Υπολογιστική Μοντελοποίηση στη Βιοϊατρική Τεχνολογία Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2013

Βασικές Αρχές Μηχανικής Συνεχούς Mέσου

Tάση και τροπή Παραδείγματα

Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Ομογενής Παραμόρφωση Ομογενής Παραμόρφωση είναι η παραμόρφωση του υλικού σημείου στο οποίο το πεδίο μετατοπίσεων ορίζεται ως: (1) όπου : σταθερές : οι αρχικές συντεταγμένες των υλικών σημείων Για το πεδίο μετατοπίσεων της (1) οι μικρές παραμορφώσεις δίνονται είναι ανεξάρτητες από τις υλικές συντεταγμένες:

Παραδείγματα (1) Παραδείγματα ομογενούς παραμόρφωσης (α) Αξονική παραμόρφωση. Εάν ισχύει: και οι υπόλοιπες σταθερές είναι ίσες με μηδέν τότε: Εάν το διάνυσμα μετατοπίσεων u είναι στην κατεύθυνση με μοναδιαίο διάνυσμα : όπου : συντεταγμένες του διανύσματος τότε οι συνιστώσες παραμόρφωσης δίνονται από: (1) Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό στην (1) προκύπτει: ο δείκτης t δηλώνει την παραμορφωμένη ποσότητα

Παραδείγματα (β) Επέκταση στο επίπεδο . Εάν και και οι υπόλοιπες είναι ίσες με μηδέν τότε: (γ) Διατμητική Παραμόρφωση στο επίπεδο . Εάν και οι υπόλοιπες τότε τα πεδία μετατοπίσεων και παραμορφώσεων είναι :

Παραδείγματα (δ) Ένα υλικό επίπεδο παραμένει επίπεδο όταν υφίσταται ομογενή παραμόρφωση. Έστω ένα υλικό επίπεδο στη μη παραμορφωμένη διάταξη: (1) όπου είναι σταθερές. Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό οι συντεταγμένες των υλικών σημείων είναι: (2) όπου Α είναι ο πίνακας συντελεστών και Ι ο μοναδιαίος πίνακας. Επιλύοντας τη (2) ως προς λαμβάνουμε: (3) υπό την προϋπόθεση ότι ο Ι+Α έχει μη μηδενική ορίζουσα Αντικαθιστώντας την (3) στην (1) τότε: (4) όπου είναι σταθερές . Η (4) αναπαριστά ένα επίπεδο.

Παραδείγματα (ε) Μια Ευθεία Γραμμή παραμένει ευθεία όταν υφίσταται ομογενή παραμόρφωση. Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μεταξύ των σημείων Α και Β ορίζεται ως: (1) όπου Εφαρμόζοντας την στην (1) λαμβάνουμε (3) Από την (3) εκφράζεται η με όρους . Αντικαθιστώντας στην (1) προκύπτει: (4) Από την (4) φαίνεται ότι τα σημεία και βρίσκονται επάνω σε ευθεία.

Γραμμικά ελαστικές και ιξωδοελαστικές θεμελιώδεις σχέσεις

Γραμμικά ελαστικές και ιξωδοελαστικές θεμελιώδεις σχέσεις Σε ένα δοσμένο πεδίο τάσεων σε ένα συνεχές μέσο, το μέγεθος της παραμόρφωσης εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του υλικού του μέσου. Αυτά τα χαρακτηριστικά αναπαριστώνται από τις σχέσεις μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης (θεμελιώδεις εξισώσεις). Οι απλούστερες εξισώσεις είναι οι γραμμικά ελαστικές, οι μη γραμμικά ελαστικές και οι βισκοελαστικές. Γραμμικά ελαστικός θεμελιώδης νόμος Οι γραμμική θεμελιώδης σχέση για ένα ισότροπο υλικό δίνεται από: όπου οι ελαστικές σταθερές του ελαστικού θεμελιώδους πίνακα. Οι ελαστικές σταθερές εκφράζονται από το μέτρο ελαστικότητας Young E και την αναλογία Poisson ν. Το μέτρο ελαστικότητας Young αναπαριστά την κλίση της γραμμικής σχέσης τάσης-παραμόρφωσης:

Γραμμικά ελαστικές και ιξωδοελαστικές θεμελιώδεις σχέσεις Διάγραμμα τάσης-τροπής Περιγράφει τη δοκιμασία αξονικής φόρτισης (εφελκυσμού ή θλίψης). Οι διαδοχικές τιμές της ορθής τάσης εκφράζονται συναρτήσει της ορθής τροπής. Γραμμικά ελαστικό μέσο: Το σώμα που όταν υπόκειται παραμόρφωση υπό την επίδραση αυξανόμενου φορτίου, με την άρση του φορτίου κάτω από το σημείο διαρροής του επιστρέφει στο αρχικό του μήκος. Στο σημείο διαρροής αρχίζει και εμφανίζει παραμένουσα παραμόρφωση

Γραμμικά ελαστικές και ιξωδοελαστικές θεμελιώδεις σχέσεις Σε μια δοκιμασία εφελκυσμού που πραγματοποιείται κατά τη διεύθυνση e1, επιπρόσθετα της αξονικής επιμήκυνσης του υλικού και της αντίστοιχης ορθής τροπής , παρατηρείται συστολή του υλικού σε κάθε εγκάρσια διεύθυνση, δηλ. στις e2 και e3, που καλείται πλευρική ή εγκάρσια τροπή (lateral strain). Η απόλυτη τιμή της πλευρικής τροπής προς την αξονική τροπή καλείται λόγος του Poisson. Ο λόγος Poisson είναι ο λόγος της εγκάρσιας και της διαμήκους παραμόρφωσης όταν το υλικό φορτίζεται στη διεύθυνση x:

Γραμμικά ελαστικές και ιξωδοελαστικές θεμελιώδεις σχέσεις Για ορθότροπο υλικό, το μητρώο στιβαρότητας C βάσει των Ε και ν δίνεται από: Ορθότροπο υλικό: Έχει 3 επίπεδα συμμετρίας που είναι μεταξύ τους κάθετα. Τα κάθετα διανύσματα σχηματίζουν 1 σύστημα συντεταγμένων συμμετρίας δηλ. το υλικό έχει διαφορετικές ελαστικές ιδιότητες σε αυτές τις 3 κάθετες διευθύνσεις. Οι συνιστώσες του μητρώου στιβαρότητας μειώνονται σε 9

Γραμμικά ελαστικές και ιξωδοελαστικές θεμελιώδεις σχέσεις Στην περίπτωση αξονοσυμμετρικών προβλημάτων, ο πίνακας C (4x4) γίνεται:

Γραμμικά ελαστικές και ιξωδοελαστικές θεμελιώδεις σχέσεις Σε περίπτωση επίπεδης παραμορφωσιακής κατάστασης όπου ισχύει: Σε περιπτώσεις που λαμβάνονται υπόψη οι εγκάρσιες διατμητικές τάσεις και παραμορφώσεις ο θεμελιώδης πίνακας είναι ο εξής:

Γραμμικά ελαστικές και ιξωδοελαστικές θεμελιώδεις σχέσεις Οι ελαστικές θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ των αποκλινόντων τάσεων και παραμορφώσεων δίνονται ως εξής: όπου το μέτρο διάτμησης. Τέλος, η σχέση μεταξύ των τανυστών τάσης και παραμόρφωσης δίνεται ως εξής: όπου C-1 ο πίνακας ελαστικότητας:

Ιξωδοελαστικότητα Υπάρχουν υλικά των οποίων η κατάσταση δεν εξαρτάται μόνο από την υπάρχουσα παραμόρφωση αλλά και από την πρότερη παραμόρφωσή τους. Τα υλικά αυτά ονομάζονται ιξωδοελαστικά. Ο θεμελιώδης νόμος της γραμμικής ιξωδοελαστικότητας δίνεται από: όπου και είναι οι ισχύουσες τάσεις και παραμορφώσεις, Ε το μέτρο ελαστικότητας Young και η συνάρτηση χαλάρωσης. Η τρισδιάστατη μορφή των ιξωδοελαστικών θεμελιωδών σχέσεων για ένα γραμμικό θεμελιώδη νόμο δίνεται ως εξής: όπου οι ελαστικές και οι ιξώδεις τάσεις, ο ογκομετρικός ρυθμός παραμόρφωσης, λν και μν σταθερές του υλικού για τον θεμελιώδη νόμο.

Μετατροπή των θεμελιωδών σχέσεων Η μετατροπή των θεμελιωδών σχέσεων λόγω της αλλαγής συστήματος συντεταγμένων είναι πολύ σημαντική σε πρακτικές εφαρμογές. Με την αντικατάσταση των και στην λαμβάνουμε τον θεμελιώδη πίνακα στο περιστραμμένο σύστημα συντεταγμένων ως: Σε μια γενική τρισδιάστατη παραμόρφωση, ισχύει ότι εφόσον το υλικό είναι ισότροπο. Η σχέση (3) μπορεί ακόμη να εφαρμοστεί στους θεμελιώδεις πίνακες μη γραμμικών υλικών.

Παράδειγμα Παραγωγή θεμελιώδους πίνακα για επίπεδη εντατική κατάσταση. Στην περίπτωση επίπεδης εντατικής κατάστασης στο επίπεδο x-y ισχύει: Για τις διατμητικές παραμορφώσεις και τάσεις: Χρησιμοποιώντας τη γραμμική θεμελιώδη σχέση για ένα ισότροπο υλικό έχουμε: και χρησιμοποιώντας την κάθετη παραμόρφωση: Έχουμε τον θεμελιώδη πίνακα:

Παράδειγμα Παραγωγή πίνακα μετασχηματισμού των τάσεων και παραμορφώσεων Ο μετασχηματισμός της τάσης δίνεται από: όπου και είναι οι συνιστώσες τάσεις που αντιστοιχούν στα συστήματα συντεταγμένων και . Ο πίνακας δίνεται από: Οι συντελεστές είναι τα συνημίτονα των γωνιών που σχηματίζουν οι άξονες των και . Ο πίνακας μετασχηματισμού ορίζεται:

Παράδειγμα Ο μετασχηματισμός της παραμόρφωσης δίνεται από: , όπου: , ο πίνακας μετασχηματισμού. Επίσης ισχύει: με βάση τις αντίστροφες σχέσεις:

Αρχή των φανταστικών έργων

Αρχή των φανταστικών έργων Η αρχή των φανταστικών έργων είναι μια από τις σπουδαιότερες αρχές στη μηχανική. Θεωρούμε ένα παραμορφώσιμο στερεό σε ισορροπία όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, το οποίο δέχεται εξωτερικά φορτία και έχει δεδομένες συνοριακές συνθήκες. Υποθέτουμε την εφαρμογή ενός πεδίου φανταστικών μετατοπίσεων , διατηρώντας τις φορτίσεις και τις τάσεις σταθερές. Οι μετατοπίσεις αυτές είναι απειροελάχιστες και ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες. Οι φανταστικές παραμορφώσεις που ανταποκρίνονται στις φανταστικές μετατοπίσεις δίνονται από: (1)

Αρχή των φανταστικών έργων Υπάρχουν δυο ειδών συνοριακές συνθήκες: οι συνθήκες τάσης και οι συνθήκες μετατόπισης. Στην περίπτωση συνοριακών συνθηκών τάσης, οι τάσεις μπορούν να είναι μηδενικές ή να δίνονται με τη μορφή πιέσεων όπως στο προηγούμενο σχήμα. Στην περίπτωση συνοριακών συνθηκών μετατόπισης, γίνεται εφαρμογή μετατοπίσεων σε συγκεκριμένα σημεία ή σε μια ολόκληρη επιφάνεια. Με τη χρήση της εξίσωσης πολλαπλασιασμένης με τις φανταστικές μετατοπίσεις δui και ολοκληρώνοντας ως προς τον όγκο V παίρνουμε την εξής σχέση: Με τη χρήση του θεωρήματος Gauss και το μετασχηματισμό των τάσεων καταλήγουμε τελικά στη σχέση:

Αρχή των φανταστικών έργων Το εσωτερικό και το εξωτερικό φανταστικό έργο δίνονται από τις σχέσεις: όπου οι κατανεμημένες επιφανειακές δυνάμεις και οι φανταστικές μετατοπίσεις στην επιφάνεια , και τα στοιχεία της συγκεντρωμένης δύναμης ‘i’ και η φανταστική μετατόπιση του υλικού σημείου που δρα η δύναμη.

Παράδειγμα Προσδιορισμός παραμόρφωσης σε διακλάδωση αρτηρίας. Λόγω της πίεσης η αρτηρία παραμορφώνεται (ως προς τον x άξονα λόγω συμμετρίας) Για να υπολογίσουμε τη μετατόπιση του σημείου Β εφαρμόζουμε την Αρχή Φανταστικού Έργου. όπου οι εγκάρσιες επιφάνειες της κύριας αρτηρίας και των διακλαδώσεων, L, L1, L2 είναι τα αντίστοιχα μήκη , οι αξονικές τάσεις και οι φανταστικές αξονικές παραμορφώσεις.

Παράδειγμα Οι δυνάμεις λόγω της πίεσης είναι: , όπου είναι το εμβαδόν της εσωτερικής επιφάνειας της εγκάρσιας διατομής. Οι αξονικές παραμορφώσεις αναφορικά με την μετατόπιση είναι: Οι κυκλικές τάσεις δίνονται από τη σχέση και θεωρούνται γνωστές . Από το νόμο του Hooke έχουμε: Συνδυάζοντας τις παραπάνω εξισώσεις με την Αρχή φανταστικού Έργου έχουμε: ν είναι το Young’s modulus E είναι το Poisson’s Ratio

Μηχανική μη γραμμικού συνεχούς μέσου

Μηχανική μη γραμμικού συνεχούς μέσου Υπάρχουν δύο είδη μη γραμμικότητας στη μηχανική συνεχούς μέσου. (α) η μη γραμμικότητα του υλικού και, (β) η μη γραμμικότητα της γεωμετρίας. (α) Στην περίπτωση μη γραμμικότητας του υλικού, έχουμε μικρές παραμορφώσεις, αλλά ο θεμελιώδης νόμος είναι μη γραμμικός. (β) Στην περίπτωση μη γραμμικότητας της γεωμετρίας έχουμε μεγάλες παραμορφώσεις και ο θεμελιώδης νόμος είναι είτε γραμμικός (το πρόβλημα είναι γεωμετρικά μη γραμμικό), είτε μη γραμμικός (το πρόβλημα είναι γεωμετρικά και υλικά μη γραμμικό).

Βασικά κινηματικά μεγέθη για την περιγραφή της γεωμετρικής μη γραμμικότητας της παραμόρφωσης Όλα τα κινηματικά μεγέθη μεγάλης παραμόρφωσης εξαρτώνται από την κλίση της παραμόρφωσης. Εισάγουμε τη διαμόρφωση 0B ενός συνεχούς μέσου που ορίζεται από τις συντεταγμένες όλων των υλικών σημείων που αντιστοιχούν στην αρχική χρονική στιγμή (t=0): Η διαμόρφωση 0B αντιστοιχεί συνήθως στην μη παραμορφωμένη κατάσταση. Μετά την επιβολή δυνάμεων, το υλικό παραμορφώνεται και στο χρονικό σημείο ‘t’ έχουμε τη νέα διαμόρφωση tB όταν οι συντεταγμένες του υλικού είναι . Η κλίση της παραμόρφωσης με συνιστώσες τις δίνονται από τις σχέσεις:

Βασικά κινηματικά μεγέθη για την περιγραφή της γεωμετρικής μη γραμμικότητας της παραμόρφωσης Η κλίση της παραμόρφωσης μπορεί να δοθεί βάσει μετατόπισης tu ως: Η αντίστροφη κλίση της παραμόρφωσης δίνεται από τη σχέση: αφού ισχύει ότι . Από τις σχέσεις (3) και (4) προκύπτει ότι:

Βασικά κινηματικά μεγέθη για την περιγραφή της γεωμετρικής μη γραμμικότητας της παραμόρφωσης Η φυσική σημασία της κλίσης της παραμόρφωσης είναι ότι συνδέει τα διαφορικά υλικά διανύσματα dts και d0s που περιέχουν τα ίδια υλικά σωματίδια, με δύο διατάξεις tB και 0B μέσω της σχέσης: όπου και οι συνιστώσες των dts και d0s αντίστοιχα. Τέλος, η σχέση μεταξύ των στοιχειωδών όγκων του υλικού dtV και d0V μεταξύ δυο διαμορφώσεων είναι η εξής:

Βασικά κινηματικά μεγέθη για την περιγραφή της γεωμετρικής μη γραμμικότητας της παραμόρφωσης Τανυστές παραμόρφωσης Cauchy-Green Τα τετραγωνικά μήκη ενός υλικού στοιχείου στην αρχική κατάσταση 0B και στην κατάσταση παραμόρφωσης tB μπορούν να συσχετιστούν με την ακόλουθη σχέση: ή όπου είναι ο δεξιός τανυστής παραμόρφωσης Cauchy-Green ο οποίος δίνεται από την ακόλουθη σχέση:

Βασικά κινηματικά μεγέθη για την περιγραφή της γεωμετρικής μη γραμμικότητας της παραμόρφωσης και ο τανυστής παραμόρφωσης Finger ο οποίος δίνεται από τη σχέση: Στις αριθμητικές μεθόδους γίνεται η χρήση του αριστερού τανυστή παραμόρφωσης Cauchy-Green και του αντιστρόφου του: Οι αρχικές τιμές των τανυστών και είναι τα τετράγωνα των βασικών τανύσεων στις διευθύνσεις των ιδιοδιανυσμάτων στη δεξιά και την αριστερή βάση και αντίστοιχα όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα. Ακολούθως παίρνουμε την εξής σχέση:

Βασικά κινηματικά μεγέθη για την περιγραφή της γεωμετρικής μη γραμμικότητας της παραμόρφωσης Θεώρημα πολικής ανάλυσης Η παραμόρφωση σε ένα υλικό σημείο μπορεί να αναλυθεί σε καθαρή τάνυση στις αρχικές διευθύνσεις και στην υλική περιστροφή.

Βασικά κινηματικά μεγέθη για την περιγραφή της γεωμετρικής μη γραμμικότητας της παραμόρφωσης Βάσει του θεωρήματος πολικής ανάλυσης, η κλίση της παραμόρφωσης μπορεί να εκφραστεί και ως εξής: όπου είναι ο τανυστής περιστροφής και ο δεξιός και ο αριστερός τανυστής έκτασης αντίστοιχα. Μέτρα παραμόρφωσης Με τη χρήση του θεωρήματος πολικής ανάλυσης έχουν καθιερωθεί διάφορα μέτρα παραμόρφωσης. Τα κυριότερα μέτρα είναι τα: (α) Green-Lagrange παραμόρφωση (β) Almansi παραμόρφωση (γ) Λογαριθμική (ή Hencky) παραμόρφωση. Η αναπαράστασή τους στις αρχικές τους διευθύνσεις δίνεται από:

Βασικά κινηματικά μεγέθη για την περιγραφή της γεωμετρικής μη γραμμικότητας της παραμόρφωσης (α) Green-Lagrange παραμόρφωση (β) Almansi παραμόρφωση (γ) Λογαριθμική (ή Hencky) παραμόρφωση όπου οι συνιστώσες των παραμορφώσεων Hencky σε ένα σύστημα συντεταγμένων xi . Οι συνιστώσες διάτμησης στις αρχικές βάσεις είναι μηδενικές.

Βασικά κινηματικά μεγέθη για την περιγραφή της γεωμετρικής μη γραμμικότητας της παραμόρφωσης Μέτρα τάσης Η μηχανική δύναμη ανά μονάδα όγκου δίνεται από τη σχέση: όπου είναι οι τάσεις Cauchy και οι ρυθμοί παραμόρφωσης. Αυτή η μηχανική δύναμη πρέπει να ισούται με τη μηχανική δύναμη που υπολογίζεται ως το γινόμενο του ρυθμού μιας δοσμένης παραμόρφωσης και του ανταποκρινόμενου μέτρου τάσης. Από αυτή την ισότητα βρίσκουμε τη σχέση μεταξύ ενός μέτρου τάσης, ενός συνδυασμένου με το έργο δοσμένου μέτρου παραμόρφωσης και των τάσεων Cauchy . Η συζυγής τάση της παραμόρφωσης Green-Lagrange είναι η δεύτερη τάση Piola-Kirchoff που σχετίζεται με την τάση Cauchy με τις σχέσεις: όπου και είναι η αρχική και τελική πυκνότητα της μάζας αντίστοιχα.

Βασικά κινηματικά μεγέθη για την περιγραφή της γεωμετρικής μη γραμμικότητας της παραμόρφωσης Μη γραμμικές ελαστικές θεμελιώδεις σχέσεις Οι σχέσεις τάσης-παραμόρφωσης πολλών υλικών είναι μη γραμμικές. Ένα υλικό θεωρείται ελαστικό εάν επιστρέψει στην αρχική μη παραμορφωμένη κατάστασή του εάν αποφορτιστεί. Τα υπερελαστικά υλικά χαρακτηρίζονται από μια συνάρτηση ενέργειας παραμόρφωσης. Οι παράγωγοι αυτής της συνάρτησης παραμορφώσεων σε σχέση με τις παραμορφώσεις δίνουν τις τάσεις. Η συνάρτηση ενέργειας παραμόρφωσης για μεγάλες παραμορφώσεις εκφράζεται σε σχέση με τις παραμορφώσεις Green-Lagrange Στη συνέχεια οι παράγωγοι σε σχέση με τις παραμορφώσεις δίνουν τις συζυγείς δεύτερες τάσεις Piola-Kirchhoff:

Βασικά κινηματικά μεγέθη για την περιγραφή της γεωμετρικής μη γραμμικότητας της παραμόρφωσης Οι συχνότερες εκφράσεις της συνάρτησης ενέργειας παραμόρφωσης έχουν εκθετική μορφή. Η γενική μορφή της είναι: όπου είναι μια δευτεροβάθμια μορφή των συνιστωσών παραμόρφωσης Green-Lagrange. Χρησιμοποιούνται εννιά συντελεστές και οι τροποποιημένες παραμορφώσεις Green-Lagrange. Τα παρακάτω σχήματα περιέχουν τη γραφική αναπαράσταση μια δισδιάστατης μορφής αυτής της συνάρτησης και των σχέσεων τάσης-τάνυσης:

Βασικά κινηματικά μεγέθη για την περιγραφή της γεωμετρικής μη γραμμικότητας της παραμόρφωσης Τέλος, οι θεμελιώδεις σχέσεις για βιολογικές μεμβράνες, αναπαριστώνται από τις μονοαξονικές και τις διαξονικές καμπύλες τάσης τάνυσης. Οι καμπύλες αυτές δίνονται στο παρακάτω σχήμα. Για μικρές τανύσεις, οι τάσεις είναι μικρές, ενώ το υλικό γίνεται άκαμπτο στην περιοχή μεγάλων παραμορφώσεων.

Παράδειγμα Προσδιορισμός κύριων τανύσεων και κύριων διευθύνσεων για «καθαρή» διάτμηση Το πεδίο της μετατόπισης δίνεται από: Θεωρούνται μεγάλες μετατοπίσεις Παραμόρφωση σε περίπτωση καθαρής διάτμησης (a) Παραμορφωμένο στοιχείο (b) Κύριες διευθύνσεις δεξιάς ( ) και αριστερής βάσης ( ). V είναι η σταθερή ταχύτητα του γραμμωτού στοιχείου στην πάνω επιφάνεια για

Παράδειγμα Η κλίση της παραμόρφωσης είναι: Οι τανυστές της παραμόρφωσης είναι: Επίσης γνωρίζουμε ότι: Επομένως προκύπτει: όπου Το σύστημα που προκύπτει έχει τη μορφή:

Παράδειγμα Από το σύστημα προκύπτει: Ο τανυστής περιστροφής είναι: Ο δεξιός και αριστερός τανυστής τάσης δίνεται από: Ο ρυθμός παραμόρφωσης και ο τανυστής περιστροφής είναι: Σύμφωνα με: Οι γωνίες που σχηματίζουν τα διανύσματα , σύμφωνα με το σχήμα και