Ουρές Αναμονής

Μοντέλα Ουρών Αναμονής Η Δομή ενός Συστήματος Ουράς Σύστημα Ουράς Σύστημα Ουράς Χαρακτηριστικά Συντελεστών Σύστημα Ουράς Λειτουργικά Χαρακτηριστικά Αναλυτικό Τυπολόγιο Σύστημα ουράς με μία Θέση Εξυπηρέτησης, Poisson Αφίξεις και Εκθετικές Εξυπηρετήσεις Σύστημα ουράς με πολλές Θέσεις Εξυπηρέτησης, Poisson Αφίξεις και Εκθετικές Εξυπηρετήσεις Οικονομική Ανάλυση των Ουρών Αναμονής

Δομή ενός Συστήματος Ουράς Θεωρία Ουρών είναι η μελέτη των ουρών αναμονής. Τα τέσσερα χαρακτηριστικά ενός συστήματος ουράς είναι: ο τρόπος που γίνονται οι αφίξεις πελατών ο χρόνος εξυπηρέτησης των πελατών η πειθαρχεία (προτεραιότητα) η οποία καθορίζει την σειρά εξυπηρέτησης ο αριθμός και η διάταξη των εξυπηρετητών

Δομή ενός Συστήματος Ουράς Κατανομή των Αφίξεων Εν γένει, οι αφίξεις των πελατών αποτελούν ένα τυχαίο γεγονός. Συνηθέστερα οι αφίξεις μοντελοποιούνται μαθηματικά ως Poisson διαδικασίες. Κατανομή της Εξυπηρέτησης Η εξυπηρέτηση είναι επίσης μια τυχαία μεταβλητή. Μία κατανομή που συνήθως χρησιμοποιείται είναι η εκθετική κατανομή.

Δομή ενός Συστήματος Ουράς Πειθαρχεία Η πιο συνηθισμένη πειθαρχεία ουράς είναι ο πρώτος που έρχεται πρώτος εξυπηρετείται first in first out FIFO). To ferry-boat είναι ένα παράδειγμα της πειθαρχίας last in first out LIFO). Άλλες πειθαρχίες, βάζουν προτεραιότητες σε αυτούς που περιμένουν και εξυπηρετούν πρώτους αυτούς με την μεγαλύτερη προτεραιότητα.

Δομή ενός Συστήματος Ουράς Μια θέση εξυπηρέτησης Πολλαπλές θέσεις εξυπηρέτησης Σύστημα Αφίξεις πελατών Ουρά αναμονής Έξοδος πελατών S1 Σύστημα S1 Ουρά αναμονής Αφίξεις πελατών S2 Έξοδος πελατών S3

Συστήματα Ουρών Μία τριπλή κωδικοποίηση της μορφής A/B/s χρησιμοποιείται για να περιγράψει τα διάφορα συστήματα ουρών. Το A προσδιορίζει την κατανομή αφίξεων, το B την κατανομή εξυπηρέτησης και το s τον αριθμό των θέσεων εξυπηρέτησης στο σύστημα. Τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται για τις κατανομές αφίξεων και εξυπηρέτησης είναι: M - Markov κατανομές (Poisson/Exponential), D - Deterministic (καθορισμένο-σταθερό) and G - General (“γενική” κατανομή με γνωστό μέσο και τυπική απόκλιση, συνήθως είναι η κανονική κατανομή). Για παράδειγμα, M/M/s αναφέρεται σε ένα σύστημα με αφίξεις Poisson, χρόνους εξυπηρέτησης με εκθετική κατανομή και υπάρχουν s εξυπηρετητές με όμοιους ρυθμούς εξυπηρέτησης.

Συστήματα Ουρών Χαρακτηριστικά Συντελεστών  = ο ρυθμός αφίξεων 1/ = ο μέσος χρόνος μεταξύ διαδοχικών αφίξεων µ = ο ρυθμός εξυπηρέτησης 1/µ = ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης  = τυπική απόκλιση του χρόνου εξυπηρέτησης

Queuing System Operating Characteristics P0 = πιθανότητα η θέση εξυπηρέτησης να είναι άδεια Pw = πιθανότητα ένας πελάτης να περιμένει στην ουρά Lq = μέσος αριθμός πελατών που περιμένουν στην ουρά L = μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα Wq = μέσος χρόνος παραμονής στην ουρά W = μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα

Αναλυτικοί Τύποι Για σχεδόν όλα τα συστήματα ουρών, υπάρχει μία σχέση ανάμεσα στο μέσο χρόνο παραμονής στο σύστημα ή στην ουρά και στον μέσο αριθμό πελατών στο σύστημα ή στην ουρά. Αυτές οι σχέσεις αναφέρονται ως εξισώσεις Little's flow : L = W και Lq = Wq

Αναλυτικοί Τύποι Όταν η πειθαρχεία της ουράς είναι FΙFΟ, οι αναλυτικοί τύποι έχουν καθορισθεί για διαφορετικά συστήματα ουρών στα οποία περιλαμβάνονται τα ακόλουθα: M/M/1 M/M/s M/G/1 M/G/s με περιορισμένο μήκος ουράς M/M/1 με πεπερασμένο πληθυσμό Οι αναλυτικοί τύποι δεν είναι διαθέσιμοι για κάθε σύστημα ουράς. Σε αυτήν την περίπτωση την λύση μπορεί να βρεθεί μέσω της προσομοίωσης του συστήματος (βλέπε, επόμενο κεφάλαιο)

M/M/1 Σύστημα Ουράς Μία θέση εξυπηρέτησης Poisson αφίξεις Εκθετικοί χρόνοι εξυπηρέτησης Απεριόριστο μήκος ουράς Απεριόριστος πληθυσμός Τυπολόγιο: W = 1/(μ-λ) L = λ/(μ-λ) Lq = λ2/μ(μ-λ) Wq = λ/μ(μ-λ) p = λ/μ

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A) M/M/1 Σύστημα Ουράς Σε ένα τουριστικό γραφείο οι πελάτες έρχονται με ρυθμό 20 ανά ώρα. Κάθε παραγγελία εξυπηρετείται σε μέσο χρόνο δύο λεπτών. Οι πελάτες φτάνουν με ρυθμό 20 ανά ώρα ή ένας ανά τρία λεπτά. Ως εκ τούτου, σε διάστημα 15 λεπτών ο ρυθμός αφίξεων των πελάτες είναι  = 15/3 = 5.

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A) Κατανομή Αφίξεων Ερώτηση Ποια η πιθανότητα να μην έρθει κανένας πελάτης σε χρονικό διάστημα 15 λεπτών; Απάντηση τύπος Poisson: P(x)=( λx e-λ )/x! Άρα P (x = 0) = (50e -5)/0! = e -5 = .0067

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A) Κατανομή Αφίξεων Ερώτηση Ποια η πιθανότητα να έρθουν ακριβώς τρείς πελάτες σε χρονικό διάστημα 15 λεπτών; Απάντηση P (x = 3) = (53e -5)/3! = 125(.0067)/6 = .1396

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A) Κατανομή Αφίξεων Ερώτηση Ποια η πιθανότητα να έρθουν περισσότεροι από 6 πελάτες σε χρονικό διάστημα 15 λεπτών; Απάντηση καθώς ισχύει: P (x > 6) + P (x ≤ 6) = 1 τότε, P (x > 6) = 1 - P (x = 0) - P (x = 1) - P (x = 2) - P (x = 3) - P (x = 4) - P (x = 5) - P (x = 6) = 1 - .762 = .238

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A) Κατανομή Εξυπηρέτησης Ερώτηση Ποιος είναι ο ρυθμός εξυπηρέτησης ανά ώρα; Απάντηση Καθώς κάθε παραγγελία διαρκεί 2 λεπτά (= 2/60 ώρες), τότε ο ρυθμός εξυπηρέτησης, µ, είναι µ = 1/(μέσο χρόνο εξυπηρέτησης), ή 60/2. m = 30 πελάτες/ώρα

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A) Κατανομή Εξυπηρέτησης Ερώτηση Ποιο το ποσοστό των παραγγελιών θα εξυπηρετηθεί σε χρόνο λιγότερο από ένα λεπτό; Απάντηση Καθώς οι μονάδες διατυπώνονται σε ώρες, P (T < 1 λεπτό) = P (T < 1/60 ώρες). Χρησιμοποιώντας την εκθετική κατανομή, P (T < t ) = 1 - e-µt. Άρα, P (T < 1/60) = 1 - e-30(1/60) = 1 - .6065 = .3935 = 39.35%

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A) Κατανομή Εξυπηρέτησης Ερώτηση Ποιο το ποσοστό των παραγγελιών που θα εξυπηρετηθεί σε χρόνο ακριβώς τρία λεπτά; Απάντηση Καθώς η εκθετική κατανομή είναι μία συνεχής κατανομή η πιθανότητα εξυπηρέτησης σε μία οποιαδήποτε συγκεκριμένη τιμή (χρονική στιγμή) είναι 0 .

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A) Κατανομή Εξυπηρέτησης Ερώτηση Ποιο το ποσοστό των παραγγελιών που θα εξυπηρετηθεί σε χρόνο περισσότερο από τρία λεπτά; Απάντηση Το ποσοστό των παραγγελιών που θα εξυπηρετηθεί σε χρόνο περισσότερο από 3 λεπτά είναι: P (T > 3/60) = e-30(3/60) = e -1.5 = .2231 = 22.31%

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A) Μέσος Χρόνος Παραμονής στο Σύστημα Ερώτηση Ποιος είναι ο μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα; Απάντηση Είναι μία M/M/1 ουρά με  = 20 πελάτες ανά ώρα και  = 30 πελάτες ανά ώρα . Ο μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα είναι: W = 1/(µ -  ) = 1/(30 - 20) = 1/10 ώρες ή 6 λεπτά

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A) Μέσο Μήκος Ουράς Ερώτηση Ποιος είναι ο μέσος αριθμός πελατών που περιμένουν για εξυπηρέτηση; Απάντηση Μέσος αριθμός πελατών στη ουρά είναι: Lq = 2/[µ(µ - )] = (20)2/[(30)(30-20)] = 400/300 = 4/3

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (A) Συντελεστής Χρησιμοποίησης Ερώτηση Ποιο είναι το ποσοστό του χρόνου που ο εξυπηρετητής εργάζεται; Απάντηση Το ποσοστό του χρόνου που εργάζεται ο εξυπηρετητής (συντελεστής χρησιμοποίησης, utilization factor) είναι: pw = / = 20/30 = 2/3 ή 66.67%

M/M/s Σύστημα Ουράς Πολλαπλές θέσεις εξυπηρέτησης (με μία κεντρική ουρά) Poisson αφίξεις Εκθετικοί χρόνοι εξυπηρέτησης Απεριόριστο μήκος ουράς Απεριόριστος πληθυσμός Παράδειγμα: τα ταμεία μίας τράπεζας Τυπολόγιο: W = Wq +1/μ L = Lq +λ/μ p ( /µ)k Lq = P0 s!(1 - p )2 p = λ/sμ Wq = Lq /λ

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (B) M/M/2 Σύστημα Ουράς Το τουριστικό γραφείο έχει αρχίσει μια διαφημιστική εκστρατεία και πιστεύει ότι θα αυξήσει την πελατεία του κατά 50%. Προκειμένου να αντιμετωπίσει την αυξημένη ζήτηση των πελατών το γραφείο προσέλαβε ένα επιπλέον υπάλληλο οποίος δουλεύει με ίδια ταχύτητα με τον πρώτο υπάλληλο. Ο νέος ρυθμός αφίξεων,  , είναι κατά 50% μεγαλύτερος σε σχέση με προηγουμένως (πρόβλημα A). Άρα,  = 1.5(20) = 30 πελάτες ανά ώρα.

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (B) Ικανοποιητικός Ρυθμός Εξυπηρέτησης Ερώτηση Είναι δυνατόν ο πρώτος υπάλληλος να εξυπηρέτηση μόνος του την αυξημένη πελατεία? Απάντηση Καθώς ο υπάλληλος εξυπηρετεί με ρυθμό µ = 30 πελάτες ανά ώρα, τότε  = µ = 30 και ο συντελεστής χρησιμοποίησης είναι 1. Αυτό σημαίνει ότι οι ουρά θα μεγαλώνει συνεχώς χωρίς να μπορεί να εξυπηρετηθεί από τον υπάλληλο. Στο Μ/Μ/1 είναι αναγκαίο να ισχύει λ<μ,

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (B) Ερώτηση Ποια η πιθανότητα να μην εργάζονται και οι δύο υπάλληλοι ταυτόχρονα; Απάντηση Με δεμένα ότι  = 30, µ = 30, s = 2 και ( /µ) = 1, η πιθανότητα είναι: = 1/[(1 + (1/1!)(30/30)1] + [(1/2!)(1)2][2(30)/(2(30)-30)] = 1/(1 + 1 + 1) = 1/3 = .333

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (B) Ερώτηση Ποιος είναι ο μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα ενός πελάτη; Απάντηση p = λ/sμ = 30/(2 *30) = 0.5 p ( /µ)k 0,5(30/30)2 Lq = P0 = (1/3) = 1/3 s!(1 - p )2 2!(1-0.5)2 L = Lq + ( /µ) = 1/3 + (30/30) = 4/3 W = L/(4/3)/30 = 4/90 ώρες = 2.67 λεπτά

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (C) Οικονομική Ανάλυση των Ουρών Αναμονής Η διαφημιστική εκστρατεία του τουριστικού γραφείου (βλέπε προβλήματα (A) και (B)) ήταν τόσο πετυχημένη που η πελατεία τελικά διπλασιάστηκε. Ο ρυθμός αφίξεων των πελατών είναι τώρα 40 ανά ώρα και η εταιρεία πρέπει να αποφασίσει πόσους υπαλλήλους να προσλάβει κάθε υπάλληλος εξυπηρετεί τους πελάτες σε μέσο χρόνο 2 λεπτά. Βασιζόμενη σε διάφορους παράγοντες το γραφείο υπολόγισε ότι το κόστος ενός πλάτη για κάθε λεπτό παραμονής στο γραφείο είναι €0.50. Ο κάθε υπάλληλος κοστίζει €20 την ώρα. Υπολογίστε το κόστος του γραφείου όταν λειτουργεί με δύο ή τρείς υπαλλήλους.

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (C) Οικονομική Ανάλυση των Ουρών Αναμονής Συνολικό ωριαίο κόστος = (κόστος υπαλλήλων) + (κόστος αναμονής) = (€20 ανά υπάλληλο) x (αριθμό των υπαλλήλων) + (€30 κόστος αναμονής) x (μέσο αριθμό πελατών στο σύστημα) = 20k + 30L. Άρα,το L πρέπει να υπολογιστεί για s = 2 υπαλλήλους και για s = 3 υπαλλήλους με  = 40 πελάτες/ώρα και  = 30 πελάτες /ώρα (καθώς ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης είναι 2 λεπτά (1/30 ώρες).

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (C) Κόστος με Δύο Εξυπηρετητές P0 = 1 / [1+(1/1!)(40/30)]+[(1/2!)(40/30)2(60/(60-40))] = 1 / [1 + (4/3) + (8/3)] = 1/5 Άρα, p = λ/sμ = 40/2 * 30 = 0.667 p ( /µ)s 0.667(40/30)2 Lq = P0 = (1/5) = 16/15 s!(1 -p )2 2!(1-0.667)2 L = Lq + ( /µ) = 16/15 + 4/3 = 12/5 Συνολικό κόστος = (20)(2) + 30(12/5) = €112.00 ανά ώρα

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (C) Κόστος με Τρεις Εξυπηρετητές P0 = 1/[[1+(1/1!)(40/30)+(1/2!)(40/30)2]+ [(1/3!)(40/30)3(90/(90-40))] ] = 1 / [1 + 4/3 + 8/9 + 32/45] = 15/59 Άρα, p = λ/sμ = 40/3 * 30 = 0.444 p ( /µ)s 0.444 (40/30)3 Lq = P0 = (15/59) = 0.1446 s!(1 -p )2 3!(1- 0.444)2 L = Lq + ( /µ) = 0.1446 + 4/3 = 1.478 Συνολικό κόστος = (20)(2) + 30(1.478) = €104.35 ανά ώρα

Παράδειγμα: Τουριστικό Γραφείο (C) Σύγκριση Κόστους για το Σύστημα Μισθοί Αναμονή Σύνολο κόστος/ώρα κόστος/ώρα κόστος/ώρα 2 υπάλληλοι €40.00 €82.00 €112.00 3 υπάλληλοι 60.00 44.35 104.35 Άρα, το κόστος με τρείς εξυπηρετητές είναι λιγότερο από αυτό με τους δύο εξυπηρετητές.

M/G/1 Σύστημα Ουράς Μία θέση εξυπηρέτησης Poisson αφίξεις Κανονική κατανομή στο χρόνο εξυπηρέτησης Σταθεροί χρόνοι εξυπηρέτησης αναφέρεται τότε ως M/D/1 Απεριόριστο μήκος ουράς Απεριόριστος πληθυσμός Τυπολόγιο: W = Wq+1/μ L = λW 2 σ2 +p2 Lq = 2(1 -p ) Wq = Lq/λ p = λ/μ

Παράδειγμα: Μηχανικό Αλογάκι! M/D/1 Σύστημα Ουράς Το μηχανικό αλογάκι στο περίπτερο της πλατιάς είναι πολύ δημοφιλές στα παιδάκια και παρέχει 2 λεπτά ιππασίας για €.50. Τα παιδιά που θέλουν να ανέβουν στο αλογάκι προσέρχονται (συνοδευόμενα βεβαίως από τους γονείς τους!) σύμφωνα με μία κατανομή Poisson με ρυθμό 15 ανά ώρα. a) Ποιο είναι το ποσοστό του χρόνου που το αλογάκι δεν χρησιμοποιείται; b) Ποιος είναι ο μέσος αριθμός παιδιών που περιμένει να ανέβει στο αλογάκι; c) Ποιος ο μέσος χρόνος αναμονής μέχρι να ανέβει ένα παιδί στο αλογάκι;

Παράδειγμα: Μηχανικό Αλογάκι! Τα συστήματα με σταθερό χρόνο εξυπηρέτησης (M/D/1) είναι υποπερίπτωση των συστημάτων με κανονική κατανομή χρόνου εξυπηρέτησης (M/G/1) δηλαδή έχουν το ίδιο τυπολόγιο με την διαφορά ότι η τυπική απόκλιση είναι πάντα 0. Ποσοστό του χρόνου που το αλογάκι δεν χρησιμοποιείται l = 15 παιδιά ανά ώρα m = 60/2 = 30 παιδιά ανά ώρα Ποσοστό χρησιμοποίησης (Utilization): p = l/m = 15/30 = .5 Ποσοστό μη χρησιμοποίησης = 1 – Utilization = 1 – p = 1 - .5 = .5

Παράδειγμα: Μηχανικό Αλογάκι! Μέσος αριθμός παιδιών που περιμένουν ανέβουν στο αλογάκι 2 152 Lq = = = .25 παιδιά 2μ(µ - ) 2(30)(30-15 ) Μέσος χρόνος αναμονής μέχρι να ανέβει ένα παιδί στο αλογάκι;  15 Wq = = = .01667 ώρες (ή 1 λεπτό)

M/G/k Σύστημα Ουράς Πολλαπλές θέσεις εξυπηρέτησης Poisson αφίξεις Ακαθάριστοι χρόνοι εξυπηρέτησης Δεν υπάρχει ουρά αναμονής Απεριόριστος πληθυσμός Παράδειγμα: τηλεφωνικό κέντρο με s γραμμές (όταν όλες οι γραμμές είναι απασχολημένες τα επιπλέον τηλεφωνήματα βρίσκουν το τηλέφωνο κατειλημμένο).

Παράδειγμα: Χρηματιστηριακό Γραφείο A-B M/G/k Σύστημα Ουράς Στο χρηματιστηριακό γραφείο (A-B) οι πελάτες τηλεφωνούν για την εκτέλεση των συναλλαγών τους. Αν το τηλέφωνο είναι κατειλημμένο οι πελάτες τηλεφωνούν σε άλλον χρηματιστή προκειμένου να εκτελέσουν άμεσα τις εντολές τους. Η A-B υπολογίζει ότι οι πελάτες τηλεφωνούν κάθε 2 λεπτά κατά μέσο χρόνο. Κάθε συναλλαγή διαρκεί κατά μέσο χρόνο 75 δευτερόλεπτα. Η A-B έχει τέσσερις υπαλλήλους που εξυπηρετούν τις τηλεφωνικές συναλλαγές. Θεωρήστε ότι οι πελάτες τηλεφωνούν σύμφωνα μα κατανομή Poisson.

Παράδειγμα: Χρηματιστηριακό Γραφείο A-B Το πρόβλημα μοντελοποιείται ως M/G/s σύστημα με απώλεια των κατειλημμένων τηλεφωνημάτων: 1/l = 2 λεπτά= 2/60 ώρες l = 60/2 = 30 τηλ. ανά ώρα 1/µ = 75 δευτερόλεπτα = 75/60 λεπτά = = 75/3600 ώρες µ = 3600/75 = 48 ανά ώρα

Παράδειγμα: Χρηματιστηριακό Γραφείο A-B % των χαμένων πελατών λόγω απασχολημένης γραμμής Πρώτα, πρέπει να υπολογιστεί το P0 όπου s = 4 1 P0 = = .536 1+(30/48)+(30/48)2/2!+(30/48)3/3!+(30/48)4/4! (l/µ)4 (30/48)4 Τότε, P4 = P0 = (.536) = .003 4! 24   Άρα με 4 εξυπηρετητές χάνεται το 0.3% των πελατών

Τέλος Ουρών Αναμονής