Olympia Nikou1 Τίτλος Παρουσίασης: Προσεγγιστικός Υπολογισμός των λύσεων ενός προβλήματος με: Δειγματοληψία στον χώρο αναζήτησης των λύσεων.

Olympia Nikou2 Εισαγωγή: Ο υπολογισμός των λύσεων ενός προβλήματος είναι ένα γνωστό #P-complete πρόβλημα. Υπάρχουν προηγούμενες προσεγγίσεις υπολογισμού των λύσεων ενός προβλήματος βασίζονται: α) Στην επέκταση της συστηματικής αναζήτησης (systematic search-based) λυτών CSP προβλημάτων, όπως DPLL. β) Στον περιορισμό των μεταβλητών, που είναι χωρικά και χρονικά εκθετικοί αλγόριθμοι. γ) Η μέθοδος «ApproxCount» που βασίζεται στην τυχαία διαδρομή και στη δειγματοληψία Markov Chain Monte Carlo (MCMC).H μέθοδος αυτή δίνει μια καλύτερη προσέγγιση στο ακριβές πλήθος των λύσεων του προβλήματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση αντικαθιστούμε την MCMC δειγματολειψία με την «Importance Sampling».ΠΡΟΒΛΗΜΑ:Απευθείας εφαρμογή της Importance Sampling δεν μας δίνει καλή απόδοση.

Olympia Nikou3 Background: Για |X| = n, η ανάθεση μεταβλητής X=x, x=(x1,…,xn) δίνει μια τιμή απο το {0,1} σε κάθε μία μεταβλητή του Χ. Έστω μια φόρμουλα F = F1^...^Fm ορισμένη στο σύνολο Χ. Αν το X=x ικανοποιεί όλες τις προτάσεις της F, τότε X=x είναι λύση της F, όποτε F(x)=1, αλλιώς F(x)=0. S = {X = x|F(x) = 1}, αποτελεί το σύνολο των λύσεων της F.

Olympia Nikou4 Importance Sampling: Έστω η συνάρτηση g(x) ορισμένη στο Ω. Η importance sampling είναι η διαδικασία για τον υπολογισμό του: Έστω μια συνάρτηση επιλογής Q(x) στο Ω, τότε: που αποτελεί την αναμενόμενη τιμή της Τ.Μ. Η ιδέα της Importance Sampling είναι η δημιουργία δειγμάτων ανεξάρτητα και ίδια κατανεμημένα (x1,x2,…xN), τ.ω. g(x)>0 Q(x)>0. Μια εκτίμηση του M απο τα δείγματα είναι Τότε η αναμενόμενη τιμή θα είναι Απαραίτητη προϋπόθεση: Η Q(x) πρέπει να δειγματοληπτείται εύκολα, οπότε ορίζουμε την,οπότε μπορούμε να δημιουργήσουμε i.i.d δείγμα ανάλογα με την διάταξη O=

Olympia Nikou5 Προσεγγιστικός Υπολογισμός του πλήθους των λύσεων με χρήση της Importance Sampling: Το πλήθος των λύσεων μπορεί να γραφτεί ως: Η συνάρτηση επιλογής Q(x), που είναι ορισμένη στο Ω, πρέπει να είναι τέτοια τ.ω. F(x)>0 Q(x)>0. Απο τα δείγματα που προκύπτουν απο την Q(x), υπολογίζουμε το πλήθος των λύσεων ως εξής: οπότε το πλήθος των λύσεων προκύπτει ως εξής:

Olympia Nikou6 The Rejection Problem Η απευθείας εφαρμογή της Importance Sampling δεν μας δείνει καλές προσεγγίσεις του πλήθους των λύσεων. Στην Importance Sampling έχουμε υποθέσει οτι η Q(x) πρέπει να ικανοποιεί τη συνθήκη: F(x) > 0 Q(x) > 0. Q(x)>0 μπορεί να είναι και αν F(x)=0, τότε αν η πιθανότητα δημιουργίας ενός δείγματος, που δεν είναι λύση, είναι μεγαλύτερη απο την πιθανότητα δημιουργίας ενός δείγματος – λύση, τότε ένας μεγάλος αριθμός των δειγμάτων που θα δημιουργηθούν, θα έχουν μηδενικό βάρος (w), οπότε δεν θα συνεισφέρουν στο άθροισμα, οπότε λάθος εκτίμηση του πλήθους των λύσεων του προβλήματος (Rejection Problem). Για να ξεπεράσουμε το Rejection Problem, επαυξάνουμε την δειγματοληψία με Αναζήτηση, χρήση του Sample-Search scheme. Αντί να επιστραφεί ένα δείγμα, που θα είναι ασυνεπές, οπισθοδρομεί μέχρι να βρεί λύση.

Olympia Nikou7 Υποθέτουμε, ότι η F έχει μια λύση!

Olympia Nikou8 Η SampleSearch χρησιμοποιεί τα δείγματα, που επιστρέφει μια συνάρτηση επιλογής Q και έχει σαν αποτέλεσμα δείγματα, που είναι λύσεις της F, οπότε έχουμε: και

Olympia Nikou9 Θεώρημα 1: Δωσμένης μιας συνάρτησης επιλογής Q, οι δειγματοληπτημένες επιλογές της SampleSearch είναι μια backtrack-free επιλογή Τότε το εκτιμώμενο πλήθος των λύσεων του προβλήματος θα είναι: Επειδή όλα τα δείγματα, που δημιουργούνται απο την Sample-Search είναι λύσεις, θα ισχύει: Οπότε, το εκτιμώμενο πλήθος των λύσεων του προβλήματος θα γίνει: Οπότε, η αναμενόμενη τιμή θα ισούται με το πληθός των λύσεων:

Olympia Nikou10 Ο υπολογισμός του έχει πολυπλοκότητα Ο(n), σε περίπτωση, που το n είναι πολύ μεγάλο, ο υπολογισμός του είναι πολύ αργός. Θα υπολογίσουμε μια προσέγγιση του το, που βασίζεται στην ασυμπτωτική αμεροληψία. Μικρότερη Απόκλιση στο πλήθος των λύσεων Βασίζεται στην Markov Ανισότητα: Για κάθε Τ.Μ Χ και p>1, Χρησιμοποιούμε την ίδια λογική με μια τροποποίηση στο SampleSearch.

Olympia Nikou11 Θεώρημα (Lower Bound): Η πιθανότητα, να επιστρέψει ο SampleSearch – LB καλύτερη προσέγγιση του πλήθους των λύσεων, είναι Πειραματικά Αποτέλεσματα: Ο αλγόριθμος SampleMinisat – LB συμπεριφέρεται καλύτερα στο μέγεθος του προβλήμτος και δίνει καλύτερες προσεγγίσεις στο πραγματικό πλήθος των λύσεων του προβλήματος. Οι αλγόριθμοι SampleMinisat – exact και SampleMinisat – app είναι παρόμοιοι, αλλά σε χρόνο εκτέλεσης υπερτερεί ο SampleMinisat – app.

Olympia Nikou12