Ενότητα 8η: Η ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΤΑΤΙΚΗ Ι Ενότητα 8η: Η ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ Διάλεξη: Μεθοδολογία εύρεσης της ελαστικής γραμμής μέσω της ελαστικής γραμμής της ομόλογης αμφιέρειστης δοκού. Καθηγητής Ε. Μυστακίδης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Π.Θ.

Εύρεση ελαστικής γραμμής Η διαδικασία εύρεσης της ελαστικής γραμμής που έχει ήδη παρουσιαστεί έχει κάποιους περιορισμούς: δε μπορεί να εφαρμοστεί σε περιπτώσεις που το επιβαλλόμενο φορτίο έχει περίπλοκο σχήμα. Επομένως, υπάρχει η ανάγκη για μια διαδικασία που θα μπορεί να δίνει εύκολα τις ελαστικές γραμμές. Η μέθοδος υπολογισμού του διαγράμματος ροπής μέσω κάποιων χαρακτηριστικών σημείων και της ομόλογης δοκού μπορεί να γενικευθεί για να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των ελαστικών γραμμών. Προαπαιτούμενο για τα παραπάνω είναι ο γρήγορος υπολογισμός των ελαστικών γραμμών της αμφιέρειστης δοκού για συγκεκριμένους τύπους ελαστικών φορτίων.

Εύρεση ελαστικής γραμμής αμφιέρειστης δοκού Έστω η αμφιέρειστη δοκός του σχήματος με ορθογωνικό ελαστικό φορτίο. Ισχύει: 𝑤≡𝜅= 𝑀 𝐸𝐽 Από τους πίνακες των συναρτήσεων ω, η μετακίνηση συναρτήσει του x δίνεται από τη σχέση: 𝑈(𝑥)= 1 2 𝑀 𝑚𝑎𝑥 𝐸𝐽 𝑙 2 𝜔 𝑅 (𝑥) 𝜔 𝑅 𝑥 = 𝑥 𝑙 − 𝑥 2 𝑙 2 Η έκφραση του U(x) γράφεται και με την παρακάτω μορφή, που είναι προτιμότερη (είναι πρωτογενής μορφή) διότι τότε δεν ενδιαφέρει το αίτιο που προκαλεί το ελαστικό φορτίο κ (π.χ. φορτίο ή καταναγκασμός): 𝑈(𝑥)= 1 2 𝜅 𝑚𝑎𝑥 𝑙 2 𝜔 𝑅 (𝑥)

Eλαστική γραμμή αμφιέρειστης δοκού και είδος φορτίου Για τριγωνικό φορτίο η ελαστική γραμμή της αμφιέρειστης θα είναι: 𝑈(𝑥)= 1 6 𝜅 𝑚𝑎𝑥 𝑙 2 𝜔 𝐷 𝜔 𝐷 = 𝑥 𝑙 − 𝑥 3 𝑙 3 Για φορτίο με σχήμα παραβολικού τριγώνου με οριζόντια εφαπτομένη η ελαστική γραμμή της αμφιέρειστης θα είναι: 𝑈(𝑥)= 1 2 𝜅 𝑚𝑎𝑥 𝑙 2 𝜔 𝑃 𝜔 𝑃 = 𝑥 𝑙 − 𝑥 4 𝑙 4 ΠΡΟΣΟΧΗ: Παραβολικό τρίγωνο με οριζόντια εφαπτομένη στο άκρο σημαίνει τέμνουσα ίση με μηδεν στο σημείο αυτό. Μόνο τότε μπορεί να ληφθεί από τον πίνακα των συναρτήσεων ω το ωP.

Eλαστική γραμμή αμφιέρειστης δοκού και είδος φορτίου - συνέχεια ΠΡΟΣΟΧΗ: εάν το παραβολικό τρίγωνο δεν έχει οριζόντια εφαπτομένη στο άκρο, θα χρειαστεί ανάλυση σε δύο περιπτώσεις, όπως φαίνεται στο σχήμα (τρίγωνο και παραβολή). Τότε, η ελαστική γραμμή θα προκύψει μέσω επαλληλίας των τεταγμένων των δύο περιπτώσεων και θα περιέχει όρους και ωP και ωB.

Eλαστική γραμμή αμφιέρειστης δοκού και είδος φορτίου - παρατηρήσεις ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: όταν το φορτίο είναι συμμετρικό ( π.χ. ορθογωνικό), πάντα η ελαστική γραμμή θα είναι συμμετρική. Στην αντίθετη περίπτωση (π.χ. τριγωνικό φορτίο) έχει σημασία το σε ποιά στήριξη (αριστερή ή δεξιά) μηδενίζεται το φορτίο. 1η περίπτωση: λαμβάνονται οι τεταγμένες σύμφωνα με τους πίνακες των συναρτήσεων ω: ωD για τριγωνικό φορτίο ή ωP για παραβολικό τρίγωνο με οριζόντια εφαπτομένη. 2η περίπτωση: λαμβάνονται οι τεταγμένες με αντίστροφη σειρά από τους πίνακες των συναρτήσεων ω: ω’D για τριγωνικό φορτίο ή ω’P για παραβολικό τρίγωνο με οριζόντια εφαπτομένη.

Ανάπτυξη μεθοδολογίας εύρεσης ελαστικής γραμμής Έστω η ισοστατική δοκός του σχήματος. Αρχικά, επιλύεται ο φορέας και υπολογίζεται το διάγραμμα ροπών της δοκού. Στα χαρακτηριστικά σημεία των στηρίξεων η ελαστική γραμμή, δηλαδή οι μετακινήσεις είναι 0. Υπολογίζεται η βύθιση στην εσωτερική άρθρωση και σχεδιάζονται οι κλείουσες. Υπολογίζονται τα ελαστικά φορτία μέσω των Μ για κάθε ομόλογη δοκό και αναρτώνται από τις κλείουσες.

Ανάπτυξη μεθοδολογίας εύρεσης ελαστικής γραμμής- υπολογισμός ελαστικών φορτίων Για τον υπολογισμό των ελαστικών φορτίων μέσω του διαγράμματος των ροπών και με τη χρήση του πίνακα των συναρτήσεων ω, χωρίζεται ο φορέας σε επιμέρους ομόλογες δοκούς. Ο διαχωρισμός γίνεται με βάση τις στηρίξεις και τους συνδέσμους. Για το συγκεκριμένο φορέα ισχύει: 1η δοκός: 2η δοκός: 3η δοκός:

Εφαρμογή 1η Να υπολογιστεί η ελαστική γραμμή του φορέα του σχήματος. Δεδομένα: ΕJ=5.42*104 kNm2 Υπολογίζεται το διάγραμμα ροπών του φορέα. Προκύπτει παραβολικό τρίγωνο με οριζόντια εφαπτομένη στο άκρο Α (δηλαδή τέμνουσα 0). Διαιρώντας τα Μ με το ΕJ υπολογίζεται το ελαστικό φορτίο. Χαρακτηριστικά σημεία είναι η πάκτωση όπου η μετακίνηση είναι 0 και το ελεύθερο άκρο όπου η μετακίνηση είναι δΑ. Η μετακίνηση αυτή πρέπει να υπολογιστεί.

Εφαρμογή 1η – υπολογισμός δΑ Για τον υπολογισμό της μετακίνησης στο άκρο Α, κατά τα γνωστά, επιβάλλεται στο σημείο Α μοναδιαίο φορτίο και υπολογίζεται το διάγραμμα ροπών λόγω μοναδιαίου στο Α. Ακολούθως, εφαρμόζεται η Α.Δ.Ε.: δ Α,𝑃 = 1 𝐸𝐽 𝑀 , Α 𝑀, 𝑃 𝑑𝑠⇒ δ Α,𝑃 = 1 5.42∗ 10 4 ∗ 1 4 ∗4∗ −160 −4 =0.0118𝑚

Εφαρμογή 1η – υπολογισμός ελαστικής γραμμής Αφού έχει υπολογιστεί η μετακίνηση δΑ, για τον υπολογισμό της ελαστικής γραμμής θα πρέπει στις τιμές της κλείουσας να προστεθούν οι μετακινήσεις (δηλαδή οι βυθίσεις) της ομόλογης αμφιέρειστης δοκού (από τον πίνακα των συναρτήσεων ω). Έτσι προκύπτει η εξίσωση: 𝑈 𝑥 = 𝛿 𝐴 𝑥 ′ 𝑙 + 1 12 𝑀 𝑚𝑎𝑥 𝐸𝐽 𝑙 2 𝜔 𝑃 =0.0118 𝑥′ 𝑙 + 1 12 −160 𝐸𝐽 ∗ 4 2 ∗ 𝜔 𝑃 ⇒ ⇒𝑈 𝑥 =0.0118 𝑥′ 𝑙 −3.93∗ 10 −3 𝜔 𝑃 Στη συνέχεια, χωρίζεται ο φορέας σε συγκεκριμένα τμήματα και υπολογίζονται οι τιμές της παραπάνω εξίσωσης για τα χαρακτηριστικά σημεία που προκύπτουν. Για τον υπολογισμό των τιμών φτιάχνεται πίνακας.

Εφαρμογή 1η – υπολογισμός ελαστικής γραμμής (συνέχεια) i x/l x’/l ωP 0.0118x’/l -0.00393ωP U(x) (m) 1 0.0118 0.25 0.75 0.2461 0.00885 -0.00097 0.00788 2 0.5 0.4375 0.0059 -0.00172 0.00418 3 0.4336 0.00295 -0.0017 0.00125 4 Η ελαστική γραμμή σχεδιάζεται, τοποθετώντας τις υπολογισμένες τιμές του παραπάνω πίνακα. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: η μεθοδολογία εύρεσης της ελαστικής γραμμής εφαρμόζεται κατά τον ίδιο τρόπο, τόσο για ισοστατικούς, όσο και για υπερστατικούς φορείς.

Εφαρμογή 2η Να βρεθεί η γραμμή βυθίσεων (δηλαδή οι κατακόρυφες μετατοπίσεις) του φορέα του σχήματος. Δεδομένα: ΕJ=2.1*105 kNm2 Υπολογίζεται το διάγραμμα ροπών του φορέα. Χαρακτηριστικά σημεία είναι οι στηρίξεις με μετακίνηση 0 και η εσωτερική άρθρωση με μετακίνηση δΒ (υπολογίζεται μέσω του θεωρήματος μοναδιαίου φορτίου). Η Α.Δ.Ε. γράφεται: δ Β,𝑃 = 1 𝐸𝐽 𝑀 , Β 𝑀, 𝑃 𝑑𝑠⇒ δ Α,𝑃 = 1 𝐸𝐽 ∗ 1 3 ∗8 2 ∗ −320 −8 =0.046𝑚

Εφαρμογή 2η – υπολογισμός γραμμής βυθίσεων Σε μια ευθεία προβάλλονται τα χαρακτηριστικά σημεία του φορέα. Σχεδιάζεται η υπολογισμένη βύθιση και στη συνέχεια, οι κλείουσες. Η ευθεία χωρίζεται σε δύο επιμέρους τμήματα, ΑΒ και ΒΓ και το κάθε τμήμα χωρίζεται σε τέταρτα. Υπολογίζεται το ελαστικό φορτίο: 𝑤 𝐴𝐵 = 𝑀 𝐴𝐵,𝑃 𝐸𝐽 cos 𝜓 𝑤 𝐵Γ = 𝑀 𝐵Γ,𝑃 𝐸𝐽

Εφαρμογή 2η – υπολογισμός γραμμής βυθίσεων – τμήμα ΑΒ Τμήμα ΑΒ: 𝑈 𝑥 =0.046 𝑥 𝑙 + 1 6 𝑀 𝑚𝑎𝑥 𝐸𝐽 cos 45 𝑙 2 𝜔′ 𝐷 =0.046 𝑥 𝑙 −0.02299 𝜔′ 𝐷 Ο πρώτος όρος της εξίσωσης είναι ο όρος της κλείουσας και δεύτερος όρος είναι ο όρος του ελαστικού φορτίου. Τίθεται 𝑙 =8m, δηλαδή το μήκος της προβολής ΑΒ και όχι του κεκλιμένου τμήματος. Για τον υπολογισμό των τιμών της εξίσωσης στα σημεία 1, 2 και 3 του τμήματος ΑΒ (τα σημεία 0, 4 και 8 μπορούν να παραλειφθούν ως γνωστά), φτιάχνεται ο παρακάτω πίνακας: i x/l ωD’ 0.046x/l -0.02299ωD’ U(x) (m) 1 0.25 0.3281 0.0115 -0.007543 0.00396 2 0.5 0.375 0.023 -0.008621 0.01437 3 0.75 0.2344 0.0345 -0.005389 0.00291

Εφαρμογή 2η – υπολογισμός γραμμής βυθίσεων – τμήμα ΒΓ Τμήμα ΒΓ: 𝑈 𝑥 =0.046 𝑥′ 𝑙 + 1 3 𝑀 𝑚𝑎𝑥 𝐸𝐽 𝑙 2 𝜔 𝐵 =0.046 𝑥′ 𝑙 +0.00813 𝜔 𝐵 i x/l x’/l ωB 0.046x’/l 0.00813ωB U(x) (m) 5 0.25 0.75 0.2227 0.0345 0.00181 0.03631 6 0.5 0.3125 0.023 0.00254 0.02554 7 0.0115 0.01331 Τελικά, οι τιμές των παραπάνω πινάκων τοποθετούνται στο διάγραμμα και φτιάχνεται έτσι η γραμμή βυθίσεων. Παρατηρείται ότι στο τμήμα ΑΒ εμφανίζεται αρνητική καμπυλότητα (αρνητικό διάγραμμα ροπών), ενώ στο ΒΓ εμφανίζεται θετική καμπυλότητα (θετικό διάγραμμα ροπών).