1 第 8 章 数字信号的最佳接收 8.1 数字信号接收的统计表述 8.2 最佳接收的准则 8.3 最佳接收机的抗干扰性能

2 8.1 数字信号接收的统计表述 在噪声背景下数字信号接收过程是一个 统计判决问题。数字通信系统的统计模 型： xs+y 判决 规则 r n 消息空间信号空间 噪声空间 观察空间判决空间

3 离散消息源可以用概率场来表述 发送信号与消息之间通常是一一对应的 n 代表信道噪声的取值， n 为零均值高斯型 噪声， n 的统计特性应该用多维联合概率密 度函数来描述。

4 若限带信道的截止频率为 f H ，理想抽样 频率为 2 f H ，则在（ 0 ， T ）时间内共有 2f H T 个抽样值，其平均功率为 令抽样间隔 Δt=1/2f H ，若 Δt << T, 则上 式可近似用积分代替

5 y(t) = s i (t)+n(t) i=1,2, …m 当接收到信号 取值 s 1, s 2, … s m 之一时,y 也将服从高斯 分布, 方差仍为, 均值为 s i

6 当发送信号为 s i (t) 时,y(t) 的条 件概率密度函数为 又称为似然函数 根据 y(t) 的统计特性, 并遵循一定的 准则, 即可作出正确的判决, 判决空间中可 能出现的状态 r 1 ， r 2 ， … ， r m 与 y 1 ， y 2 ， … ， y m 一一对应。

7 8.2 最佳接收的准则 最小差错概率准则 在二进制数字调制中，发送信号只有两 个 s 1 (t) 和 s 2 (t), 假设 s 1 (t) 和 s 2 (t) 在观察时 刻的取值为 a 1 和 a 2, 则当发送信号为 s 1 (t) 或 s 2 (t) 时, y(t) 的条件概率密度函数为 :

8 每一次判决总的平均错误概率为 P e = p(s 1 ) Q 1 + p(s 2 ) Q 2

9 一般 p(s 1 ), p(s 2 ) 认为是已知的, 故 P e 是 y 0 的函数 故 为了达到最小错误概率, 可按如下规则进行判决 判为 r 1 判为 r 2 似然比判决准则

10 若 p(s 1 ) = p(s 2 ) 则 根据最大似然准则, 可以推出最佳接收机 结构 判为 s 1 判为 s 2 最大似然准则 判为 S 1 判为 S 2 判为 S 1 判为 S 2

11 不等式两边取对数 反之 判为 S 2 假设 S 1 (t), S 2 (t) 持续时间为 (0,T), 具有 相同的能量 判为 S 1 (1)

12 (1) 化简为 其中 由 (2) 给出的判决准则, 可得最佳接收机的 原理框图 (2)

13 相乘器积分器相加器 S 1 (t) U1U1 相乘器积分器相加器 S 2 (t) U2U2 比较器 y(t) 输出 P(S 1 ) = P(S 2 ) 时, 不要该部分 相关检测器

14 最大输出信噪比准则 在最大输出信噪比准则下, 最佳线性 滤波器为匹配滤波器 匹配滤波器原理 设 线性滤波器输入端 x(t) = s(t) + n(t) n(t) — 白噪声 p n (ω) = n 0 /2 s(t)  S(ω) 要求线性滤波器在某时刻 t 0 有最大的信号 瞬时功率与噪声平均功率的比值时的最 佳线性滤波器的传输特性 H(ω)

15 H(ω) 的输出端, y(t) = s 0 (t) + n 0 (t) 输出噪声平均功率 N 0

16 在 t 0 时刻的信噪比 许瓦尔兹不等式 (3) (4)

17 当 (4) 等号成立, k 为 常数 将 (4) 用于 (3) 分子中, 并令 可得 其中 是 s(t) 的能量

18 线性滤波器的最大输出信噪比为 此时 此即最佳线性滤波器的传输特性 按 (5) 设计的线性滤波器将能在给定时刻 t 0 上获得最大的输出信噪比 2E/n 0 匹配滤波器 h(t) = k s(t 0 -t) 为了获得物理可实现的匹配滤波器, 要求 t < 0 时 h(t) = 0 (5)

19 即 t t 0 这个条件表明, 物理可实现的匹配滤波器, 其输入端信号 s(t) 必须在它输出最大信 噪比的时刻 t 0 之前消失 匹配滤波器的输出信号波形

20 K 可取任意值, 通常令 k=1, 因此匹配 滤波器的输出波形是输入信号的自相 关函数 最小差错概率准则下的最佳接收机 与最大信噪比准则下的最佳接收机 是等效的.

21 例：试求与射频脉冲波形匹配的匹配滤波 器之特性，并确定其输出波形。

22 令 t 0 =τ （最大信噪比时刻为 τ ），则

23 假设 τ=kT 0 k 是整数 T 0 为载频周期 则

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最佳接收机的抗干扰性能 相关接收误码率 ρ — s 1 (t) 与 s 2 (t) 相关系数 E b 信号每比特平均能量 E 1 = E 2 = E b E 1, E 2 是 s 1 (t), s 2 (t) 在 0≤t≤T 内能量

26 在高斯信道中, 两种最佳接收方式实际 上是等效的, 相关接收误码率公式也是 最佳接收误码率通用公式 数字频带信号的最佳接收误码率 ASK 其中

27 FSK PSK 将上述结果与 P156 表 6-2 比较可知, 相干 解调与最佳接收结果是一致的, 因此常把 相干解调与最佳接收混为一谈. 当 y(t) = n(t) + s(t) 加到实际接收系统时, 总是首先经过带通滤波器. 设带宽为 B

28 当 时, 实际接收系统和最佳接收系统 具有完全相同的性能. 由于实际的带通滤波器带宽 B 总是大于 1/T, 故在同样的输入条件下, 实际接收系统的 性能总是比最佳接收系统的差. 等效矩形带宽 B

29 例 设接收信号为理想矩形脉冲, 即 且设 AT=1( 矩形面积 ), 试分别用 1. 可变带宽的理想低通滤波器 2. 可变带宽的 RC 低通滤波器 来充当匹配滤波器, 并讨论这样做的效果 解 1. 匹配滤波器特性

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31 理想低通 BT≤1 时, 时域最大响应在 处 最大信噪比 匹配滤波器的最大输出信噪比 —— 正弦积分

32 匹配 理想低通 RC 低通 BT 理想低通比匹配滤波器信噪比只降低 0.835dB, 有很好的近似结果

33 2. 方波通过 RC 低通网 在 t=T 时峰值 s 0 (T) 由 RC 决定的 3dB 带宽为 R CS(t) S 0 (t)

34 噪声功率 ( 为等效噪声带宽 )

35 比匹配滤波器信噪比降低 0.88dB RC 比理想低通只有 0.04dB 之差. 接收方波信号, 利用 RC 低通滤波器代替匹 配滤波器具有相当好的效果.