§ 1-5 直线与平面的相对位置 两平面的相对位置 §1-5-1 直线与平面平行 两平面平行 §1-5-1 直线与平面平行 两平面平行 §1-5-2 直线与平面的交点 两平面的交线 §1-5-2 直线与平面的交点 两平面的交线 §1-5-3 直线与平面垂直 两平面垂直 §1-5-3 直线与平面垂直 两平面垂直

§1-5-1 直线与平面平行 两平 面平行 一、直线与平面平行直线与平面平行 几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直 线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。 有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线 与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。 例题 1 例题 2 例题 1 例题 2 二、平面与平面平行平面与平面平行 几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直 线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。 两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点 作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所 缺投影。 例题 3 例题 4 例题 3 例题 4

一、 直线与平面平行 若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行

[ 例题 1] 试判断直线 AB 是否平行于定平面 f g f g 结论：直线 AB 不平行于定平面

[ 例题 2] 试过点 K 作水平线 AB 平行于 ΔCDE 平面 b a a f f b

二、两平面平行 若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直 线，则此两平面平行 E F D A C B

[ 例题 3 ] 试判断两平面是否平行 m n m n r r s s 结论：两平面平行

[ 例题 4] 已知定平面由平行两直线 AB 和 CD 给定。试过 点 K 作一平面平行于已知平面 。 e m n m n f e f s r s r k k

§1-5-2 直线与平面的交点、两平 面的交线 一、直线与平面相交只有一个交点直线与平面相交只有一个交点 二、两平面的交线是直线两平面的交线是直线 三、特殊位置线面相交特殊位置线面相交 四、一般位置平面与特殊位置平面相交一般位置平面与特殊位置平面相交

一、 直线与平面相交 直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。 B K A

M 二、平面与平面相交 两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有 F K N L

三、特殊位置线面相交 1. 直线与特殊位置平面相交 直线与特殊位置平面相交 2. 判断直线的可见性 判断直线的可见性 3. 特殊位置直线与一般位置平面相交 特殊位置直线与一般位置平面相交

b b a a c c m m n n 1. 直线与特殊位置平面相交 由于特殊位置平面的某个投影有积聚性 ， 交点可直接求出。 k k

2. 判断直线的可见性 b b a a c c m m n k k n 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。

( ) 例 5 求铅垂线 EF 与一般位置平面△ ABC 的交点并判别其可见性。 k 2 1 k'k' 2' 1'1' 分析： 直线 MN 为铅垂线， 其水平投影积聚 成一个点，交点 K 的水平投影也积 聚在该点上。用 平面内取点的方 法求交点，并判 别可见性。 3. 特殊位置直线与一般位置平面相交

四、一般位置平面与特殊位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的 问题, 由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交 线可直接求出。 1. 两个特殊位置平面相交 两个特殊位置平面相交 2. 一般位置平面与特殊位置平面相交 一般位置平面与特殊位置平面相交 3. 判断平面的可见性 判断平面的可见性

可通过正面投影直 观地进行判别。 a b c d e f c f dd be a m(n)m(n) 空间及投影分析 平面 ABC 与 DEF 都为正 垂面，它们的正面投影都积 聚成直线。交线必为一条正 垂线，交线的正面投影可直 接求出。 ① 求交线 ② 判别可见性 作 图 从正面投影上可看出， 在交线左侧，平面 ABC 在上， 其水平投影可见。 n ● m ● ● 能否不用重 影点判别？ 能!能! 如何判别？ 1. 求两特殊位置平面的交线 MN 并判别可见性。 ⑴

2. 一般位置平面与特殊位置平面相交 n l m m l n b a c c a b f k f k M m n l P B C a c b PHPH A F K N L k f

判断平面的可见性 结 果结 果

§1-5-3 直线与平面垂直、两平面垂直 一、直线与平面垂直 几何条件 定理 1 定理 2 例题 6 例题 7 二、两平面垂直 几何条件

直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该 平面的一切直线。

定理 1 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属 于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于 该平面的正平线的正面投影。 k n k n

定理 2 （逆） 若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的 水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投 影，则直线必垂直于该平面。

[ 例题 6] 平面由  BDF 给定，试过定点 K 作平面的法线。 a c a c n n k k

h [ 例题 7] 试过定点 K 作特殊位置平面的法线。 h h h h h （a）（a）（c）（c） （b）（b）