2.阿基米德的数学成就与数学方法 阿基米德 出生于西西里(Sicily)岛上的希腊古城锡拉古(Syracusa)。 Achimedes(287-212BC) 出生于西西里(Sicily)岛上的希腊古城锡拉古(Syracusa)。

阿基米德 —富有传奇色彩的一生 Eureka(我发现了！)—金冠之谜 给我一个支点，我就可以移动地球！ 锡拉古保卫战：“不要碰我的图！”

为了撬动地球1厘米，要以光速另一端跑6000多年！ TANGE, MOVEBIS! “给我一个支点，我就可以移动地球” 为了撬动地球1厘米，要以光速另一端跑6000多年！

第二次布匿战争（罗马与迦太基 BC219-175) 锡拉古保卫战 — “聚光灯”烧毁罗马战船

“不要碰我的图！”

Cicero discovering Archimedes tomb (Martin Knoller,1725-1804)

Benjamin West(1738-1820)

V球 ：V柱 =S球 ：S柱 = 2 : 3

《阿基米德全集》 论球和圆柱I、II 圆的度量 论劈锥曲面体与旋转椭圆体 论螺线 论平面图形的平衡 沙粒的计算 求抛物线弓形的面积 引理集 家畜问题 方法

羊皮书中抢救阿基米德遗著

阿基米德的著作变成经书 从纸草书到羊皮书 —阿斯卡隆的功绩（AD1000)将阿基米德的书抄录在羊皮书上 从羊皮书到经书 千年的沉寂 —1906年丹麦学者海伯格的发现隐约可见的“螺线” 高科技的威力 —多谱技术、数码技术、共焦技术：阿基米德的“方法”重新发现！

高科技的威力 斯坦福大学同步辐射实验室的科学家伯格曼想到，既然誊录阿基米德论文的墨水中含有铁，因此可以用直线加速器发出的高能X光，将墨水中的铁原子激发出萤光，从而让许多至今无法解读的文字与图形一一现形。 华特斯美术馆善本书籍部主任诺尔说：“这犹如从公元前三世纪(阿基米德的时代)收到一份传真，真是令人兴奋不已。”

阿基米德的主要成就 数值计算—希腊数学传统的转变 1.面积计算，如：圆面积、抛物线弓形的面积、螺线面积、球和球缺的表面积 2.圆周率 ；大数平方根的近似值 三次方程 求积方法—球体、劈锥曲面体、旋转椭圆体：微积分思想的萌芽 球体体积公式：力学方法与数学智慧的完美结合

如何计算球体体积？ ?

圆柱片＝πr2△x 圆锥片≈πx2△x 球片≈πy2△x＝πx（2r-x）△x r y 2r x O Δx

以O为支点，在OS的反向延长线上取ON=2r。把球片和圆锥片挂在N点，它们关于支点O的力矩为 依次切割，逐片悬挂 2r（球体＋锥体）＝4r柱体； （注意：r为圆柱体的质心） 所以 球体＝2柱体－锥体 x N S O Δx

“Transire suum pectus mundoque potiri” 超越人类的局限，做世界的主人！ （正面） 费尔兹奖章 （背面）

古希腊的“穷竭法” Antiphon（约前480一前401） 希腊数学家、哲学家．有关安蒂丰的生平争论不一，至今没有确切的定论，只知他在雅典从事学术活动，是智人学派的代表人物．     安蒂丰在数学方面的突出成就是用穷竭法（the method of exhaustion) 讨论化圆为方问题．据辛普利丘(Simplicius)记载：安蒂丰先作圆内接正四边形，将其边数加倍，得到圆内接正八边形，依次类推，直到正多边形的边长小到恰与它们所在的圆周部分重合，就可以完成化圆为方问题．

欧多克斯原理：设给定两个不相等的量，如果从其中较大的量减去比它的一半大的量，再以所余的量减去比它的一半大的量，继续重复这个过程，则所余的某个量将小于给定的较小的量。（《原本》卷10 命题1） 数学语言：设M0和ε是两个给定的量，M0, M1,……，Mn是一个序列，满足M1<1/2M0 , M2<1/2M1……，等等，则有：对于某个n，Mn<ε。

欧几里得《原本》中的“穷竭法” 《原本》卷XII命题2：圆与圆之比等于其直径平方之比。 （注：此处圆与圆的比，指两圆面积之比） 证明：首先证明圆可以被它的内接多边形“穷竭”，即，存在一个圆内接多边形，它与圆的面积之差小于任意给定的量。 为利用欧多克斯原理，从内接正四边形P0开始，构造P0的倍边正多边形P1，P2，……，Pn;记 a(C)表示圆C的面积,下面证明 （说明：以下证明是《原本》方法的“代数语言”转述）

考虑n=0,这时 E F G H F’ E’ K 故，在一般情况下，我们得到：

如果C1和C2是半径分别为r和R的两个圆，命题2结论是： 证明：记A1=a(C1), A2=a(C2),则有 三者必居其一，且仅居其一。所用方法就是希腊数学中著名的“双归谬法”(reductio ad absurdum) –证明略（留作思考！证明中用到《原本》卷XII命题1：圆内接相似多边形之比等于其同圆直径平方之比。）

如果我们把命题2的结论写成 并用π表示这两个比的共同比值，这样就得到熟知的圆面积公式 然而，希腊人不愿意这么做，因为，他们只承认两个面积之间有一个“比例关系”，而不是“数值等式”！因此，数π在欧几里得时代并未出现，甚至在《原本》没有圆的面积计算公式！而圆面积公式“半周×半径”是阿基米德给出的证明。

阿基米德：《圆的度量》 任何一个圆的面积等于一个直角三角形，它的夹直角的一边等于圆的半径，而另一边等于圆的周长。

（1）设S>K, 记d=S-K; 作圆内接正四边形，并加倍，直至以分点为顶点的弓形之和小于d. 此时，这样的多边形面积大于K。 O A E N 若S不等于K， 或S小于K，或S大于K （1）设S>K, 记d=S-K; 作圆内接正四边形，并加倍，直至以分点为顶点的弓形之和小于d. 此时，这样的多边形面积大于K。 设AE是此多边形的任一边，由圆心O作ON垂直AE，则ON小于圆的半径，且多边形周长小于圆的周长，所以多边形面积小于K。矛盾 （2）设S<K, 同样也可导出矛盾。 因此，圆面积既不大于又不小于K，它必等于K。 说明：“穷竭法”不是真正意义上的“极限”方法，希腊人把它和“双归谬法”一起使用，从“无限”转向了“有限”。问题：希腊人为什么刻意回避“无限”？

落日余辉 常言道“谋事在人，成事在天”。而对于希腊文明来说，却是“天成其事，人自毁之”。 罗马帝国：大兴土木，骄奢淫逸，在理论思维上毫无建树 基督教：排斥异教，思想禁锢 阿拉伯的最后一击：凡是《古兰经》中有的，只要读《古兰经》就行了；《古兰经》中没有的，就不需要读了！--把希腊神庙的 书籍拉到浴室烧洗澡水！

阿基米德之死

希西帕提亚之死

希腊思想的火种在阿拉伯世界中得到了完好的保存！

今日论坛 1 为什么说希腊的“穷竭法”不是极限方法？ 2 希腊人为什么回避“极限过程”？