第十七讲 3. 切比雪夫滤波器的设计方法 4. 模拟滤波器的频率变换 模拟 高通、带通、带阻滤波器的设计

3. Chebyshev 低通滤波器的设计方法  Chebyshev 低通滤波器的幅度平方函数  Chebyshev 低通滤波器幅度平方函数特点  Chebyshev 低通滤波器的三个参量  Chebyshev 低通滤波器幅度平方函数的极点分布  Chebyshev 低通滤波器的设计步骤

 提出的背景 巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通 带和阻带都是频率的单调函数。因此．当通带 边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。 因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀 地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻 带内，或者同时分布在两者之内。这样，就可 用阶数较低的系统满足要求。这可通过选择具 有等波纹特性的逼近函数来达到。

1 ） Chebyshev 低通滤波器的幅度平方函数

Chebyshev Ι 型滤波器的幅度平方函数（续）

 当 N=0 时， C 0 (x)=1 ；  当 N=1 时， C 1 (x)=x ；  当 N=2 时， C 2 (x)=2x 2 -1 ；  当 N=3 时， C 3 (x)=4x 3 - 3x 。  由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递 推公式为  C N+1 (x)=2xC N (x)-C N-1 (x) 前两项给出后才 能迭代下一个 Chebyshev 多项式的特性

N=0,4,5 切比雪夫多项式曲线 N 的影响：  N 越大阻带衰减越快  阶数 N 影响过渡带的 带宽，同时也影响通 带内波动的疏密，因 为 N 等于通带内最大值 与最小值的总个数

 2 ） Chebyshev 低通滤波器幅度平方函数特点：  通带外：迅速单调下降趋向 0 –N 为偶数 –N 为奇数  通带内：在 1 和 间等波纹起伏 

切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线

3 ） Chebyshev 低通滤波器的三个参量：  ：通带截止频率，给定  ：表征通带内波纹大小 由通带衰减决定

设阻带的起始点频率 ( 阻带截止频率 ) 用 Ω s 表 示，在 Ωs 处的 A 2 (Ω s ) 为 ：  令 λs=Ω s /Ω p ，由 λ s >1 ，有 可以解出  滤波器阶数 N 的确定

3dB 截止频率 Ω c 的确定 按照 (6.2.19) 式，有 通常取 λc>1 ，因此 上式中仅取正号，得到 3dB 截止频率计算公式： 令 书上该公 式有错

4 ） Chebyshev 低通滤波器幅度平方函数的极点分布  以上 Ω p,ε 和 N 确定后，可以求出滤波器的极点，并 确定 H a (p) ， p=s/Ω p 。  有用的结果 : 设 Ha(s) 的极点为 s i =σ i +jΩ i ，可以证明：

 上式是一个椭圆方程，因为 ch(x) 大于 sh(x) ， 长半轴为 Ω p chξ( 在虚轴上 ) ，短半轴为 Ω p shξ( 在 实轴上 ) 。令 bΩ p 和 aΩ p 分别表示长半轴和短半 轴，可推导出： (6.2.29) (6.2.30) (6.2.31) 因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在长 半轴为 bΩp ，短半轴为 aΩp 的椭圆上的点。

设 N=3 ，平方幅度函数的极点分布如图 所示 ( 极点用 X 表示 ) 。 为稳定，用左半平面的极点构成 H a (p) ，即 (6.2.32) 式中 c 是待定系数。根据幅度平方函数 (6.2.19) 式 可导出： c=ε · 2 N-1 ，代入 (6.2.32) 式，得到归一化的 传输函数为 (6.2.33a) 去归一化后的传输函数为

图 三阶切比雪夫滤波器的极点分布

5 ） Chebyshev 低通滤波器的设计步骤 : 归一化： 1 ）确定技术指标： 2) 根据技术指标求出滤波器阶数 N 及 ： 其中：

3 ）求出归一化系统函数： 或者由 N 和 ，直接查表得 其中极点由下式求出： 4 ）去归一化

例 设计低通切比雪夫滤波器，要 求通带截止频率 f p =3kHz ，通带最大衰减 α p =0.1dB ，阻带截止频率 f s =12kHz ，阻带 最小衰减 α s =60dB 。 解 (1) 滤波器的技术指标：

 (2) 求阶数 N 和 ε ： 此过程可直接查表

(3) 求归一化系统函数 H a (p): 由 (6.2.38) 式求出 N=5 时的极点 p i ，代入上式，得到： (4) 将 H a (p) 去归一化，得到： 此过程也可直接 查表完成

小结：模拟滤波器设计的步骤 通带截止频率 、通带衰减 阻带截止频率 、阻带衰减  确定滤波器的技术指标：  将模拟滤波器的技术指标设计转化为低通 原型滤波器的参数 –Butterworth 低通滤波器 –Chebyshev 低通滤波器  构造归一化低通原型滤波器的系统函数  反归一

4. 模拟滤波器的频率变换 ---- 模拟高通、带通、带阻滤波器的设计  高通、带通和带阻滤波器的传输函数可以通过 频率变换，分别由低通滤波器的传输函数求得， 因此不论设计哪一种滤波器，都可以先将该滤 波器的技术指标转换为低通滤波器的技术指标， 按照该技术指标先设计低通滤波器，在通过频 率变换，将低通的传输函数转换成所需类型的 滤波器传输函数。

符号规定 归一化 模拟低通 模拟高通、 带通、带阻 模拟域 频带变换

1) 低通到高通的频率变换  λ 和 η 之间的关系 为  低通到高通的频 率变换关系为

模拟高通滤波器的设计步骤如下： (1) 确定高通滤波器的技术指标： (2) 确定相应低通滤波器的设计指标： 按照式, 将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器 的边界频率，各项设计指标为： ①低通滤波器通带截止频率 ； ②低通滤波器阻带截止频率 ； ③通带最大衰减仍为 α p ，阻带最小衰减仍为 α s 。 (3) 设计归一化低通滤波器 G(p) 。 (4) 求模拟高通的 H(s) 。

例 设计高通滤器,f p =200Hz,f s =100Hz ，幅度特 性单调下降， f p 处最大衰减为 3dB ，阻带最小衰 减 α s =15dB 。 解 ①高通技术指标要求： fp=200Hz,αp=3dB; fs=100Hz,αs=15dB 归一化频率 ②低通技术要求：

③ 设计归一化低通 G(p) 。采用巴特沃斯滤波器， 故 ④ 求模拟高通 H(s) ：

带通与低通滤波器的幅度特性 η 与 λ 的对应关系 2) 低通到带通的频率变换

 由 η 与 λ 的对应关系，得到： 由表 知 λ p 对应 η u ，代入上式中，有 带通滤波器的归 一化带宽为 1 低通到带通的频率变 换公式。利用该式将 带通的边界频率转换 成低通的边界频率。

由于 将 q=jη 代入上式，得到： 为去归一化，将 q=s/B 代入上式，得到： (6.2.44) (6.2.45) 归一化低通到任意带通系统函数的转换公式 两个环节 : 1. 归一化低通到归一化 带通； 2. 归一化带通到 任意带通

下面总结模拟带通的设计步骤。 (1) 确定模拟带通滤波器的技术指标，即： 带通上限频率 Ω u ，带通下限频率 Ω l 下阻带上限频率 Ω s1, 上阻带下限频率 Ω s2 通带中心频率 Ω 2 0 =Ω l Ω u ，通带宽度 B=Ω u - Ω l 与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：

( 2) 确定归一化低通技术要求： λ s 与 -λ s 的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的 λ s ， 这样保证在较大的 λ s 处更能满足要求。 通带最大衰减仍为 αp ，阻带最小衰减亦为 αs (3) 设计归一化低通 G(p) 。 (4) 反归一 : 直接将 G(p) 转换成带通 H(s) 。

6.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽 B=2π×200rad/s ， 中心频率 Ω 0 =2π×1000rad/s ， 通带内最大衰减 α p =3dB ， 阻带 Ω s1 =2π×830rad/s,Ω s2 =2π×1200rad/s ， 阻带最小衰减 α s =15dB 。 解 (1) 模拟带通的技术要求： Ω 0 =2π×1000rad/s,α p =3dB Ω s1 =2π×830rad/s, Ω s2 =2π×1200rad/s,α s =15dB B=2π×200rad/s; η 0 =5,η s1 =4.15,η s2 =6

(2) 模拟归一化低通技术指标要求： 取 λ s =1.833,α p =3dB,α s =15dB 。 (3) 设计模拟归一化低通滤波器 G(p) ： 采用巴特沃斯型，有

取 N=3 ，查表 ，得 (4) 求模拟带通 H(s) ：

3) 低通到带阻的频率变换 低通与带阻滤波器的幅频特性 图 低通与带阻滤波器的幅频特性

 B 作为一化参考频率。相应的归一化边界 频率为 η u =Ω u /B, η l =Ω l /B, η s1 =Ω s1 /B, η s2 =Ω s2 /B; η 2 0 =η u η l 表 η 与 λ 的对应关系

低通到带阻的频 率变换公式 直接由归一化低通 转换成带阻的频率 变换公式。 根据 η 与 λ 的对应关系，可得到： λp=1 令 p=jλ ，并去归一化，可得

(1) 确定模拟带阻滤波器的技术要求，即： 设计模拟带阻滤波器的步骤：

(2) 确定归一化模拟低通技术要求，即： 取绝对值较小的 λ s ；通带最大衰减为 α p ，阻带 最小衰减为 α s (3) 设计归一化模拟低通 G(p) (4) 转换成带阻滤波器 H(s) 。

例 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为： Ω l =2π×905rad/s, Ω s1 =2π×980rad/s, Ω s2 =2π×1020rad/s, Ω u =2π×1105rad/s,α p =3dB, α s =25dB 。 试设计巴特沃斯带阻滤波器。 解： (1) 模拟带阻滤波器的技术要求： Ω l =2π×905,Ω u =2π×1105; Ω s1 =2π×980,Ω s2 =2π×1020; Ω 2 0 =Ω l Ω u =4π+2× ,B=Ω u -Ω l =2π×200;

η l =Ω l /B=4.525, η u =Ω u /B=5.525; η s1 =Ω s1 /B=4.9,η s2 =5.1; η 2 0 =η l η u =25 (2) 归一化低通的技术要求：

(4) 带阻滤波器的 H(s) 为 (3) 设计归一化低通滤波器 G(p):

模拟滤波器设计的步骤 通带截止频率 、通带衰减 阻带截止频率 、阻带衰减  确定滤波器的技术指标：  将模拟滤波器的技术指标设计转化为低通 原型滤波器的参数 –Butterworth 低通滤波器 –Chebyshev 低通滤波器  构造归一化低通原型滤波器的系统函数 G(P ） 首先要掌握低通原型滤波器的设计方法

模拟滤波器设计步骤小结 （ 1 ）确定需要设计的 “ 实际 AF”H(jΩ) 指标 (2) 将实际 AF 转换成相应低通 AF 指标 (3) 根据实际滤波特性要求，选择合适的 AF 类型, 设计相应的归一化低通 G （ P) (4) 频率变换, 将 G(P) 转化成实际 AF 系统函数