2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换 2.4 离散时间信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系 第六讲 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换 2.4 离散时间信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系

学习目标 了解傅里叶变换的几种形式 了解时域与频域信号特性的对偶关系 了解周期序列的傅里叶级数及傅里叶变换之间的关系 了解离散时间信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系

补充内容:Fourier变换的几种可能形式 时间函数 频率函数 连续非周期 非周期连续—傅里叶变换（FT） 周期连续 离散非周期—傅里叶级数（FS） 离散非周期 周期连续—序列的傅里叶变换 周期离散 离散周期—离散傅里叶变换

连续时间、连续频率—傅里叶变换(FT) 时域连续函数造成频域是非周期的谱， 而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。

连续时间、离散频率—傅里叶级数(FS) 时域连续函数造成频域是非周期的谱，时域周期函数造成频域的离散。

离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续

离散时间、离散频率—离散傅里叶变换 一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散周期序列的傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的

四种傅里叶变换形式的归纳 时间函数 频率函数 连续和非周期 非周期和连续(FT) 连续和周期(T0) 非周期和离散(Ω0=2π/T0) (FS) 离散(T)和非周期 周期(Ωs=2π/T)和连续 (DFS) 离散(T)和周期(T0) 周期(Ωs=2π/T)和离散 (Ω0=2π/T0) (DFT)

导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期信号的傅氏级数开始的： 对上式进行抽样，得：

，代入 因 是离散的，所以 应是周期的。 而且，其周期为 ，因此 应是N点的周期序列。

又由于 所以求和可以在一个周期内进行，即 即，当在k=0,1,..., N-1求和与在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。

二 、周期序列的DFS及其性质 常系数线性差分方程

注意与连续周期序列傅氏级数的区别 周期为N的正弦序列其基频成分为： K次谐波序列为： 即 因此

周期序列的特点 周期序列不能进行傅里叶变换，因为其在 n=-到+ 都周而复始永不衰减，不满足绝对可和条件。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。

将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到(N-1) 这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数J加权的复指序列的线性组合。

二. 的k次谐波系数 的求法 1.预备知识 注意：其他r时分子总是为零

的表达式 将式 的两端乘 ，然后从 n=0到N-1求和， 则：

3.离散傅氏级数的习惯表示法 通常用符号 代入，则： 正变换： 反变换：

周期序列的DFS正变换和反变换： 其中：

周期序列的DFS小结 2）谐波系数 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数 3） 为周期序列，周期为N。

周期序列的DFS小结 DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。

在模拟系统中， 的傅里叶变换是在Ω=Ωo处的单位冲激函数，强度是2π，即 2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式 在模拟系统中， 的傅里叶变换是在Ω=Ωo处的单位冲激函数，强度是2π，即 对于时域离散系统中 ，暂时假定其FT的形式与上式一样，也是在ω=ω0处的单位冲激函数，强度为2π，即

X(ejω)是在ω=ω0+2πr(r取整数)处强度为2π的单位冲激函数，这是因为 的周期性引起的。 的频谱如图2-3所示。 图2-3 的傅里叶变换

式中k =0，1，2，…，N-1，若让k 在±∞之间变化，上式可简化为 逆变换计算如下 这是因为积分区间(-π，π)只包括一个单位冲激函数。以上利用冲激函数表示序列 的傅里叶变换，对于一般的周期序列 ，可以用DFS表示为N次谐波叠加的形式，那么利用傅里叶变换可以将按各次谐波表示如下 式中k =0，1，2，…，N-1，若让k 在±∞之间变化，上式可简化为

其中 上式就是利用冲激函数，以及周期序列的离散傅里叶级数表示周期序列的傅里叶变换的表达式。

例 2.3.1 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓得到的序列(如图2-4(a)所示)，求序列的DFS与FT。

其幅度特性 如图2-4(b)所示。 (2)求FT

图 2-4 序列 x(n)的幅频特性

序列x(n)的幅频特性 如图2-4(c)所示。 | |的相似性，它们都可以表示周期序列的频谱分布，但周期序列的| |使用冲激函数表示的。

2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 我们知道模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述

这里t与Ω的域均在±∞之间。 从模拟信号幅度取值考虑， 在第一章中遇到两种信号， 即连续信号和采样信号， 它们之间的关系如下：

X(e jω)与Xa(jΩ)之间有什么关系， 数字频率ω与模拟频率Ω(f)之间有什么关系， 这在模拟信号数字处理中， 是很重要的问题。 为分析上面提出的问题， 观察

令 ， 代入上式后， 再将Ω′用Ω代替

图 模拟频率与数字频率之间的定标关系

和时域离散信号x(n)，求xa(t)和 的傅里叶变换以及x(n)的FT。 例 2.4.1设xa(t)=cos(2πf0t)， f0=50 Hz以采样频率fs=200 Hz对xa(t)进行采样得到采样信号 和时域离散信号x(n)，求xa(t)和 的傅里叶变换以及x(n)的FT。 解：

Xa(jΩ)是Ω=±2πf0处的单位冲激函数， 强度为π， 如图2. 4 Xa(jΩ)是Ω=±2πf0处的单位冲激函数， 强度为π， 如图2.4.2(a)所示。 以fs=200 Hz对xa(t)进行采样得到采样信号 ， 其 与xa(t)的关系式为

将fs=200 Hz， f0=50 Hz， 代入上式， 求括弧中公式为零时的ω值， ω=2πk±π/2， 因此X(ejω)用下式表示： 将采样信号转换成序列x(n)， 用下式表示： x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT) 将fs=200 Hz， f0=50 Hz， 代入上式， 求括弧中公式为零时的ω值， ω=2πk±π/2， 因此X(ejω)用下式表示：

图 2.4.2 例2.4.1图

作业 2.10 2.12 2.13