第七讲 2.5序列的Z变换

本讲要点 Z变换收敛域的意义 Z变换收敛域的特点 Z变换与傅里叶变换的关系 Z变换与拉普拉斯变换的关系 如何根据序列特性判断收敛域

第二章作业 2-1 （1）（3）（4）（6）（7）， 2-2，2-3，2-4，2-5 （1）（3）（5）， 2-6 （1）（3），2-10，2-12，2-13 2-14（2）（3）（6）， 2-16，2-23，2-24，2-28

信号与系统的分析方法 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域 分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。

Z变换在离散信号与系统的复频域分析中的意义等价于连续时间信号与系统的拉氏变换。 二.变换域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析（FT）、复频域（LT）分析。 2.离散时间信号与系统： 信号与系统的频域分析DFT(FFT)、复频 域（ZT）分析。 Z变换在离散信号与系统的复频域分析中的意义等价于连续时间信号与系统的拉氏变换。

2.5.1 Z变换的定义及收敛域 一.Z变换定义： 序列的Z变换定义如下： *实质是将x(n)展为z-1的幂级数。因此存在收敛域的问题。 傅立叶变换 s平面与z平面的映射

二.收敛域 1.定义: 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域. 2.收敛条件：

3.收敛域（ROC）特点 Z变换的收敛域是中心在原点的圆盘或环状区域； 仅当ROC包含单位圆时，序列的傅里叶变换存在； 收敛域内部不包含任何极点且是连通的，也即收敛域是以极点为边界的； Z变换加收敛域才能唯一确定一个序列

序列收敛域预备知识 对于正幂级数，其收敛域为以Rx+为半径的圆内， Rx+为其最内部极点的模值。 阿贝尔定理: 如果级数 ，在 如果级数 ，在 收敛,那么,满足0≤|z|<Rx+的z,级数必绝对收 敛。RX+为最大收敛半径。 对于正幂级数，其收敛域为以Rx+为半径的圆内， Rx+为其最内部极点的模值。

同样,对于级数 ，若满足 ，级数必绝对收敛。 Rx_为最小收敛半径。 对于负幂级数，其收敛域为以Rx-为半径的圆外， Rx-为其最外部极点的模值。

2.5.2序列特性对收敛域影响 n2 n1 n (n) . 1.有限长序列

x(n) n n1 . 1 ... 2. 右边序列 *第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,

第一项为有限长序列,其收敛域为0<|z|<∞; 其收敛域为 Rx-<|z|≤∞; 两者都收敛的域亦为Rx-<|z|<∞; Rx-为最小收敛半径。 收敛域

因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔 定理可知收敛域为：

3.左边序列 x(n) n 2

第二项为有限长序列,其收敛域 ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 ; 为最大收敛半径 .

4.双边序列 n x 双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。

第一项为右边序列(因果)其收敛域为： 第二项为左边序列，其收敛域为： 当Rx-<Rx+时，其收敛域为

例 2.5.1 x(n)=u(n)， 求其Z变换。 ? 傅立叶变换是否存在 解： X(z)存在的条件是 ， 因此收敛域为|z|>1，

[例2-1] 求序列 的Z变换及收敛域。 解：这相当 时的有限长序列， 其收敛域应包括 即 充满整个Z平面。

[例2.5.3]求序列 的Z变换及收敛域。 解： 当 时，这是无穷递缩等比级数。 若收敛域包含单位圆即 ，其傅里叶变换也存在！

收敛域： *右边序列的收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。

例2.5.4求序列 的Z变换及收敛域。 同样的，当|a|>|z|时，这是无穷递减等比级数，收敛。 收敛域： *左边序列的收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。

2.5.3 Z反变换 一.定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n) 的变换称作Z反变换。

C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线. c

二.求Z反变换的方法 1.留数法 由留数定理可知： 为c内的第k个极点，Zm 为c外的第m个极点，Res[ ]表示极点处的留数。若在c外有M个极点Zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则可利用外部极点留数围线积分。

留数的求法： 1、当Zr为一阶极点时的留数： 2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：

例 2.5.6 已知X(z)=(1-az-1)-1， |z|>a， 求其逆Z变换x(n)。

例 2.5.7已知 ， 求其逆变换x(n)。 解： 该例题没有给定收敛域， 为求出可能的原序列x(n)，必须先确定收敛域，分析X(z)， 得到其二个极点z=a和z=a-1， 于是收敛域有三种选法， 它们是 (1) |z|>|a-1|， 对应的x(n)是右序列； (2) |a|<|z|<|z-1|， 对应的x(n)是双边序列； (3) |z|<|a|， 对应的x(n)是左序列。

下面按照收敛域的不同求其x(n)。 (1) 收敛域|z|>|a-1| 此收敛域对应因果的右序列， 无须求n<0时的x(n)。 当n≥0时， 围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1， 因此

(2) 收敛域|z|<|a| 这种情况原序列是左序列， 无须计算n≥0情况， 当n≥0时， 围线积分c内没有极点， 因此x(n)=0。 n<0时， c内只有一个极点z=0， 且是n阶极点， 改求c外极点留数之和

n<0时， c内极点有二个， 其中z=0是n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有z=a-1， 因此 x(n)=-Res［F(z), a-1］=a-n 最后将x(n)表示为 an n≥0 x(n)= a-n n<0 即: x(n)=a|n|

2、幂级数展开法（长除法） 把X(z)展开成幂级数 级数的系数就是序列x(n)

根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数 将X(z) X(z)的 x(n) 展成z的 分子分母 按z的 因果序列 负幂级数 降幂排列 左边序列 正幂级数 升幂排列

解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数

解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数

3、部分分式展开法 X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式： 对各部分分式求z反变换：

§2-5.4 Z变换的基本性质和定理 如果 则有： 1.线性 *即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。

[例2-7]已知 ,求其z变换。 解：

2. 序列的移位 如果 则有： [例2-8] 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。

3. Z域尺度变换(乘以指数序列) 如果 ，则 证明：

4. 序列的线性加权(Z域求导数) 如果 ，则 证明：

5. 共轭序列 如果 ，则 证明：

6. 翻褶序列 如果 ，则 证明：

7. 初值定理 证明：

8. 终值定理 证明：

又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故 因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在 上收敛。所以可取z 1的极限。

9.序列的卷积和(时域卷积定理)

证明：

[例2-9] 解：

10.序列相乘(Z域复卷积定理) 其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针闭合围线。 （证明从略）

[例2-10] 解：

11.帕塞瓦定理(parseval) 如果 则有: 其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 （证明从略）

*几点说明：

在第一章中介绍了差分方程的递推解法，本节介绍用Z变换求解差分方程。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。 设N阶线性常系数差方程为 1.求稳态解 如果输入序列x(n)是在n=0以前∞时加上的，n时 刻的y(n)是稳态解，对差分方程求Z变换，得到

式中

2. 求暂态解 对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。设x(n)是因果序列，即x(n)=0,n<0，已知初始条件y(-1),y(-2)…y(-N)。对差分方程进行Z变换时，注意这里要用单边Z变换。方程式的右边由于x(n)是因果序列，单边Z变换与双边Z变换是相同的。但y(n)的单边Z变换与双边Z变换是不同的。所以必须先求y(n)移位序列的单边Z变换。

对差分方程进行单边Z变换 (2.5.34)

例2.5.13已知差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，式中x(n)=anu(n),y(-1)=2，求y(n)。 解：将已知差分方程进行Z变换 式中， 于是

收敛域为|z|>max(|a|,|b|)， 式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。

2.5.6 Z变换与拉氏变换、 傅氏变换的关系 （补充） 1.理想抽样信号的拉氏变换 设 为连续信号， 为其理想抽样信号， 则

序列x(n)的z变换为 ，考虑到 ,显然，当 时，序列x(n) 的 z 变 换就等于理想抽样信号的拉氏变换。 两个域的映射关系?

2.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系） 又由于 所以有： 因此， ;这就是说， Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部Ω相对应。

σ σ (1).r与σ的关系 =0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆； <0,即S的左半平面 r<1,即Z的单位圆内； → σ <0,即S的左半平面 r<1,即Z的单位圆内； → σ >0, 即S的右半平面 r>1,即Z的单位圆外 。 → j →

(2).ω与Ω的关系（ω=ΩT） Ω= 0，S平面的实轴， ω= 0，Z平面正实轴； Ω=Ω0(常数)，S:平行实轴的直线， ω= Ω0T,Z:始于 原点的射线； Ω S:宽 的水平条带， ω 整个z平面. jIm[Z] ω Re[Z]

二.Z变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=jΩ 于理想抽样信号傅氏变换。 用数字频率ω作为Z平面的单位圆的参数， ω表示Z平面的辐角，且 。

所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。