9 第九章 欧几里得空间 学时： 18 学时。 教学手段：  讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。 基本内容和教学目的：  基本内容：欧几里得空间定义与基本性质；标准正交基；同构；正 交变换；子空间；对称矩阵的标准形；向量到子空间的距离、最小 二乘法。  教学目的：  欧几里得空间定义与基本性质。  掌握标准正交基、同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。  了解向量到子空间的距离、最小二乘法。 重点和难点：  重点：标准正交基、同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。  难点：同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。

9 9.1 欧氏空间定义及其性质

9 一 概念引入 物理学上力 F 所做之功： W=SFcosθ F 空间解析中, 矢量的数 量积一般表示： ξ,η ∈ V 3 Fcosθ 1) ξ,η 均不为 0 ： ξη=|ξ||η|cos ∈ R ； 2) ξ 或 η 为 0 ：规定 ξη=0. → 由数量积最本质的属性出发，采用公理化方法在 线性空间中引入内积概念，从而建立欧几里德几何 的基本特征. Θ

9 公理 1 称为对称性，公理 2 ， 3 合称为线性性，公理 4 称 为恒正性. 对称性，线性性和恒正性正是数量积（如功） 的基本属性. 在此基础上可进一步建立向量长度、夹角、距离等概 念，这均为几何空间的特征，是以欧氏几何为基础的， 故称为欧氏空间. 定义 1 V 是 R 上的线性空间， V 上定义二元实值函数，称为 内积，是指 对任意的 α,β,γ ∈ V ，对任意的 k ∈ R, 存在唯 一的 (α,β) ∈ R, 使得 1) (α,β) = (β,α) ； 2) (kα,β) = k(α,β) 3) (α+β,γ) = (α,γ) + (β,γ) 4) (α,α)≥0 ，并且 α = 0 当且仅当 (αα) = 0 这时，称 V 是欧几里德空间.

9 例 1 R n 中，对任意的 ξ= (x 1, ···, x n ), η= (y 1,···, y n ) ∈ R n, 规定 (ξ,η) = x 1 y 1 + ··· + x n y n, 则 R n 对此构 成欧式空间. 证明：显然 (ξ,η) ∈ R, 且具唯一性. 对任意的 ξ,η,ζ ∈ R n, k ∈ R, 1) (ξ,η) = x 1 y 1 + ··· + x n y n = y 1 x 1 + ··· + y n x n = (η,ξ). 2) (kξ,η) = kx 1 y 1 + ··· +k x n y n = k(x 1 y 1 + ··· + x n y n ) = k (ξ,η). 3) (ξ+η, ζ) = (x 1 + y 1 )z 1 + ··· + (x n +y n )z n = (x 1 z 1 + ··· + x n z n ) + (y 1 z 1 + ··· + y n z n ) = (ξ,ζ) + (η,ζ). 4) (ξ,ξ) = x ··· + x n 2 ≥0. 而 ξ= 0 当且仅当 x 1 = x 2 = ··· = x n = 0 当且仅当 (ξ,ξ) = x ··· + x n 2 = 0. 故 R n 关于 (ξ,η) 构成一个欧氏空间. □

9 证明分析： 根据定积分 的性质，易证欧氏空间定 义中 4 条公理成立，故 C(a, b) 关于（ f, g ）构成欧氏空 间. 注： R[x], R[x] n 关于如上 定义的（ f, g ）也构成欧 氏空间.

9 二 基本性质 5 ） (α, kβ) = k(α, β)  (α, kβ) = ( kβ,α) = k (β,α) = k (α,β). 6) (α,β+γ) = (α,β) + (α,γ)  (α,β+γ) = (β+γ,α) = (β,α) + (γ,α) = (α,β) + (α,γ). 7) (0,α) = (α,0) = 0 ( 对任意的 α ∈ V )  (0,α) = (0·0,α) = 0 (0,α) = 0 = (α,0). 8) 对任意的 β ∈ V ， (αβ) = 0, 则 α= 0  取 β=α, 则 (αα) = 0, 据公理 4 得 α= 0. 9)

9 

9 三 向量长度

9 四 向量夹角 为在 V 中引入夹角概念，先研究如下性质： 12 ） (α,β) 2 ≤ (αα)(ββ) ( 或 |(α,β)|≤|α||β| ) 其中等号成立当且仅当 α,β 线性相关.  该不等式称为柯西 - 布涅柯夫斯基 - 施瓦茨不等式. 柯西 : 法国数学家（ 年） 其主要贡献在微积分，复变函数和 微分方程方面，许多定理和公式均 以他的名字命名. 布涅柯夫斯基是俄国数学家，施 瓦茨是德国数学家，他们各自都发 现如上结论，故历史上一般称为柯 西 - 布涅柯夫斯基 - 施瓦茨不等式. 柯 西

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9 五 向量的距离 15) ｜ α+β ｜ ≤ ｜ α ｜ + ｜ β| （三角不等式） 证明： |α+β| 2 =(α+β,α+β)=(α,α)+2(α,β) +(β,β)≤|α| 2 + 2|α||β|+|β| 2 =(|α|+|β|) 2 → ｜ α+β ｜ ≤ ｜ α ｜ + ｜ β|. □ 几何意义：几何空间中，两边之和大于第三边. 定义 5 向量 α,β 的距离 d(α,β)=|α － β| 几何意义如图示. 16) α≠β, 则 d(α,β) ＞ 0. α － β 17) d(α,β)= d(β,α). β 18) d(α,γ)≤d(α,β) ＋ d(β,γ). α 证明： d(α,γ)=|α － γ|≤|α － β| ＋ |β － γ|= d(α,β) ＋ d(β,γ). 19 ）欧氏空间的子空间关于其内积也构成欧氏空间. 故可引入欧氏空间的子空间的概念.

9 六 度量矩阵

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9 9.2 标准正交基

9 一. 概念及基本性质 定义 1 V 中一组非零向量两两正交，则称其为正交向量组. 单个非零向量所成向量组认为是正交向量组（因为在此向量组中找不 到两个向量不正交）. 性质 1 {α 1,α 2, ···,α m } 是正交组，则 α 1,α 2, ···,α m 线性无关. 证明： 设 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ··· + k m α m = 0, 用 α i (i =1, ···, m) 于该式两边作内积， 即 (α i, k 1 α 1 + k 2 α 2 + ··· + k m α m ) = k 1 (α i, α 1 ) + ··· + k i (α i, α i ) + ··· + k m (α i, α m ) = (α i, 0) = 0 → k i (α i, α i ) = 0 → 因 α i ≠ 0 ，得 (α i, α i ) ≠ 0 ，故 k i = 0 (i =1, ···, m) → α 1,α 2, ···,α m 线性无关. □ dimV = n 时， V 中两两正交的向量不会超过 n 个 ( 如平面上找不到三 个两两正交的向量，空间中找不到四个两两正交的向量 ).

9 定义 2 n 维欧氏空间 V 中， n 个向量的正交向量组称为 V 的正交 基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基.

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9 二 标准正交基的计算

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9  该定理的证明过程给出了求标准正交基的方法：

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9 三 正交矩阵

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9 9.3 欧氏空间同构

9 一. 同构概念 定义 8 实数域 R 上的欧氏空间 V 与 V / 同构，如果存 在双射 σ ： V→V / ，满足：对任意的 αβ ∈ V ， k ∈ R ， 1 ） σ(α+β) =σ(α) + σ(β) ； 2 ） σ(kα) = kσ(α) ； 3 ） (σ(α),σ(β) ) = (α,β). 该映射 σ 称为 V 到 V / 的同构映射，并记为 V ≌ V /.  由该定义可知欧氏空间 V 到 V / 的同构映射一定是 线性空间 V 到 V / 的同构映射，故得如下性质： 性质 1 有限维欧氏空间 V ≌ V / 当且仅当 dimV=dimV /. 证明 : 必要性 若 V ≌ V / → 作为线性空间来说， V 与 V / 仍然同构，据线性空间理论即知 dimV=dimV /. 充分性 设 dimV=dimV /. 当 n = 0 时，它们显然 同构.

9 当 n ≥0 时，设 α 1,α 2,···,α n 与 β 1,β 2,···,β n 分别为 V 及 V / 的标准正 交基，则 f : α= x 1 α 1 +x 2 α 2 + ··· +x n α n → f(α) =β= x 1 β 1 +x 2 β 2 + ··· +x n β n 是线性空间 V 到 V / 的同构映射，且 取 γ= y 1 α 1 +y 2 α 2 + ··· +y n α n, 有 (α,γ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ··· + x n y n = ( f (α), f (γ) ), 即 f 是欧氏空间 V 到 V / 的同构映射， V ≌ V /. □ 性质 2 任一 n 维欧氏空间 V 都与 R n 同构. 证明：据题设 dimV= dimR n 及性质 1 ，即知 V ≌ R n. □ 性质 3 欧氏空间之间的同构关系具有自反性、对称性、 传递性. 证明： 略.

9 9.4 正交变换

9 一 正交变换的概念及性质 定义 9 V 是欧氏空间， A ( ∈ L(V)) 称为正交变换，如 果对任意的 α,β ∈ V, ( A α, A β) = (α,β). 性质 1 ( 定理 1) V 是欧氏空间， A ∈ L(V) ，则以下条 件等价： 1) A 是正交变换； 2) 对任意的 α ∈ V ， │ A α│=│α│ （即保持向量的长 度不变）； 3) ε 1,ε 2, ···,ε n 是 V 的标准正交基，则 A ε 1, A ε 2, ···, A ε n 是 V 的标准正交基； 4) 在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵.

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9 性质 2 正交变换是可逆的线性变换. 证明： 正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵，而正交矩 阵可逆，故正交变换可逆. □ 性质 3 正交变换是 V 到 V 的同构映射. 证明： 正交变换 A 可逆，故是双射. A 是线性变换，故 A (α+β) = A (α) + A (β) ； A (kα) = k A (α). A 是正交变换，故 ( A α, A β) = (α, β). 所以 A 是 V 到 V 的同构映射. □ 性质 4 A, B 是正交变换，则 A － 1, AB 是正交变换. 证明： 设 A, B 在标准正交基下的矩阵是 A, B → A, B 是正交矩 阵，且 A － 1 ， AB 是正交矩阵 → A － 1, AB 是正交变换.

9 性质 5 在标准正交基下，正交变换与正交矩阵一一对应. * 设正交变换 A 对应的正交矩阵为 A ，则｜ A ｜ =±1 → 称｜ A ｜为正交变换 A 的行列式；当｜ A ｜ = 1 时，称 A 为第一类正 交变换 ( 或旋转 ) ；当｜ A ｜ = － 1 时，称 A 为第二类正交变换. 性质 6 正交变换保持向量夹角不变，反之则不一定. 证明： 设 σ 是正交变换 → 对任意的 α,β ∈ V, (σ(α),σ(β)) = (α,β) ； ｜ α ｜ = ｜ σ(α) ｜, ｜ β ｜ = ｜ σ(β) ｜. 当 α,β 中有一个为 0 ，则 σ(α),σ(β)) 中有一个为 0 ，故 〈 σ(α),σ(β) 〉 = 〈 α,β 〉 = 90 0 ；若 α,β 均非 0 向量，则 〈 α,β 〉 = arccos (σ(α),σ(β))/ ｜ σ(α) ｜｜ σ(β) ｜ = arccos (α,β)/ ｜ α ｜｜ β ｜ = 〈 σ(α),σ(β) 〉, 即 σ 保持向量夹角不变. 反之，则不一定，如数乘变换保持夹角不变，但不是正交变换.

9 例 1 V 2 中将每一向量按逆时针方向旋转 θ 度的变换是正交变换 σ. 取 标准正交基 ε 1 = (1, 0), ε 2 = (0, 1), 则 容易验证矩阵 A 是正交矩阵，且｜ A ｜ = 1 ，故 σ 是第一类正交变换. 例 2 令 π 是过原点的平面， α σ 是 V 3 关于 π 的镜面反射. 取 ε 1,ε 2 为 π 的标准正交 基，即过原点互相垂直的 o π 单位向量构成基. 取 ε 3 为 过原点且垂直 π 的单位向 量，则 ε 1,ε 2, ε 3 为 V 的标 σ(α) 准正 交基. 由镜面反射的定

9 义， σ(ε 1 ) =ε 1, σ(ε 2 ) =ε 2, σ(ε 3 ) = － ε 3. 对任意的 α ∈ V 3 ， 设 α= x 1 ε 1 + x 2 ε 2 + x 3 ε 3, 则 σ(α) = x 1 σ(ε 1 ) + x 2 σ(ε 2 ) + x 3 σ(ε 3 ) = x 1 ε 1 + x 2 ε 2 － x 3 ε 3, 故 ｜ σ(α) ｜ 2 = x x x 3 2 = ｜ α ｜, 即推出 ｜ σ(α) ｜ = ｜ α ｜，所以 σ 是正交变换. 由如上过程 可知以下等式成立，即 σ 的行列式｜ B ｜ = － 1 ，即 σ 是 第 二类正交变

9 9.5 子空间

9 定义 10 设 V 1, V 2 是欧氏空间 V 的子空间，称 V 1, V 2 正交，记 为 V 1 ⊥ V 2 ，如果对任意的 α ∈ V 1, β ∈ V 2 ， (α,β) = 0. 称 ξ( ∈ V) 与 V 1 正交，记为 ξ ⊥ V 1 ，如果对任意的 α ∈ V 1 ， (ξ,α) = 0. 几何空间 V 3 中， xoy 平面， oz 轴， ox 轴分别标为 W 1 、 W 2 、 W 3, 则它 们都是 V 3 的子空间，且 W 1 ⊥ W 2 ， W 2 ⊥ W 3. 取 oz 轴上的向量 ξ ，则 ξ ⊥ W 1.

9 性质 1 V 1 ⊥ V 2 ，则 V 1 ∩V 2 = {0}.  对任意的 α ∈ V 1 ∩V 2 → α ∈ V 1 且 α ∈ V 2 → 由正交的定义即知 (α,α) = 0 → α = 0 → V 1 ∩V 2 = {0}. □ 性质 2 α ⊥ V 1 ，且 α ∈ V 1 ， 则 α= 0.  由题设即知 (α,α) = 0 → α = 0. □ 性质 3 （定理 5 ） 子空间 V 1, V 2, ···, Vs 两两正交，则 V 1 + V 2 + ··· + Vs 是直和. 证明： 设 0 = α 1 +α 2 + ··· +α s, α i ∈ V i, i = 1, 2, ···, s. 用 α i 对等式两边作内积得 (α i,α 1 ) + ··· + (α i,α i ) + ··· + (α i,α s ) = 0, 由题设正交推出 (α i,α i ) = 0 ，故 α i = 0 ， i = 1, 2, ···, s ， 即 0 的 分解式唯一，故 V 1 + V 2 + ··· + Vs 是直和. □

9 定义 11 设 V 1, V 2 是 V 的子空间， V 1 称为 V 2 的正交 补，如果 V 1 ⊥ V 2 且 V 1 + V 2 = V. V 1, V 2 互为正交补. 如几何空间中， xoy 平面与 oz 轴互为正交补.oy 轴与 oz 轴 正交，但不构成正交补. 性质 4 ( 定理 6) V 的任一子空间 V 1 都有唯一的正交补. 证明： A ） 存在性： 1) V 1 = {0}, 则其正交补是 V. 2) V 1 ≠ {0}, 在 V 1 中取正交基 ε 1,ε 2, ···,ε m 并扩充为 V 的正 交基 ε 1,ε 2, ···,ε m, ε m+1, ···,ε n → 取 V 2 = L(ε m+1, ···,ε n ), 则 V 1 + V 2 = V ．

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9 9.6 实对称矩阵的标准形

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9 定义 12 A （∈ L(V) ）称为对称变换，如果对任意的 Α,β ∈ V, ( A α,β) = (α, A β). 引理 3 A 是对称变换， V 1 是 A - 子空间，则 V 1 ⊥ 是 A - 子空间. 证明： V 1 是 A - 子空间 → 对任意的 β ∈ V 1, 有 A β ∈ V 1, 故 (α, A β) = 0 ( 对任意的 α ∈ V 1 ⊥ ) → 由 A 是对称变 换可知 ( A α,β) = (α, A β) = 0 → A α ∈ V 1 ⊥, 即 V 1 ⊥ 是 A - 子空间. □ 引理 4 A 是对称矩阵，则 R n 中属于 A 的不同特征值的特征向 量正交. 证明： 如引理 2 ，在 R 中引入线性变换 A ，设 λ,μ 是 A 的

9 不同的特征值， α,β 是 A 的分属于 λ,μ 的特征向量 → A α=λα, A β=μβ → 因 A 是对称变换， ( A α,β) = (α, A β) → (λα,β) = (α,μβ), 即 λ(α,β) = μ(α,β) → 因 λ － μ≠0 ，故得 (α,β) = 0 ，即 α ⊥ β. R n 中对称变换 A 的所有特征子空间两两正交. λ 1 λ 2 ·········· λ s A α V λ1 β V λ2 V λS

9 补充命题 1 dimV= n, A ∈ L(V), 则以下条件等价： 1 ） 对任意的 α,β ∈ V, ( A α,β) = (α, A β) ； 2 ） A 在某标准正交基下的矩阵是实对称矩阵； 3 ） A 在任一标准正交基下的矩阵是实对称矩阵. 证明： 1) => 2) 设 A 在标准正交基 ε 1,ε 2,···, ε n 下的矩阵是 A = (a ij ),a ij ∈ R. 只 要证明 a ij = a ji 即可. 因为 A ε i = a 1i ε 1 + a 2i ε 2 + a ni ε n (i=1,2,···,n) ，故 a ji = ( A ε i, ε j ) = (ε i, A ε j ) = a ij. 2) => 3) 设 A 在任一标准正交基Ⅰ下的矩阵是 B ，则 n 维欧氏空间由标准 正交基 ε 1,ε 2,···, ε n 到标准正交基Ⅰ的过渡矩阵 T 是正交矩阵，即 T / = T － 1 ， 且 B = T － 1 AT = T / AT → B / = (T / AT) / = T / AT = B, 即 A 在任一标准正交基下的矩阵都是实对称矩阵.

9 3) => 1) 设在标准正交基 ε 1,ε 2,···, ε n 下的矩阵 A 是实对称矩阵，即 A / = A ，对任意的 αβ ∈ V ， α= (ε 1,ε 2,···, ε n )X, β= (ε 1,ε 2,···, ε n )Y, 则 A α= (ε 1,ε 2,···, ε n )AX, A β= (ε 1,ε 2,···, ε n )AY → ( A α, β) = (AX) / Y = X / A / Y =X / AY ； (α, A β) = X / (AY) = X / AY, 即 ( A α, β) = (α, A β) → 是对称变换. □ 补充命题 2 1) 单位变换是对称变换； 2) A ， B 是对称变换，则 k A ， AB 仍是对称变换 ( 对任意的 k ∈ R ). 证明： 略. 定理 7 对任意的实对称矩阵 A, 存在 n 阶正交矩阵 T, 使得 T / AT = T － 1 AT 是对角矩阵.

9 ε 1, ε 2, ···,ε n η 1, η 2, ···,η n 证明分析： 在 R n 中, 设 A 在给定的标准正交基 ε 1, ε 2, ···, ε n 下定义的线性变换是 A, 问题即：寻找一标准正交基 η 1,η 2, ···,η n, 使在该基下的矩阵是对角矩阵 B → 如图 (η 1, η 2, ···,η n ) = (ε 1,ε 2, ···, ε n )T, T 即为要找的正交矩阵 → 证明的关键： 有 n 个特征向量构成标准 正交基即可, T 即是这 n 个特征向量 ξ 1,ξ 2, ···,ξ n 作列向量构成的, 即 T = (ξ 1,ξ 2, ···, ξ n ). L(V) A R n×n A T B=T / AT =T － 1 AT

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9 四 二次曲面方程化简及分（略） 五（补充）向量到子空间的距离 1. 内射影定义： 称 α 1 为 α 在 V 1 的内射影（如图） V 中内射影的几何直观很明确，一般欧氏空间中就不具有这一直 观性，但其欧氏几何的特征是一致的 2. 命题： 向量到子空间各个向量的 距离以垂线最短. → 设 W 是 V 的子空间,β ∈ V, γ ∈ W, β － γ ∈ W ⊥, 则 对任意的 δ ∈ W ， β β － γ ┃ β － γ ┃ ≤ ┃ β － δ ┃. γ β － δ 证明： β － δ=(β － γ)+(γ － δ) 因 W 是子空间， γ,δ ∈ W → δ γ － δ

9 γ － δ ∈ W ，因为 β － γ ⊥ W ，故 β － γ ⊥ γ － δ ， 据勾股定理┃ β － γ ┃ 2 + ┃ γ － δ ┃ 2 ＝┃ β － δ ┃ 2 → ┃ β － γ ┃ 2 ≤ ┃ β － δ ┃ 2 ，即有 ┃ β － γ ┃ ≤ ┃ β － δ ┃成立. □