第六章 无限长脉冲响应数字滤波器的设计

第六章学习目标  理解数字滤波器的基本概念  了解模拟滤波器的设计方法  掌握 Butterworth 、 Chebyshev 低通滤波器的特点  了解利用模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器的设计 过程  掌握由模拟滤波器设计数字滤波器的冲激响应不 变法  掌握由模拟滤波器设计数字滤波器的双线性变换 法  了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的 方法

本章作业练习 P193:  1  2  4  5  6  7  9

6.1 数字滤波器的基本概念 数字滤波器： 是指输入输出均为数字信号，通过一定运算 关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者 滤除某些频率成分的器件。 数字滤波器具有比模拟滤波精度高、稳定、体 积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配等优点， 可实现特殊滤波功能。如果要处理的是模拟信号， 可通过 A/DC 和 D/AC ，在信号形式上进行匹配转 换，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤 波。 优点：

6.1 数字滤波器的基本概念（续） 1 、数字滤波器的分类 2 、数字滤波器的技术指标 3 、数字滤波器的设计过程 4 、 IIR 数字滤波器的设计方法

1 、数字滤波器的分类 经典滤波器 现代滤波器 按功能分： 低通、高通、带通、带阻、全通滤波器 按实现的网络结构或单位抽样响应分： IIR 滤波器 FIR 滤波器

经典滤波器：  特点是输入信号中有用的频率成分和希望滤 除的频率成分各占有不同的频带，通过一个 合适的选频滤波器达到滤波的目的。例如， 输入信号中含有干扰，如果信号和干扰的频 带互不重叠，可滤除干扰得到纯信号。 又称选频滤波器

 如果信号和干扰的频带互相重叠，这时需要采 用另一类所谓的现代滤波器，例如维纳滤波器、 卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。 这些滤波器可按照随机信号内部的一些统计分 布规律，从干扰中最佳地提取信号。本课程仅 介绍经典滤波器。  维纳滤波器  卡尔曼滤波器  自适应滤波器等 现代滤波器 现代数字信号处理 的内容

按功能分：低通、高通、带通、带阻、 全通滤波器 各种理想数字滤 波器幅度待性 理想滤波器是物 理不可实现的 要点：  滤波器的传输函数 都是以 2π 为周期的  低通频带处于 0 与 2 π 的整数倍附近  而高频频带处于 2 π 的奇数倍附近  考察频率的范围为 -π~ π

按实现的网络结构或单位抽样响应分： FIR 滤波器（ N-1 阶） IIR 滤波器（ N 阶）

2 、数字滤波器的技术指标  选频滤波器的频率响应： 为幅频特性：表示信号通过该滤波器后 各频率成分的衰减情况 为相频特性：反映各频率成分通过滤波器 后在时间上的延时情况  两个滤波器幅频特性相同，相频特性可能不一样，对 相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。  选频滤波器的技术指标由幅频特性给出，对相频特性 一般不作要求，但如果对输出波形有要求，则需要考虑 相频特性的技术指标，例如，语音合成、波形传输、图 像信号处理等。本章主要研究由幅频特性提出指标的选 频滤波器的设计。 ? 思考

理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近 0 通带截止频率 阻带截止频率 过渡带 通带 阻带

：通带截止频率 ：阻带截止频率 ：通带容限 ：阻带容限  阻带：  过渡带：  通带：

通带最大衰减： 阻带最小衰减： 其中： 当 时， 称 为 3dB 通带截止频率

3 、数字滤波器的设计过程  用一个因果稳定的离散 LSI 系统的系统函数 H(z) 逼近此性能指标  按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术 指标  利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结 构、字长的选择等  实际技术实现：软件法、硬件法或 DSP 芯片法

4 、 IIR 数字滤波器的设计方法  先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器 用一因果稳定的离散 LSI 系统逼近给定的性能要求： 即求滤波器的各系数：  计算机辅助设计法 s 平面逼近：模拟滤波器 z 平面逼近：数字滤波器

IIR 滤波器设计方法有两类 1 、借助模拟 filter 的设计方法 （ 1 ）将 DF 的技术指标转换成 AF 的技术指标； （ 2 ）按转换后技术指标设计模拟低通 filter 的 ； （ 3 ）将 （ 4 ）如果不是低通，则必须先将其转换成低通 AF 的 技术指标。 2 、计算机辅助设计法（最优化设计法） 先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，最大误差 最小准则等，然后在此准则下 ， 确定系统函数的系数。 IIR 滤波器和 FIR 滤波器的设计方法是很不相同的。

 对于线性相位滤波器，通常采用 FIR 滤波器，其单位 脉冲响应满足一定条件可以证明其相位特性在整个频 带中是严格线性的，这是模拟滤波器无法达到的。当 然．也可以采用 IIR 滤波器，但必须使用全通网络对其 非线性相位特性进行相位校正，这样增加了设计与实 现的复杂性。  本章只介绍无限脉冲响应数字滤波器 ( 简称 IIR 滤波器 ) 的设计方法。为此，先介绍模拟低通滤波器的设计， 因为模拟高通、带通和带阻滤波器的设计是采用频率 转换法将低通转换成所希望的滤波器的。

6.2 模拟滤波器的设计  模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且 有若干典型的模拟滤波器供我们选择，这些滤波器都 有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使 用。  典型的模拟滤波器 – 巴特沃斯 Butterworth 滤波器 幅频特性单调下降 – 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 幅频特性在通带或者在阻带有波动 – 椭圆 Ellipse 滤波器 – 贝塞尔 Bessel 滤波器 通带内有较好的线性相位持性 为什么要借 助于模拟滤 波器设计数 字滤波器 以这些数学函 数命名的滤波 器是低通滤波 器的原型

 模拟滤波器按幅度特性可分成低通、高通、带 通和带阻滤波器，它们的理想幅度特性如图所 示。 通常只观察正 频部分

 设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通 过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤 波器。  下面我们先介绍低通滤波器的技术指标和逼近 方法，然后分别介绍巴特沃斯滤波器和切比雪 夫滤波器的设计方法。

1. 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法  模拟低通滤波器的设计指标  构造一个逼近设计指标的传输函数 H a (s) Butterworth （巴特沃斯）低通逼近 Chebyshev （切比雪夫）低通逼近

 模拟低通滤波器的设计指标有 α p, Ω p,α s 和 Ω s 。 Ω p ； 通带截止频率 Ω s ： 阻带截止频率 α p ： 通带中最大衰减系数 α s ； 阻带最小衰减系数 α p 和 α s 一般用 dB 数表示。对于单调下降的幅 度特性，可表示成： 1. 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 ( 续 )

如果 Ω=0 处幅度已归一化到 1 ，即 |H a (j0)|=1,α p 和 α s 表示为 以上技术指标用图所示。图中 Ω c 称为 3dB 截止频 率，因

 滤波器的技术指标给定后，需要构造一个传 输函数 H a (s) ，希望其幅度平方函数满足给定 的指标 α p 和 α s ，一般滤波器的单位冲激响应为 实数，因此 逼近方法 — 用频率响应的幅度平方函数逼近 幅度平方函数在模拟滤波器的设计 中起很重要的作用，对于上面介绍 的典型滤波器，其幅度平方函数都 有自己的表达式，可以直接引用。

(1) 由幅度平方函数 确定模拟滤波 器的系统函数 h(t) 是实函数 将左半平面的的极点归 将以虚轴为对称轴的对称 零点的任一半作为 的零点，虚轴上的零点一 半归

 由幅度平方函数得象限对称的 s 平面函数  将 因式分解，得到各零极点  对比 和 ，确定增益常数  由零极点及增益常数，得

2 、 Butterworth 低通的设计方法  幅度平方函数 1 ）幅度函数特点 2 ）幅度平方函数的极点分布 3 ）滤波器的系统函数 4 ）滤波器的设计步骤

1 ）幅度平方函数 当 称 为 Butterworth 低通滤波器的 3 分贝带宽 N 为滤波器的阶数 为通带截止频率

2 ）幅度函数特点：   3dB 不变性  通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小  过渡带及阻带内快速单调减小 Butterworth 低通滤波器的幅度函数只由阶数 N 控制

Butterworth 滤波器是一个全极点滤波器，其极点： 2 ）幅度平方函数的极点分布： 2N 个极点等间隔分布在半径为 的圆上 ( 该 圆称为巴特沃斯圆 ) ，间隔是 π ／ N rad 。

极点在 s 平面呈象限对称，分布在 Buttterworth 圆上，共 2N 点 极点间的角度间隔为 极点不落在虚轴上 N 为奇数，实轴上有极点， N 为偶数，实轴上无极点 一半极点在 左半平面 一半极点在 右半平面 ？

 为形成稳定的滤波器， 2N 个极点中只取 s 平面左半平 面的 N 个极点构成 H a (s) ，而右半平面的 N 个极点构成 H a (-s) 。 H a (s) 的表示式为 设 N=3 ，极点有 6 个，它们分别为

 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计 统一，将所有的频率归一化。这里采用对 3dB 截止频率 Ω c 归一化，归一化后的 H a (s) 表示为 式中， s/Ω c =jΩ/Ω c 。 令 λ=Ω/Ω c ， λ 称为归一化频率；令 p=jλ ， p 称 为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输 函数为 3 ）归一化系统函数

 p k 为归一化极点，用下式表示： 将极点展开可得到的 Ha(p) 的分母 p 的 N 阶 多项式，用下式表示： 上式为 Buttterworth 低通滤波器的归一化系统 函数，分母多项式的系数有表可查。

4 ）阶数 N 与技术指标的关系  根据技术指标求出滤波器阶数 N ：  确定技术指标： 由 得： 同理： 令 则： 技术指标转 化为阶数 取大于等于 N 的最小整数

 关于 3dB 截止频率 Ω c ，如果技术指标中没 有给出，可由下式求出 因为反归一时要用此参数

5 ）低通巴特沃斯滤波器的设计步骤 (1) 根据技术指标 Ω p,α p,Ωs 和 α s ，求出滤 波器的阶数 N 。 (2) 求出归一化极点 p k ，由 p k 构造归一 化传输函数 H a (p) 。 (3) 将 H a (p) 反归一化， 阻带指标有富裕 通带指标有富裕 此环节可由 查表得到

巴特沃斯归一化低通滤波器的极点

巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式系数 注意：

巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式的因式分解

例 已知通带截止频率 f p =5kHz ，通带最大 衰减 α p =2dB ，阻带截止频率 f s =12kHz ，阻带 最小衰减 α s =30dB ，按照以上技术指标设计 巴特沃斯低通滤波器。 解 (1) 确定阶数 N 。

(2) 由 其极点为 传输函数 或由 N=5 ，直接查表得到： 极点： ±j0.9511,- 8090±j0.5878; 系数： b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361

先求 3dB 截止频率 Ω c 将 Ω c 代入 (6.2.18) 式，得到： 将 p=s/Ω c 代入 H a (p) 中得到： （ 3 ）为将 Ha(p) 去归一化 此时算出的截至频率比题目中给出的小，或者说在 截至频率处的衰减大于 30dB ，所以说阻带指标有富裕 量。