Μαρία Λιάζη Βασίλης Ζησιμόπουλος Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστημίου Αθηνών Μαρία Λιάζη Βασίλης Ζησιμόπουλος Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστημίου Αθηνών Με την υποστήριξη του Προγράμματος ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ του Υπουργείου Παιδείας. Περισσότερες Περισσότερες πληροφορίες: {mliazi, Ανοιχτά ερωτήματα: Εφαρμογές:Εφαρμογές: Τι γνωρίζουμε: DkS Τα προβλήματα του k-πυκνότερου υπογράφου DkS (k-densest subgraph problems) έχουν σαν είσοδο ένα γράφο G=G(V,E) και μια παράμετρο k, 1≤k≤n. Η έξοδος είναι ένας υπογράφος του G επαγόμενος από k κορυφές, ο οποίος έχει μέγιστη πυκνότητα. πυκνότητα Η πυκνότητα dg ενός γράφου G=G(V,E) είναι ο μέσος βαθμός του, δηλαδή d G =2|E|/|S|. HkS Τα προβλήματα παρουσιάζουν ενδιαφέρον και όταν ο γράφος έχει βάρη. Στην περίπτωση αυτή τα προβλήματα ονομάζονται HkS (k- heaviest subgraph problems). Np-hard Τα προβλήματα είναι Np-hard ακόμα και για διμερείς γράφου με μέγιστο βαθμό τρία.  Πολυωνυμικός αλγόριθμος για το DkS σε γράφους μέγιστου βαθμού δύο.  Πολυωνυμικός αλγόριθμος για το HkS σε δέντρα.  Πολυωνυμικός αλγόριθμος για το HkS σε γράφους μέγιστου βαθμού δύο, όπου η βέλτιστη λύση μπορεί να αποτελείται από διαφορετικές συνιστώσες του αρχικού γράφου.  Πολυωνυμικός αλγόριθμος για το DkS σε μια υποκατηγορία των proper interval γράφων.  Ο(n 1/3 )-προσεγγιστικός αλγόριθμος για το DkS.  Ο(n 1/3 logn )-προσεγγιστικός αλγόριθμος για το HkS.  n/k-προσεγγιστικός αλγόριθμος για το DkS και το HkS με περιορισμό στις τιμές του k.  Εάν k=Ω(n) και ο αριθμός των ακμών στο γράφο είναι Ω(n 2 ), τότε το DkS έχει ένα πολυωνυμικού χρόνου προσεγγιστικό σχήμα (PTAS).  Προσέγγιση δυο για το HkS σε πλήρης γράφους για τους οποίους ισχύει η τριγωνική ιδιότητα.  ‘Ένας γράφος συχνά συσχετίζεται με μια σχέση ανάμεσα σε ένα σύνολο ατόμων δηλαδή ένα άτομο αντιστοιχεί σε μια κορυφή και μια ακμή μεταξύ δυο κορυφών υποδεικνύει κάποια ‘καλή’ σχέση μεταξύ αυτών των δύο ατόμων. Έτσι μια κλίκα είναι ένα υποσύνολο ατόμων, τέτοιο που κάθε άτομο σε αυτό το σύνολο έχει μια ‘καλή’ σχέση με κάθε άλλο άτομο σε αυτό το σύνολο. Ωστόσο λαμβάνοντας μια κλίκα στον πραγματικό κόσμο, αυτή η συνθήκη μοιάζει να είναι αρκετά ισχυρή, έτσι είναι περισσότερο σαν ένα υποσύνολο ατόμων στο οποίο υπάρχουν σχετικά πολλά ζεύγη ‘καλά’ συσχετισμένων ατόμων. Με τους όρους ενός γράφου το σύνολο αυτό είναι ένας υπογράφος που περιλαμβάνει σχετικά πολλές ακμές και έναν τέτοιο γράφο ενδιαφερόμαστε να βρούμε.  Η εύρεση υψηλά συνεκτικών υποδομών στο Web: Τέτοιες υποδομές αντιστοιχούν σε κοινότητες (communities) στο Web, δηλαδή συλλογές από σελίδες (pages) σχετικές με το ίδιο θέμα. Περαιτέρω η παρουσία μεγάλης πυκνότητας συνδέσμων συνδέσμων (links) μέσα σε ένα συγκεκριμένο σύνολο σελίδων λαμβάνεται ως ένδειξη της σπουδαιότητας των σελίδων.  Ασφάλεια παραγωγής στιγμιότυπων τυχαίων δοκιμών: Όταν παράγονται τυχαία στιγμιότυπα για να εκτιμηθεί εμπειρικά η απόδοση αλγορίθμων βελτιστοποίησης, ο αλγόριθμος θα μπορούσε να συντονιστεί έτσι ώστε να τρέχει γρήγορα, ειδικά για τη δοκιμασία των επιδόσεων του, αν εκμεταλλευτούμε τη μέθοδο παραγωγής των δοκιμασιών.  Φυσική απεικόνιση του DNΑ: Τα προβλήματα παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στους proper interval γράφους. Οι proper interval γράφοι έχουν πολλές σπουδαίες εφαρμογές στη βιολογία λόγω του ότι δίνουν μια φυσική μοντελοποίηση του DNA, (ένας proper interval γράφος είναι ένας interval γράφος ο οποίος δεν περιέχει εγκλεισμούς).  Πολυωνυμικοί αλγόριθμοι για άλλες κατηγορίες γράφων όπως interval, chordal,…  Μπορεί να βελτιωθεί ο προσεγγιστικός λόγος O(n 1/3 ) για το DkS;  Υπάρχει κάποιο ε>0 τέτοιο που το να επιτύχουμε έναν προσεγγιστικό λόγο Ο(n ε ) για το DkS, να είναι NP-hard;  Είναι NP-hard το να επιτύχουμε προσεγγιστικό λόγο 1+ε, για κάποιο ε>0 για το DkS;  Μπορεί να χρησιμοποιηθεί η τεχνική για την εύρεση ενός PTAS σε μη πυκνά στιγμιότυπα του DkS; Σχετικές αναφορές:  U. Feige-G. Kortsarz-D. Peleg The Dense k-subgraph problem, Algorithmica  D. Gibson-J. Kleinberg-P. Raghavan Inferring Web communities from link topology, Hypertext  Y. Asahiro- K. Iwama-E. Miyano Random generation of test instances with controlled attributes, Dimacs  J. Kleinberg-R. Kumar- P. Raghavan- S. Rajagopalan- A. Tomkins The Web as a graph: measurements, models and methods, Cocoon  A. Carrano Establishing the order of human chromosome-specific DNA fragments, Biotechnology and the human genome, 1988.