Διάλεξη 5 Η Γεωμετρία του Σύμπαντος Σύνοψη Διάλεξης 4: Η Δυναμική του Σύμπαντος 3 διαφορικές εξισώσεις, δύο από αυτές ανεξάρτητες Friedmann: Ρευστού Επιτάχυνσης Χρειαζόμαστε ακόμα μια εξίσωση κατάστασης, p=p(ρ) και συνοριακες συνθήκες

Βοηθητικό Υλικό Liddle Κεφ.4 σελ. 25-30, και σελ. 119-120 Πρόβλημα 2.5 απο Ryden

Από Νεύτωνα προς Einstein Νεύτων: Η ύλη υπαγορεύει στην βαρύτητα πώς να ασκήσει δύναμη (F=-GMm/r2). Η δύναμη υπαγορεύει στην ύλη πώς να επιταχύνει. Η ελκτική αλληλεπίδραση διαδίδεται ακαριαία με άπειρη ταχύτητα. Επαρκής περιγραφή μόνο για μικρές ταχύτητες ύλης (u<<c) και για ασθενή βαρυτικά πεδία (όπως αυτά της καθημερινής ζωής). Einstein: Η ύλη/ενέργεια υπαγορεύει στον χωρόχρονο πώς να καμπυλώνεται. Ο καμπύλος χωρόχρονος υπαγορεύει στην μάζα πώς να κινηθεί.

Καμπυλότητα σε δυσδιάστατες επιφάνειες Μηδενική Καμπυλότητα Θετική Καμπυλότητα Αρνητική Καμπυλότητα Μια επιφάνεια 2D γενικά έχει διαφορετική καμπυλότητα σε διαφορετικές περιοχές. ΑΛΛΑ: Το Σύμπαν σε μεγάλες κλίμακες έχει την ίδια καμπυλότητα παντού γιατί υπακούει στην Κοσμολογική Αρχή.

Ευκλείδια Γεωμετρία, Επίπεδο Σύμπαν k=0. Επίπεδος Χώρος Σφαιρικός Χώρος Υπερβολικός Χώρος Βασικό Αξίωμα: δύο παράλληλες γραμμές δεν τέμνονται. Οι γωνίες ενός τριγώνου έχουν πάντα άθροισμα 180o. Η περιφέρεια ενός κύκλου ακτίνας r είναι 2πr. Αν αυτή η γεωμετρία ισχύει για το Σύμπαν μας θα πρέπει να είναι άπειρο, αλλιώς στις ‘άκρες’ θα παραβιαζόταν η κοσμολογική αρχή.

Θετική Καμπυλότητα k>0 Σφαιρική Γεωμετρία Κλειστό Σύμπαν Επίπεδος Χώρος Σφαιρικός Χώρος Υπερβολικός Χώρος Ο Ευκλείδης ήλπιζε ότι το βασικό του αξίωμα μια μέρα θα αποδεικνυόταν. Όμως ο Riemann, 22 αιώνες μετά απέδειξε ότι πρόκειται απλά για μια αυθαίρετη επιλογή. Έτσι γεννήθηκαν οι μη Ευκλείδειες γεωμετρίες Η σφαίρα είναι η απλούστερη περίπτωση μη Ευκλείδειας γεωμετρίας. Ο σφαιρικός δυσδιάστατος χώρος είναι ομογενής και ισοτροπικός. Είναι πεπερασμένος (επιφάνεια=4πr2), αλλά δεν έχει όρια Μια πεπερασμένη επιφάνεια χωρίς όρια.

Θετική Καμπυλότητα k>0 Σφαιρική Γεωμετρία Κλειστό Σύμπαν Παράλληλες ευθείες συναντόνται! Παράδειγμα: Μεσημβρινοί. Παράλληλες όταν τέμνουν τον ισημερινό αλλά συναντώνται στους πόλους. Οι γωνίες τριγώνου έχουν άθροισμα πάνω από 180o. Παράδειγμα: αρχίστε από τον βόρειο πόλο και σχεδιάστε δυο ‘ευθείες’ γραμμές με γωνία 90o προς τον ισημερινό. Ενώστε τις γραμμές στον ισημερινό. Αυτό το τρίγωνο έχει τρεις ορθές γωνίες. Η περιφέρεια κύκλου είναι λιγότερο απο 2r. Παράδειγμα: σχεδιάστε κύκλο με ακτίνα r και κεντρο τον βόρειο πόλο. Επιλέξτε το r ώστε ο κύκλος να είναι ο ισημερινός. Αν R είναι η ακτίνα της Γης: Ακτίνα κύκλου r : r=R/2, Περιφέρεια κύκλου c=2R, c=2R=4 x R/2=4r<2r

Αναλογία με το Σύμπαν μας σε 3D ΑΛΛΑ Η καμπυλότητα είναι μια ιδιότητα της ίδιας της σφαιρικής επιφάνειας σε 2D. Πουθενά δεν επικαλεστήκαμε τον 3D χώρο. Ότι είπαμε συμβαίναι πάνω στην επιφάνεια. Όταν συζητάμε την σφαιρική γεωμετρία δεν υπάχει καν ανάγκη να την σκεφτόμαστε σαν εμβαπτισμένη στο 3D χώρο μας. Κατ αναλογία μπορούμε να σκεφτούμε για τον Σύμπαν μας μας σε 3D. Η καμπυλότητά του είναι μια εσωτερική ιδιότητα και δεν υπάρχει ανάγκη να το εμβαπτίσουμε σε χώρο 4D.

Αναλογία με το Σύμπαν μας σε 3D Αν ταξιδέψετε σε ευθεία γραμμή επιστρέφετε τελικά εκεί που ξεκινήσατε αλλά από την ακριβώς αντίθετη κατεύθυνση. Ένα τέτοιο Σύμπαν αντιστοιχεί στην επιλογή k>0 στην εξίσωση Friedmann και αναφέρεται σαν ‘κλειστό σύμπαν’ λόγω του πεπερασμένου μεγέθους του.

Αρνητική Καμπυλότητα, k<0: Υπερβολική Γεωμετρία, ανοικτό Σύμπαν. Επίπεδος Χώρος Σφαιρικός Χώρος Υπερβολικός Χώρος Μια σαμαροειδής επιφάνεια 2D είναι τοπικά μια υπερβολική επιφάνεια με k<0. Σ’ ένα Σύμπαν αρνητικής καμπυλότητας: Οι παράλληλες ‘ευθείες’ αποκλίνουν=> Άπειρο σε μέγεθος όπως και ο επίπεδος χώρος Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι λιγότερο απο 180o Η περιφέρεια κύκλου είναι μεγαλύτερη απο 2r

Κλειστό Ανοικτό Επίπεδο

Άπειρο και Παρατηρήσιμο Σύμπαν. Σ’ ένα επίπεδο και ανοικτό Σύμπαν, ο χώρος σε κάθε χρονική στιγμή εκτείνεται στο άπειρο. Παρά το ότι είναι άπειρο, συνεχίζει να διαστέλλεται και η απόσταση μεταξύ των αντικειμένων αυξάνεται ανεξάρτητα από το αν το Σύμπαν είναι άπειρο ή όχι. Αυτή η περιγραφή είναι μόνο ένα μοντέλο και δεν υπάρχει παρατήρηση που να επιβεβαιώνει αν το πραγματικό Σύμπαν είναι άπειρο. Μπορούμε μόνο να παρατηρήσουμε το παρατηρήσιμο Σύμπαν όπως ορίζεται από την απόσταση του ορίζοντα. Ο ορίζοντας μεγαλώνει με τον χρόνο διότι: 1. Το Σύμπαν διαστέλλεται 2. Το φως έχει περισσότερο χρόνο να ταξιδεύσει στο Σύμπαν.

Που έγινε η Μεγάλη Έκρηξη; Παντού, δεν υπάρχει προνομιούχο μέρος στο Σύμπαν. Ο χώρος και ο χρόνος δημιουργήθηκαν την στιγμή της Μεγάλης Έκρηξης και πριν από αυτή δεν υπήρχε άλλος χώρος ή χρόνος. Αν θεωρήσετε ένα οποιοδήποτε σημείο στο χώρο και γυρίσετε πίσω τον χρόνο θα οδηγηθείτε στην Μεγάλη Έκρηξη. Άρα η Μεγάλη Έκρηξη συνέβη παντού. Πουθενά Φανταστείτε το Σύμπαν σαν μια διαστελλόμενη σφαίρα. Σε κάθε χρονική στισγμή ‘Χώρος’ είναι η διαρκώς αυξανόμενη επιφάνεια της σφαίρας. Το σημείο όπου συνέβη η Μεγάλη Έκρηξη είναι στο κέντρο της σφαίρας αλλά αυτό το σημείο δεν ανήκει πια στην σφαίρα. Όντα περιορισμένα στην επιφάνεια της σφαίρας δεν μπορούν να δείξουν προς το κέντρο όπου έγινε η Μεγάλη Έκρηξη.

Η μετρική του χωρό-χρονου Τι είναι μετρική; Είναι ο μόνος τρόπος να μετατρέπουμε διαφορές συντεταγμένων σε αποστάσεις σε γενικούς χώρους. Παράδειγμα: Ευκλείδιος χώρος σε 2D (επίπεδο). Από το Πυθαγόρειο θεώρημα: Αν ο χώρος διαστέλλεται Όπου a(t) είναι ο παράγοντας διαστολής. Δs2 Δx2 Δx1

Η μετρική του χωρό-χρονου Σε 3 χωρικές διαστάσεις μπορεί να δειχθεί ότι: Ένα γεγονός περιγράφεται από 3 χωρικές συν/νες + χρόνο. Η απόσταση μεταξύ δύο γεγονότων δίνεται από την μετρική Robertson-Walker:

Σύνοψη Η καμπυλότητα του χωρόχρονου καθορίζεται από την ύλη/ενέργεια και με την σειρά της καθορίζει καθορίζει την κινητική συμπεριφορά της ύλης. Ένας ομογενής και ισοτροπικός χώρος μπορεί να έχει τριών ειδών γεωμετρίες: Σφαιρική (θετική καμπυλότητα), Επίπεδη (μηδενική καμπυλότητα) και Υπερβολική (αρνητική καμπυλότητα). Η μετρική είναι η ‘συνταγή’ με την οποία μετατρέπουμε διαφορές συν/νων σε αποστάσεις σε γενικούς χώρους. Η μετρική που περιγράφει ομογενείς και ισοτροπικούς χώρους είναι η μετρική Robertson Walker.