Περιεχόμενα της ενότητας 11  Κβαντομηχανική και μονοδιάστατα προβλήματα Διερεύνηση της εξίσωσης του Schrödinger: Ορθογώνιο φράγμα δυναμικού Φαινόμενο Σήραγγας Μη ορθογώνιο φράγμα δυναμικού Φαινόμενο Σήραγγας

7 7 Κβαντομηχανική και μονοδιάστατα προβλήματα Επιδιωκόμενα μαθησιακά αποτελέσματα Στο τέλος της ενότητας αυτής, ο φοιτητής θα γνωρίζει:  Το φράγμα δυναμικού και το φαινόμενος σήραγγας.  Την εκπομπή σωματίων α από ραδιενεργούς πυρήνες.  Τις τεράστιες διαφορές των χρόνων ημιζωής.

8 Ορθογώνιο φράγμα δυναμικού – Φαινόμενο σήραγγας Το ορθογώνιο φράγμα περιγράφεται από μια δυναμική ενέργεια U(x) που έχει σταθερή τιμή U o στην περιοχή του φράγματος από 0≤x≤L και μηδενίζεται έξω από αυτήν. Διαιρεί το χώρο σε τρεις περιοχές.  Την περιοχή Α, αριστερά του φράγματος, για -∞≤x≤0 με U=0.  Tην περιοχή Β του φράγματος για 0≤x≤L, με U= U o.  Tην περιοχή Γ, δεξιά του φράγματος για 0≤x≤∞, με U=0. Ένα κλασικό σωμάτιο, με ενέργεια Ε U o τότε το σωμάτιο μπορεί να περάσει από την περιοχή του φράγματος δυναμικού και να βρεθεί στην περιοχή Γ. Στην περιοχή 0≤x≤L, το σωμάτιο θα έχει μειωμένη ταχύτητα, ενώ στην περιοχή Γ η ταχύτητά του επανέρχεται στην τιμής αυτής που είχε στην περιοχή Α. E. Schrödinger

9 Κβαντομηχανικά όμως, «δεν υπάρχει περιοχή μη προσπελάσιμη από το σωμάτιο, ανεξάρτητα από την ενέργειά του». Δηλαδή, ακόμα και εάν Ε<U o το σωμάτιο έχει πεπερασμένη πιθανότητα να βρεθεί στο χώρο Β ή στο χώρο Γ επομένως να διαπεράσει το ορθογώνιο φράγμα δυναμικής ενέργειας. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται φαινόμενο σήραγγας. Αυτή η διείσδυση έρχεται σε πλήρη αντίθεση με την κλασική φυσική Η μαθηματική έκφραση για την εξίσωση του Schrödinger και ακόλουθα για την κυματοσυνάρτηση Ψ(x,t), σε οποιαδήποτε πλευρά του φράγματος, μπορεί να διατυπωθεί εύκολα. Ορθογώνιο φράγμα δυναμικού – Φαινόμενο σήραγγας E. Schrödinger

10 Διατυπώνουμε την εξίσωση Schrödinger για τους τρεις χώρους: Χώρος Α: Χώρος Β: Χώρος Γ: Οι εξισώσεις αυτές έχουν λύσεις: Ορθογώνιο φράγμα δυναμικού – Φαινόμενο σήραγγας Χώρος Α: Χώρος Β: Χώρος Γ: με E. Schrödinger

11 Στη συνάρτηση y A (x) ο πρώτος όρος περιγράφει ένα κύμα που οδεύει από τα αριστερά προς τα δεξιά (προσπίπτον κύμα) ενώ ο 2 ος όρος το κύμα που οδεύει από τα δεξιά προς τα αριστερά (ανακλώμενο). Στη συνάρτηση y Γ (x), ο 2 ος όρος δεν έχει νόημα αφού περιγράφει κύμα που οδεύει, στο χώρο Γ, από τα δεξιά προς τα αριστερά. Επομένως: Ορθογώνιο φράγμα δυναμικού – Φαινόμενο σήραγγας Χώρος Α: Χώρος Β: Χώρος Γ: με Χώρος Α : Χώρος Β : Χώρος Γ : με E. Schrödinger

12 Ορίζουμε το Συντελεστή Ανάκλασης R ως εξής: Εκφράζει την πιθανότητα να ανακλαστεί το σωμάτιο στο φράγμα δυναμικού και να συνεχίζει να κινείται στο χώρο Α. Ορθογώνιο φράγμα δυναμικού – Φαινόμενο σήραγγας Χώρος Α : Χώρος Β : Χώρος Γ : με Ορίζουμε επίσης το Συντελεστή Διέλευσης Τ: Εκφράζει την πιθανότητα το σωμάτιο να διέλθει από το φράγμα δυναμικού και να βρεθεί στον χώρο Γ. Το δ=1/α ονομάζεται μήκος διείσδυσης και είναι η απόσταση μέσα στο φράγμα όπου η πιθανότητα εύρεσης του σωματίου παραμένει υπολογίσιμη. E. Schrödinger

13 Πρέπει, για λόγους ομαλής συνέχειας του κύματος στα άκρα του φράγματος, να ισχύει: y A (0)=y B (0), dy A (0)\dx= dy B (0)\dx και y Β (L)=y Γ (L), dy B (L)\dx= dy Γ (L)\dx Ορθογώνιο φράγμα δυναμικού – Φαινόμενο σήραγγας Με την εφαρμογή των ανωτέρω σχέσεων μετά από αρκετές πράξεις και με την παραδοχή ότι L>>δ (ευρύ φράγμα) και V o >>E, προκύπτει: Χώρος Α : Χώρος Β : Χώρος Γ : με E. Schrödinger

14 Ορθογώνιο φράγμα δυναμικού – Φαινόμενο σήραγγας Παρατηρούμε ότι ο συντελεστής διέλευσης είναι εκθετική συνάρτηση της ενέργειας Ε και του εύρους L του φράγματος. Μπορούμε τώρα να απλοποιήσουμε τη σχέση αυτή εάν θεωρήσουμε τον προεκθετικό όρο σταθερό. Οπότε προκύπτει: Ας προχωρήσουμε τώρα, σε μια μικρή διερεύνηση της σχέσης αυτής ως προς τη μάζα m του σωματίου. Η κυματοσυνάρτηση υφίσταται μια εκθετική απόσβεση πλάτους μέσα στην κλασικά απαγορευμένη περιοχή (σχήμα). E. Schrödinger

15 Ορθογώνιο φράγμα δυναμικού – Φαινόμενο σήραγγας Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ηλεκτρόνιο μάζας m e και ένα πρωτόνιο μάζας m p =1836 m e.Τότε ο συντελεστής διέλευσης για το κάθε ένα είναι: με Προκύπτει τότε: Έστω τώρα ότι η πιθανότητα διέλευσης του ηλεκτρονίου είναι 10%=10 -1, τότε η πιθανότητα διέλευσης ενός πρωτονίου, από το ίδιο φράγμα δυναμικού, προκύπτει 10 -43 αφού ο λόγος των μαζών των σωματίων είναι 1836. Πρόκειται για αμελητέα πιθανότητα. E. Schrödinger

16 G. Gamow Μη ορθογώνιο φράγμα δυναμικού Φαινόμενο σήραγγας Ας υποθέσουμε ότι το φράγμα δυναμικής ενέργειας δεν είναι ορθογώνιο αλλά περιγράφεται από μια συνάρτηση U=f(x). Τότε: Το γ μεταβάλλεται με το x. Μπορούμε όμως, με ικανοποιητική προσέγγιση να θέσουμε στη θέση του γ, τη μέση τιμή του. Προκύπτει: Πηγή: WikipediaWikipedia

17 Μη ορθογώνιο φράγμα δυναμικού Φαινόμενο σήραγγας Μπορούμε τώρα να εξηγήσουμε την εκπομπή ακτινοβολίας α κατά τη διάσπαση ραδιενεργών πυρήνων. Τα βασικά χαρακτηριστικά της διάσπασης α είναι τα ακόλουθα:  Η κινητική ενέργεια των σωματίων α, που εκπέμπονται από οποιαδήποτε ραδιενεργό πηγή, βρίσκεται μέσα σε μια στενή περιοχή ενεργειών από 4 έως 9 MeV περίπου.  Ο χρόνος ημιζωής του ραδιενεργού στοιχείου μεταβάλλεται περισσότερο από είκοσι (20) τάξεις μεγέθους ανάλογα με το στοιχείο. Για παράδειγμα, για τα σωμάτια α στο Θόριο, η Ε κιν = 4,05ΜeV ενώ ο χρόνος ημιζωής του Θορίου είναι 1,3x10 10 έτη αντίθετα, για το Πολώνιο Ε κιν =8,95MeV και ο χρόνος ημιζωής είναι 3x10 -7 s. G. Gamow Πηγή: WikipediaWikipedia

18 Μη ορθογώνιο φράγμα δυναμικού Φαινόμενο σήραγγας Ο G. Gamow εξήγησε πρώτος ότι το φαινόμενο σήραγγας είναι υπεύθυνο για την εκπομπή σωματίων α.  Απέδωσε τα χαρακτηριστικά αυτά στην ύπαρξη προσχηματισμένου σωματίου α στο χώρο του μητρικού πυρήνα του ραδιενεργού στοιχείου και το οποίο κατορθώνει να περάσει μέσα από το φράγμα δυναμικού και να εξέλθει.  Μέσα στο μητρικό πυρήνα το σωμάτιο α είναι εγκλωβισμένο από το φρέαρ δυναμικού που δημιουργεί η ισχυρή πυρηνική δύναμη. Όταν το σωμάτιο α βρεθεί έξω από τον πυρήνα αντιμετωπίζει την απωστική δύναμη Coulomb από τον θυγατρικό πυρήνα.  Κλασικά, ακόμα και ένα σωμάτιο α ενέργειας 9MeV δεν μπορεί να υπερνικήσει το φράγμα Coulomb ύψους 30MeV. G. Gamow Πηγή: WikipediaWikipedia

19 Μη ορθογώνιο φράγμα δυναμικού Φαινόμενο σήραγγας Το φράγμα δυναμικής ενέργειας Coulomb δίδεται από τη σχέση: όπου Ζ ο ατομικός αριθμός του θυγατρικού πυρήνα. Οπότε προκύπτει: Για το Θόριο προκύπτει Τ=10 -38 και για το Πολώνιο Τ=10 -14. Αυτό σημαίνει ότι το σωμάτιο α, μέσα στον πυρήνα του Θορίου, θα πρέπει να κάνει 10 38 κρούσεις με τα τοιχώματα του πυρήνα μέχρι να εξέλθει. G. Gamow Πηγή: WikipediaWikipedia

20 Μη ορθογώνιο φράγμα δυναμικού Φαινόμενο σήραγγας Το σωμάτιο α κινείται για διάστημα 2R έως ότου συμβεί μια κρούση όπου R η ακτίνα του πυρήνα. Επομένως, ο χρόνος που χρειάζεται είναι: Εάν υποθέσουμε ότι η ταχύτητα u του σωματίου α, είναι 10 7 m/s και η ακτίνα του πυρήνα R=10 -14 m τότε προκύπτει t=2x10 -21 s. Επομένως, για να εξέλθει ένα σωμάτιο α από τον πυρήνα του Θορίου, απαιτείται χρόνος t Th =10 38 x2x10 -21 s δηλαδή t Th =10 17 s ~10 10 έτη. Αντίθετα για το Πολώνιο προκύπτει t Po =10 -7 s. Έτσι εξηγούνται οι τεράστιες διαφορές στο χρόνο ημιζωής των ραδιενεργών πυρήνων. G. Gamow Πηγή: WikipediaWikipedia

21 Μη ορθογώνιο φράγμα δυναμικού Φαινόμενο σήραγγας Παρόλο που ο θεωρητικός υπολογισμός για το συντελεστή διέλευσης δεν είναι αυστηρός και έχουν γίνει διάφορες προσεγγίσεις η συμφωνία με τις πειραματικές τιμές (πίνακας) είναι πραγματικά εντυπωσιακή τουλάχιστον στην τάξη μεγέθους. Επιβεβαιώνει έτσι την κβαντική θεωρία στην πιο ακραία πρόβλεψή της δηλαδή ότι, τα κβαντικά σωμάτια έχουν πεπερασμένη πιθανότητα να διέλθουν από περιοχές που δεν τους το επιτρέπει η ενέργειά τους! G. Gamow Πηγή: WikipediaWikipedia

22 Μη ορθογώνιο φράγμα δυναμικού Φαινόμενο σήραγγας Ένα άλλο φαινόμενο το οποίο οφείλεται στο φαινόμενο σήραγγας είναι οι θερμοπυρηνικές συντήξεις που συμβαίνουν στα άστρα. Χωρίς τον ζωοδότη Ήλιο μας δεν θα υπήρχαμε για να συζητάμε αυτά τα θέματα. Η θερμοκρασία του Ήλιου μας, στο κέντρο του, είναι περίπου 10 7 Κ. Σε αυτή ακόμα τη θερμοκρασία κάθε πυρήνας υδρογόνου έχει κινητική ενέργεια πολύ μικρότερη από αυτή που απαιτείται για να πλησιάσουν δύο πυρήνες πολύ κοντά και να συμβεί μια θερμοπυρηνική υπερνικώντας το απωστικό πεδίο μεταξύ τους λόγω δυνάμεων Coulomb. Αυτό το απωστικό φράγμα δυναμικής ενέργειας είναι της τάξης των MeV. G. Gamow Πηγή: WikipediaWikipedia

23 Μη ορθογώνιο φράγμα δυναμικού Φαινόμενο σήραγγας Τέτοιες θερμοκρασίες είναι 1000 φορές μεγαλύτερες από αυτές που επικρατούν στο κέντρο του Ήλιου μας. Στον Ήλιο μας λοιπόν, οι θερμοπυρηνικές συντήξεις συμβαίνουν λόγω του φαινομένου σήραγγας. Επομένως, θα μπορούσε κάποιος να ισχυριστεί ότι: Η ύπαρξη ζωής είναι ένα καθαρά κβαντομηχανικό φαινόμενο. Δηλαδή, κλασικά θα έπρεπε κάθε πυρήνας υδρογόνου να είχε ενέργεια στην τάξη των MeV για να πραγματοποιούνται συντήξεις. Αυτό σημαίνει ότι η θερμοκρασία του Ήλιου μας θα έπρεπε να είναι περίπου 10 10 Κ. G. Gamow Πηγή: WikipediaWikipedia

24 Ε ΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ Π ΡΟΣΟΧΗ Σ ΑΣ

25 Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις προσωπικές σημειώσεις και το υλικό παρουσιάσεων του μαθήματος όπως δημιουργήθηκαν από τον Καθηγητή κ. Χριστόφορο Κροντηρά. Οι εικόνες και οι φωτογραφίες των μεγάλων Φυσικών που δημιούργησαν την σύγχρονη θεώρηση της Φύσης, είναι διάσπαρτες σε όλο το δίκτυο και την βιβλιογραφία και αποτελούν κοινό κτήμα της ανθρωπότητας εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά στις αντίστοιχες παραπομπές. Οι ιστότοποι προέλευσης όσων αναφέρονται ήταν ενεργοί κατά την 21η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι παραπομπές.

26 Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Χριστόφορος Κροντηράς. «Σύγχρονη Φυσική. Ενότητα 11». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1961/ https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1961/

27 27 Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση, Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

28 Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει). Τέλος Ενότητας