Ενότητα 7: Αρχή της Αβεβαιότητας-Κβαντομηχανική Όνομα Καθηγητή: Χριστόφορος Κροντηράς Τμήμα Φυσικής.

Παρουσίαση με θέμα: "Ενότητα 7: Αρχή της Αβεβαιότητας-Κβαντομηχανική Όνομα Καθηγητή: Χριστόφορος Κροντηράς Τμήμα Φυσικής."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Ενότητα 7: Αρχή της Αβεβαιότητας-Κβαντομηχανική Όνομα Καθηγητή: Χριστόφορος Κροντηράς Τμήμα Φυσικής

2  Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.  Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3  Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.  Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.  Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 4 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκων Καθηγητής: Χρ. Κροντηράς Niels Bohr (documentary, Nobel Prize)documentary Nobel Prize «Εκείνοι που δεν συγκλονίζονται από την κβαντική θεωρία, σίγουρα δεν την έχουν κατανοήσει» Πηγή: WikipediaWikipedia

5 5 Αρχή της Απροσδιοριστίας W. Heisenberg Nobel Prize lecture Πηγή: Wikipedia by Bundesarchiv Bild183-R57262Wikipedia

6 6 Περιεχόμενα της ενότητας 7  Αρχή της Απροσδιοριστίας Αρχή της απροσδιοριστίας θέσης-ορμής Αρχή της απροσδιοριστίας ενέργειας-χρόνου  Κβαντομηχανική Κυματοσυνάρτηση Πυκνότητα πιθανότητας Βασικοί τελεστές Υπολογισμός μέσων τιμών Φύση των υλικών κυμάτων

7 7 Αρχή της απροσδιοριστίας Επιδιωκόμενα μαθησιακά αποτελέσματα Στο τέλος της ενότητας αυτής, ο φοιτητής θα γνωρίζει:  Την αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg δια την ορμή.  Την αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg δια την ενέργειας.  Την έννοια του νοητικού πειράματος.

8 Έστω ότι η μέτρηση ενός μεγέθους Α με ακρίβεια ±ΔΑ προκαλεί μια διαταραχή, τέτοια ώστε μετά τη μέτρηση, ένα άλλο μέγεθος να είναι «απροσδιόριστο». Αυτό σημαίνει ότι το μέγεθος Β μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μέσα στο διάστημα από Β-ΔΒ μέχρι Β+ΔΒ. Το γινόμενο (ΔΑ)·(ΔΒ) μας δίνει το μέτρο της «απροσδιοριστίας» του συστήματος, αμέσως μετά τη μέτρηση, και ονομάζεται γινόμενο απροσδιοριστίας. Ο W. Heisenberg, to 1927, διετύπωσε την περίφημη Αρχή της Απροσδιοριστίας. Εισήγαγε δηλαδή την ιδέα ότι είναι αδύνατον να προσδιοριστεί ταυτόχρονα και με απεριόριστη ακρίβεια η θέση και η ορμή ενός κβαντικού σωματίου. Για τη διατύπωση της περίφημης αρχής του έλαβε το Βραβείο Νόμπελ Φυσικής το 1932. Αρχή της Απροσδιοριστίας W. Heisenberg Πηγή: Wikipedia by Bundesarchiv Bild183-R57262Wikipedia

9 Η Αρχή της Απροσδιοριστίας του Heisenberg μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Εάν η μέτρηση της θέσης ενός σωματίου έχει γίνει με αβεβαιότητα Δx και η ταυτόχρονη μέτρηση της ορμής του έχει γίνει με αβεβαιότητα Δp τότε, το γινόμενο των αβεβαιοτήτων δεν μπορεί να είναι μικρότερο από την τιμή του ħ. Αρχή της Απροσδιοριστίας W. Heisenberg Δηλαδή Οι αναπόφευκτες αβεβαιότητες Δx και Δp δεν προέρχονται από ατέλειες των μετρητικών συσκευών αλλά από αυτή καθ’ εαυτή την κβαντική συμπεριφορά της ύλης. Ο Heisenberg το απέδειξε αυτό προτείνοντας μια σειρά από ευφυή νοητικά πειράματα, στα οποία ανέλυσε διαφορετικές πιθανές συσκευές μετρήσεων της θέσης και της ορμής ενός σωματίου. Πηγή: Wikipedia by Bundesarchiv Bild183-R57262Wikipedia

10 Αρχή της Απροσδιοριστίας W. Heisenberg Εκτός από την σχέση Το πιο γνωστό νοητικό πείραμα που εισήγαγε ο ίδιος ο Heisenberg είναι ο προσδιορισμός της θέσης ενός ηλεκτρονίου με ένα οπτικό μικροσκόπιο. Γνωρίζουμε ότι το φως μπορεί να σκεδαστεί από το ηλεκτρόνιο και έτσι να το διαταράξει, επομένως για να ελαχιστοποιήσουμε τη διαταραχή αυτή θεωρούμε τη σκέδαση ενός μόνο φωτονίου από το ηλεκτρόνιο. Ο Heisenberg απέδειξε ότι ακόμα και σε αυτή τη περίπτωση η αρχή της απροσδιοριστίας είναι αναπόφευκτη. Εάν προσπαθήσουμε να μειώσουμε το Δx τότε προκύπτει μια ισοδύναμη αύξηση στην αβεβαιότητα της ορμής του ηλεκτρονίου. ισχύουν και οι σχέσεις: Πηγή: Wikipedia by Bundesarchiv Bild183-R57262Wikipedia

11 Αρχή της Απροσδιοριστίας W. Heisenberg Η αρχή της απροσδιοριστίας διατυπώνεται και στην περίπτωση μέτρησης της ενέργειας Ε ενός συστήματος και θέτει ένα όριο στην ακρίβεια με την οποία μπορεί να μετρηθεί αυτή. Η σχέση αυτή εκφράζει την αρχή της απροσδιοριστίας ενέργειας-χρόνου. Το Δt δεν εκφράζει αβεβαιότητα στη μέτρηση κάποιου χρονικού διαστήματος αλλά είναι το χρονικό διάστημα που πρέπει να περιμένουμε για να μετρήσουμε μια αισθητή μεταβολή στην ενέργεια του συστήματος με αβεβαιότητα ΔΕ. Δηλαδή η σχέση αυτή περιορίζει την ακρίβεια με την οποία μπορεί να επαληθευθεί πειραματικά η Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας. Πηγή: Wikipedia by Bundesarchiv Bild183-R57262Wikipedia

12 12 Κβαντομηχανική E. Schrödinger ( documentary ) Nobel Prize lecture Max Born (documentary) (documentary) Nobel Prize lecture Πηγή: Wikipedia by Bundesarchiv Bild183-R57262Wikipedia Πηγή: WikipediaWikipedia

13 13 Κβαντομηχανική Επιδιωκόμενα μαθησιακά αποτελέσματα Στο τέλος της ενότητας αυτής, ο φοιτητής θα γνωρίζει:  Την έννοια της κυματοσυνάρτησης και το φυσικό της περιεχόμενο.  Την πυκνότητα πιθανότητας.  Την κανονικοποίηση της κυματοσυνάρτησης.  Τους βασικούς τελεστές θέσης, ορμής και ενέργειας.  Τον τρόπο υπολογισμού μέσων τιμών των φυσικών μεγεθών καθώς και τον τρόπο υπολογισμού της αβεβαιότητάς τους.  Τη φύση των υλικών κυμάτων ως κύματα πιθανότητας.

14 Ποια είναι όμως η φύση των υλικών κυμάτων που συνοδεύουν τα κβαντικά σωμάτια; Τι περιγράφουν; Κβαντομηχανική  Όπως για κάθε κύμα, έτσι και για τα υλικά κύματα χρειάζεται μια κυματοσυνάρτηση που να τα περιγράφει.  Ποιας κυματικής εξίσωσης θα είναι λύση η κυματοσυνάρτηση;  Πως πρέπει να γενικευθεί η θεωρία de Broglie ώστε να περιγράφει σωμάτια στα οποία εξασκούνται δυνάμεις;  Ποια είναι η φυσική σημασία της κυματοσυνάρτησης; Όλα αυτά τα ερωτήματα αποτελούν πλέον αντικείμενο της κβαντομηχανικής η οποία θεμελιώθηκε αρχικά από τους μεγάλους επιστήμονες Μ. Born, Ε. Schrödinger και W. Heisenberg. Τα τρία πρώτα σημεία απαντήθηκαν από τον Schrödinger και το τελευταίο από τον M. Born. E. Schrödinger

15 Μέχρι τώρα είδαμε ότι σε κάθε σωμάτιο αντιστοιχεί ένα υλικό κύμα που περιγράφεται, όπως και οποιοδήποτε άλλο κύμα, από μια κυματοσυνάρτηση Ψ(x,y,z,t). Πρώτος ο M. Born, το 1925, διετύπωσε την ερμηνεία ότι η κυματοσυνάρτηση Ψ συνδέεται με πιθανότητες. Η πιθανότητα P(x,y,z)dxdydz να βρεθεί ένα σωμάτιο στον όγκο dxdydz γύρω από το σημείο με διάνυσμα θέσης r είναι: Κβαντομηχανική Η ποσότητα εκφράζει την ένταση του υλικού κύματος και παρέχει την πιθανότητα ανά μονάδα όγκου ή αλλιώς την πυκνότητα πιθανότητας για την ανίχνευση του σωματίου στον όγκο dV τη χρονική στιγμή t. Ισούται με: E. Schrödinger

16 Επειδή το σωμάτιο πρέπει να βρίσκεται σε κάποιο σημείο του χώρου πρέπει να ισχύει η σχέση: Κβαντομηχανική Κάθε κυματοσυνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση αυτή ονομάζεται κανονικοποιημένη. Είναι πολύ σημαντικό να κανονικοποιούμε τις κυματοσυναρτήσεις πριν προχωρήσουμε στον υπολογισμό πιθανοτήτων. Η πιθανότητα P να βρίσκεται το σωμάτιο σε μια περιοχή D του χώρου δίδεται από την σχέση: Αναγκαία συνθήκη για να είναι μια κυματοσυνάρτηση παραδεκτή είναι να μηδενίζεται όταν το x τείνει στο ±∞. E. Schrödinger

17 Τις περισσότερες φορές συνηθίζουμε να δουλεύουμε σε μία διάσταση, π.χ. στον άξονα x, οπότε οι αντίστοιχες σχέσεις είναι: Κβαντομηχανική Τώρα, με τη βοήθεια του M. Born, μπορούμε να προσδιορίσουμε τη φύση των υλικών σωμάτων. Τα υλικά κύματα είναι κύματα πιθανότητας και η κυματοσυνάρτηση Ψ, που τα περιγράφει, συνδέεται με την πιθανότητα να βρεθεί το σωμάτιο σε κάποια περιοχή του χώρου. E. Schrödinger

18  Φυσικό μέγεθος είναι οποιαδήποτε ιδιότητα του σωματίου μπορεί να μετρηθεί. Η θέση, η ορμή, η δυναμική ενέργεια, η ενέργεια για παράδειγμα, ενός σωματίου είναι φυσικά μεγέθη.  Η Κβαντομηχανική, για κάθε φυσικό μέγεθος, αντιστοιχεί έναν Τελεστή. Χρησιμοποιώντας τον τελεστή μπορούμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή (μέση τιμή) του αντίστοιχου φυσικού μεγέθους. Ο τελεστής αναφέρεται εδώ σε μια πράξη που πρόκειται να γίνει πάνω σε κάθε συνάρτηση που έπεται (συνάρτηση εφαρμογής).  Τώρα όλες οι αναμενόμενες (μέσες) τιμές μπορούν να γραφούν με ενιαία μορφή. Κβαντομηχανική Q είναι το φυσικό μέγεθος. είναι η αναμενόμενη τιμή [Q] είναι ο αντίστοιχος τελεστής Ψ * η συζυγής κυματοσυνάρτηση E. Schrödinger

19  Η ποσότητα δίνει τη μέση τιμή των αποτελεσμάτων πολλών μετρήσεων του φυσικού μεγέθους Q, που πραγματοποιούνται σε πολλά Κβαντομηχανική  Ο [U] είναι ο τελεστής της δυναμικής ενέργειας  Ο [Κ] της κινητικής ενέργειας.  Ο τελεστής Η λέγεται Χαμιλτονιανή και είναι το άθροισμα [Κ]+[U].  Ο [Ε] είναι επίσης ο τελεστής της ενέργειας όμοια φυσικά συστήματα, καθένα εκ των οποίων περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση Ψ. Οι πλέον χρήσιμοι τελεστές είναι οι εξής: E. Schrödinger

20 Κβαντομηχανική  Για παράδειγμα η μέση τιμή θέσης, ενός σωματίου που περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση Ψ, προσδιορίζεται από τη σχέση:  ή η μέση τιμή της ορμής του σωματίου προσδιορίζεται από τη σχέση: E. Schrödinger

21 Κβαντομηχανική Η κβαντική αβεβαιότητα ΔQ για κάθε φυσικό μέγεθος υπολογίζεται από την σχέση: Εάν ΔQ=0 τότε το φυσικό μέγεθος Q είναι απολύτως καθορισμένο και όλες οι μετρήσεις του Q δίνουν την ίδια τιμή. Εάν πολλές μετρήσεις σε ένα μεγάλο πλήθος πανομοιότυπων συστημάτων αποκαλύπτουν μια κατανομή τιμών για το φυσικό μέγεθος Q τότε είναι φανερό ότι ΔQ>0. Στην κβαντομηχανική η σχέση αυτή μας δίνει την αβεβαιότητα στη μέτρηση του φυσικού μεγέθους Q. Είναι προφανές ότι οι αβεβαιότητες που υπολογίζονται θα πρέπει να ικανοποιούν την Αρχή της Αβεβαιότητας του Heisenberg. Για παράδειγμα: Και πρέπει να ισχύει: E. Schrödinger

22 Ε ΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ Π ΡΟΣΟΧΗ Σ ΑΣ

23 Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις προσωπικές σημειώσεις και το υλικό παρουσιάσεων του μαθήματος όπως δημιουργήθηκαν από τον Καθηγητή κ. Χριστόφορο Κροντηρά. Οι εικόνες και οι φωτογραφίες των μεγάλων Φυσικών που δημιούργησαν την σύγχρονη θεώρηση της Φύσης, είναι διάσπαρτες σε όλο το δίκτυο και την βιβλιογραφία και αποτελούν κοινό κτήμα της ανθρωπότητας εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά στις αντίστοιχες παραπομπές. Οι ιστότοποι προέλευσης όσων αναφέρονται ήταν ενεργοί κατά την 21η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι παραπομπές.

24 Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Χριστόφορος Κροντηράς. «Σύγχρονη Φυσική. Ενότητα 7». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1961/ https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1961/

25 25 Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση, Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

26 Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει). Τέλος Ενότητας