Υπολογιστική Μοντελοποίηση στη Βιοϊατρική Τεχνολογία Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2013

Ισοπαραμετρική διαμόρφωση των πεπερασμένων στοιχείων

Εισαγωγή στη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων Η βασική ιδέα της μεθόδου είναι ότι οποιοδήποτε φυσικό πεδίο μπορεί να διακριτοποιηθεί σε ένα πεπερασμένο αριθμό υποπεδίων που ονομάζονται πεπερασμένα στοιχεία. Η διακριτοποίηση αυτή αναπαριστάται στο παρακάτω σχήμα για το πεδίο μετατόπισης λόγω της παραμόρφωσης ενός αγγειακού τοιχώματος. Διακριτοποίηση σε πεπερασμένα στοιχεία του πεδίου ταχύτητας του αίματος και του πεδίου μετατόπισης της παραμόρφωσης ενός αγγείου. Υπολογίζεται η ταχύτητα v και η μετατόπιση u σε ένα υλικό σημείο σε ένα πεπερασμένο στοιχείο με παρεμβολές από τα διανύσματα των κομβικών σημείων VK και UK.

Εισαγωγή στη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων Θεωρούμε τη στατική παραμόρφωση ενός στερεού. Το πεδίο μετατοπίσεων u(x,y,z) που προκαλείται από κάποια δύναμη προσεγγίζεται σε κάθε πεπερασμένο στοιχείο από τα πεδία διανυσμάτων μετατόπισης , όπου r, s, t οι τοπικές συντεταγμένες του πεπερασμένου στοιχείου. Η προσεγγιστική μετατόπιση εκφράζεται με όρους διανύσματος μετατόπισης των κόμβων των πεπερασμένων στοιχείων ως: όπου οι συνιστώσες (x, y, z) του διανύσματος μετατόπισης του κόμβου Κ και Ν ο αριθμός των κόμβων των πεπερασμένων στοιχείων. Καταλήγουμε τελικά στην παρακάτω μορφή εξίσωσης ισορροπίας για ολόκληρο το πεδίο:

Εισαγωγή στη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων όπου το διάνυσμα των κομβικών μετατοπίσεων όλων των κόμβων, το μητρώο δυσκαμψίας ολόκληρου του συστήματος, το διάνυσμα των εξωτερικών δυνάμεων και ο αριθμός βαθμών ελευθερίας του συστήματος. Λύνοντας ως προς το διάνυσμα μετατόπισης μπορού να υπολογιστούν οι μετατοπίσεις u για το κάθε στοιχείο καθώς επίσης οι παραμορφώσεις και οι τάσεις.

Σχηματισμός μονοδιάστατων πεπερασμένων στοιχείων και εξισώσεις ισορροπίας Πεπερασμένο στοιχείο δικτυώματος Θεωρούμε μια κατασκευή αποτελούμενη από δυο ίσιες βέργες που υπόκεινται σε δύναμη F. Έχουμε ορίσει δύο στοιχεία (1, 2) και τρείς κόμβους (1, 2, 3). Οι F1 και F2 είναι οι κομβικές δυνάμεις.

Σχηματισμός μονοδιάστατων πεπερασμένων στοιχείων και εξισώσεις ισορροπίας Λόγω της παραμόρφωσης του στοιχείου έχουμε μετατόπιση u στην τομή για μια συντεταγμένη x ενώ η παραμόρφωση είναι: Επειδή η αξονική δύναμη είναι ίδια κατά μήκος του στοιχείου, η μετατόπιση στο στοιχείο μπορεί να υπολογιστεί ολοκληρώνοντας της παραπάνω σχέση: όπου χρησιμοποιείται η συνθήκη: για x=0. Από εδώ προκύπτει ότι για x=L ο παραπάνω τύπος γίνεται: . Παίρνουμε έτσι τη μετατόπιση u(x):

Σχηματισμός μονοδιάστατων πεπερασμένων στοιχείων και εξισώσεις ισορροπίας Αντί για τη συντεταγμένη x χρησιμοποιούμε τη φυσική συντεταγμένη Η φυσική συντεταγμένη παίρνει τιμές από -1 ως 1. Αντικαθιστώντας το x με r παίρνουμε: όπου Ν ο πίνακας παρεμβολής και και οι συναρτήσεις παρεμβολής. Οι συναρτήσεις παρεμβολής είναι: Μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί η σχέση: Όπου Χ το διάνυσμα των κομβικών συντεταγμένων

Σχηματισμός μονοδιάστατων πεπερασμένων στοιχείων και εξισώσεις ισορροπίας Μητρώο δυσκαμψίας και εξίσωση ισορροπίας Αρχικά εκφράζουμε την παραμόρφωση e ως: όπου ο πίνακας Β είναι: Οι παράγωγοι και προκύπτουν από: όπου J-1 ο ανάστροφος της Ιακωβιανής μεταξύ του καρτεσιανού και του φυσικού συστήματος συντεταγμένων Στην περίπτωσή μας ισχύουν:

Σχηματισμός μονοδιάστατων πεπερασμένων στοιχείων και εξισώσεις ισορροπίας Η εξίσωση ισορροπίας προκύπτει με χρήση της αρχής φανταστικών έργων. Αρχικά, η φανταστική παραμόρφωση δe εκφράζεται ως: Έπειτα, με τη χρήση του νόμου του Hooke, το εσωτερικό φανταστικό έργο μπορεί να πάρει τη μορφή: όπου V ο όγκος του στοιχείου και το μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου. Η δύναμη είναι η δύναμη αντίστασης στοιχείου που ισούται με:

Σχηματισμός μονοδιάστατων πεπερασμένων στοιχείων και εξισώσεις ισορροπίας Στην περίπτωσή μας, το μητρώο δυσκαμψίας είναι: Βλέπουμε πως το μητρώο δίνεται στην αναλυτική του μορφή εφόσον οι όροι του ολοκληρώματος είναι σταθεροί. Το εξωτερικό φανταστικό έργο προκύπτει από το φανταστικό έργο των δυνάμεων F1 και F2 στις φανταστικές μετατοπίσεις , . Άρα: Από την αρχή φανταστικών έργων και την παραπάνω σχέση προκύπτει: Εφόσον οι φανταστικές μετατοπίσεις είναι τυχαίες (μη μηδενικές), προκύπτει η εξίσωση ισορροπίας πεπερασμένου στοιχείου:

Σχηματισμός μονοδιάστατων πεπερασμένων στοιχείων και εξισώσεις ισορροπίας Μετασχηματισμός του μητρώου δυσκαμψίας Το μητρώο δυσκαμψίας αντιστοιχεί στο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο η μια συντεταγμένη(άξονας) συμπίπτει με τον άξονα του δικτυώματος. Αυτό το σύστημα συντεταγμένων λέγεται τοπικό σύστημα. Έστω τα συνημίτονα των γωνιών μεταξύ του άξονα και των αξόνων x,y,z l=cosα, m=cosβ, n=cosγ και το διάνυσμα της μετατόπισης Το διάνυσμα μετατόπισης στο σύστημα x, y, z ορίζεται ως με στοιχεία τα: . Έπειτα, οι σχέσεις μεταξύ των στοιχείων του διανύσματος μετατόπισης στα δυο συστήματα μπορούν να γραφτούν ως:

Σχηματισμός μονοδιάστατων πεπερασμένων στοιχείων και εξισώσεις ισορροπίας Όπου ο 2x6 πίνακας μετασχηματισμού T είναι: Ακόμη, πρέπει να ισχύει και η προϋπόθεση ότι το εσωτερικό φανταστικό έργο στα δύο συστήματα και πρέπει να είναι ίσα. Οπότε προκύπτει: Και τελικά: Το μητρώο δυσκαμψίας Κ έχει διάσταση 6x6, είναι συμμετρικό και οι γραμμές και οι στήλες αντιστοιχούν στις μετατοπίσεις

Σχηματισμός μονοδιάστατων πεπερασμένων στοιχείων και εξισώσεις ισορροπίας Εξισώσεις ισορροπίας και συνοριακές συνθήκες όπου η δύναμη αντίδρασης από τη στήριξη, η δύναμη του στοιχείου 1 λόγω του στοιχείου 2 και η δύναμη του στοιχείου 2 λόγω του στοιχείου 1.Οι όροι του μητρώου δυσκαμψίας των στοιχείων 1 και 2 είναι και αντίστοιχα. Η δεύτερη και η τρίτη εξίσωση αναπαριστούν τις εξισώσεις ισορροπίας που αντιστοιχούν στην ίδια μετατόπιση U2 . Αθροίζοντας αυτές τις δυο εξισώσεις προκύπτει το εξής σύστημα τριών εξισώσεων:

Σχηματισμός μονοδιάστατων πεπερασμένων στοιχείων και εξισώσεις ισορροπίας όπου χρησιμοποιείται η σχέση . Ο όρος που αντιστοιχεί στη μετατόπιση U2 αναπαριστά το άθροισμα των και . Ακόμη, στη δεξιά πλευρά έχουμε μόνο το διάνυσμα εξωτερικής φόρτισης αφού οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ των στοιχείων αλληλοεξουδετερώνονται. Τελικά, το μητρώο δυσκαμψίας του συστήματος είναι: όπου NE ο αριθμός πεπερασμένων στοιχείων.

Εξισώσεις ισορροπίας και συνοριακές συνθήκες Συνοριακές συνθήκες Θεωρώντας ότι η μετατόπιση U1 είναι μη μηδενική και άγνωστη, βρίσκουμε ότι το μητρώο δυσκαμψίας του συστήματος έχει μηδενική διακρίνουσα. Αυτό έχει τη φυσική σημασία ότι η κατασκευή έχει ελευθερία κίνησης στο χώρο. Έτσι, πρέπει να εφαρμόσουμε συνοριακές συνθήκες οι οποίες θα αποτρέπουν την κίνηση του σώματος. Στην περίπτωσή μας, η κατασκευή πακτώνεται όπως φαίνεται στο σχήμα και ισχύει: Αφαιρώντας την πρώτη εξίσωση στην () και αντικαθιστώντας στις δυο τελευταίες παίρνουμε:

Εξισώσεις ισορροπίας και συνοριακές συνθήκες οι οποίες μπορούν να επιλυθούν ως προς τους αγνώστους . Με τις λύσεις αυτών των εξισώσεων μπορεί να βρεθεί και η . Η εφαρμογή της σχέσης γίνεται διαγράφοντας τη γραμμή και τη στήλη από το σύστημα εξισώσεων που αντιστοιχούν στη μετατόπιση

Παράδειγμα Εξάρτηση του μεγέθους του μητρώου δυσκαμψίας από την αρίθμηση των κόμβων

Παράδειγμα Το μητρώο δυσκαμψίας στο επίπεδο x-y για ένα στοιχείο ‘i’ είναι: όπου οι δείκτες συμβολίζουν την τοπική αρίθμηση των μετατοπίσεων. Τα μητρώα κάθε στοιχείου αθροίζονται για να δημιουργηθεί το μητρώο δυσκαμψίας του συστήματος. Η θέση στην οποία ένας όρος του μητρώου δυσκαμψίας του εκάστοτε στοιχείου θα τοποθετηθεί στο ολικό μητρώο δυσκαμψίας του συστήματος εξαρτάται από την αρίθμηση των μετατοπίσεων του συστήματος.

Παράδειγμα Τα μητρώα δυσκαμψίας του στοιχείου 5 για τις 2 διαφορετικές αριθμήσεις είναι: Έτσι, ο όρος προκύπτει ως εξής: Με αυτό τον τρόπο προκύπτουν ποιοτικά τα δυο μητρώα δυσκαμψίας των δυο διαφορετικών αριθμήσεων:

Παράδειγμα Σε πρακτικές εφαρμογές οι οποίες περιλαμβάνουν την αναστροφή αυτού του μητρώου, χρησιμοποιούνται μόνο οι όροι κάτω από τη γραμμή skyline. Στην προκειμένη περίπτωση, η αρίθμηση (a) περιλαμβάνει 80 όρους ενώ η αρίθμηση (b) περιλαμβάνει 96 όρους κάτι που σημαίνει μικρότερο αριθμό τελικών πράξεων.

Τρισδιάστατα ισοπαραμετρικά πεπερασμένα στοιχεία Διαμόρφωση στοιχείων Στο παραπάνω σχήμα απεικονίζεται ένα 3D πεπερασμένο στοιχείο. Θεωρούμε ένα απλό στοιχείο αποτελούμενο από έξι επιφάνειες και οκτώ κόμβους. Η γεωμετρία του στοιχείου καθώς και το πεδίο μετατοπίσεων παρεμβάλλονται από τις παρακάτω σχέσεις:

Τρισδιάστατα ισοπαραμετρικά πεπερασμένα στοιχεία και όπου x το διάνυσμα θέσης για ένα υλικό σημείο στο στοιχείο και u το διάνυσμα μετατόπισης ενός σημείου. Το διάνυσμα Χ των κομβικών συντεταγμένων και το διάνυσμα U κομβικής μετατόπισης του σημείου ορίζονται ως:

Τρισδιάστατα ισοπαραμετρικά πεπερασμένα στοιχεία και όπου και οι συντεταγμένες και οι μετατοπίσεις του πρώτου κόμβου. Ο πίνακας παρεμβολής Ν είναι: όπου οι συναρτήσεις παρεμβολής των φυσικών συντεταγμένων . Οι συναρτήσεις μπορούν να γραφτούν ως: Οι φυσικές συντεταγμένες μπορούν να παίρνουν τιμές -1 ή 1. Ακόμη, ισχύει ότι στον κόμβο Κ ισχύει ΝΚ=1 ενώ στους υπόλοιπους ΝΚ=0.

Τρισδιάστατα ισοπαραμετρικά πεπερασμένα στοιχεία Παραμορφώσεις Χρησιμοποιούμε τη μητρωική αναπαράσταση των παραμορφώσεων και των μετατοπίσεων και παίρνουμε: όπου οι παράγωγοι των συναρτήσεων παρεμβολής . Το μητρώο σχέσης παραμόρφωσης-μετατόπισης Β ορίζεται από αυτές τις παραγώγους. Οι συναρτήσεις παρεμβολής ορίζονται με τη χρήση των φυσικών συντεταγμένων. Ισχύει τελικά ότι:

Τρισδιάστατα ισοπαραμετρικά πεπερασμένα στοιχεία Στη συνέχεια εισάγουμε την Ιακωβιανή του μετασχηματισμού: όπου r το διάνυσμα θέσης φυσικών συντεταγμένων και ο ανάστροφός του :

Τρισδιάστατα ισοπαραμετρικά πεπερασμένα στοιχεία Γενικά, οι σχέσεις μεταξύ των παραγώγων μπορούν να γραφτούν ως εξής:

Τρισδιάστατα ισοπαραμετρικά πεπερασμένα στοιχεία Επομένως , οι παράγωγοι των συναρτήσεων παρεμβολής μπορούν να γραφτούν ως εξής: Σε πρακτικές εφαρμογές, οι παραμορφώσεις σε ένα υλικό σημείο καθορίζονται υπολογίζοντας: την Ιακωβιανή J και τον ανάστροφό της J-1, τις παραγώγους , και το μητρώο Β. Μητρώο δυσκαμψίας και κομβικές δυνάμεις Το εσωτερικό φανταστικό έργο εκφράζεται ως:

Τρισδιάστατα ισοπαραμετρικά πεπερασμένα στοιχεία Το μητρώο δυσκαμψίας Κ είναι: Το μητρώο δυσκαμψίας είναι συμμετρικό και έχει διαστάσεις 3Νx3Ν ενώ το διάνυσμα της δύναμης έχει διάσταση 3Ν. Στην περίπτωση ύπαρξης δυνάμεων σώματος, οι αντίστοιχες κομβικές δυνάμεις υπολογίζονται από την ισότητα του φανταστικού έργου: όπου η δύναμη ανά μονάδα όγκου και το διάνυσμα των ισοδύναμων ογκομετρικών κομβικών δυνάμεων. Οι εξωτερικές κομβικές δυνάμεις που προκαλούνται από την πίεση στην επιφάνεια ενός στοιχείου υπολογίζονται με τη χρήση της ισοδυναμίας του φανταστικού έργου.

Ισοπαραμετρικά πεπερασμένα στοιχεία 2-διαστάσεων Σε προβλήματα δύο διαστάσεων η παραμόρφωση περιγράφεται από το πεδίο μετατόπισης στο επίπεδο Τα 2D ισοπαραμετρικά στοιχεία είναι ειδικές περιπτώσεις των 3D στοιχείων Το μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου, οι δυνάμεις στους κόμβους και ο τρόπος ενσωμάτωσης στον όγκο έχουν την ίδια μορφή με την περίπτωση των 3D στοιχείων

Σχηματισμός των στοιχείων 2D ισοπαραμετρικά στοιχεία με 4 ή 9 κόμβους Η παρεμβολή της γεωμετρίας είναι: Ενώ της μετατόπισης είναι: Όπου Ν ο αριθμός των κόμβων, , Προσδιορισμός του στοιχείου στο φυσικό σύστημα συντεταγμένων Αξονομετρική εικόνα στοιχείου με μετατόπιση στον κόμβο 4 και πάχος h

Στοιχείο τάνυσης επιπέδου Η παραμόρφωση και η μετατόπιση προς τον άξονα z είναι μηδέν Οι μη-μηδενικές παραμορφώσεις είναι οι : Οι τάσεις δίνονται από: Το ολοκλήρωμα στον όγκο του στοιχείου προϋποθέτει πάχος h (εικόνα b) Οι δυνάμεις στους κόμβους είναι λόγω των τάσεων στους κόμβους ή επιφανειακών δυνάμεων

Στοιχείο τάσης επιπέδου (μεμβράνη) Η κάθετη τάση στο επίπεδο είναι μηδέν Γνωρίζοντας τη σχέση τάσεων – παραμορφώσεων: Η παραμόρφωση δια μέσου του πάχους του στοιχείου είναι: Το μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα στην επιφάνεια του στοιχείου επί το πάχος του στοιχείου h

Αξονοσυμμετρικό στοιχείο Χρησιμοποιείται σε περίπτωση συμμετρίας στη γεωμετρία, φορτώσεις ή συνοριακές συνθήκες Μοντελοποιούμε μόνο ένα επίπεδο χρησιμοποιώντας στοιχεία συμμετρίας Παραμορφώσεις υπάρχουν ως προς την ακτίνα, αλλά δημιουργούνται περιμετρικές παραμορφώσεις που υπολογίζονται με: όπου η ακτινική απόσταση και η αξονική μετατόπιση Από τη σχέση παραμόρφωσης – μετατόπισης έχουμε:

Παράδειγμα Παραμόρφωση κυλίνδρου με «παχύ» τοίχωμα που υπόκειται σε εσωτερικές και εξωτερικές πιέσεις (a) Η παραμόρφωση γίνεται ως προς τον άξονα Το μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων για το επίπεδο συμμετρίας φαίνεται στο b Η αναλυτική λύση συμφω- νεί με τη λύση των πεπερα- σμένων στοιχείων (c, d)

Ισοπαραμετρικά πεπερασμένα στοιχεία κελύφους για γενική τρισδιάστατη ανάλυση Κέλυφος είναι δομή με λεπτό τοίχωμα και κυριαρχεί η επιφάνεια Αυτοκίνητο, αεροπλάνο, θόλος Το κέλυφος ορίζεται μέσω της μέσο – επιφάνειας σύμφωνα με: και του πάχους της: Όπου η κλίση της μέσο-επιφάνειας Το διάνυσμα θέσης x του σημείου Ρ είναι το άθροισμα του διανύσματος θέσης του σημείου Ρ0 και το σχετικό διάνυσμα θέσης κατά μήκος του κάθετου διανύσματος στο κέλυφος

Ισοπαραμετρικά πεπερασμένα στοιχεία κελύφους για γενική τρισδιάστατη ανάλυση Η μετατόπιση του σημείου Ρ λόγω της παραμόρφωσης του κελύφους εκφράζεται με το άθροισμα της μετατόπισης του σημείου Ρ0 και την περιστροφή της μετατόπισης Ο όρος σημαίνει ότι τα ευθύγραμμα στοιχεία του υλικού στην κάθετη διεύθυνση του κελύφους παραμένουν ευθύγραμμα Η αλλαγή του κάθετου διανύσματος γίνεται λόγω της περιστροφής που είναι το διάνυσμα πάνω στην εφαπτομένη της επιφάνειας Επίσης, η περιστροφή οφείλεται στη ροπή κύρτωσης και της διατμητικής παραμόρφωσης

Σχηματισμός στοιχείου – κελύφους με 4 κόμβους Οι συντεταγμένες στη θέση του σημείου Ρ πάνω στη μέσο – επιφάνεια ενώ το t τη θέση πάνω στο κάθετο του κελύφους Το παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων δίνεται από: Ν = 4 : είναι η συνάρτηση παρεμβολής hk: το πάχος των κόμβων του κελύφους : Είναι τα στοιχεία των καθέτων στα σημεία των κόμβων

Σχηματισμός στοιχείου – κελύφους με 4 κόμβους Οι μετατοπίσεις μπορούν να γραφούν Κάθε κόμβος έχει 5 βαθμούς ελευθερίας Το διάνυσμα μετατόπισης του κόμβου είναι: Οι παραμορφώσεις υπολογίζονται μέσω: Η μετατόπιση των κόμβων Οι συνιστώσες των διανυσμάτων , εφαπτόμενων στο επίπεδο που σχηματίζουν οι κόμβοι Οι περιστροφές γύρω από τα διανύσματα

Σχηματισμός στοιχείου – κελύφους με 4 κόμβους Ο υπο-πίνακας BΚ είναι 6x5 και υπολογίζεται από: όπου Οι όροι του Ιακωβιανού μητρώου είναι:

Παράδειγμα Παραμόρφωση τετράγωνης πλάκας που υπόκειται σε κάθετη έντονη δύναμη Λόγω συμμετρίας η μοντελοποίηση γίνεται στο τετράγωνο ABCD Η εκτροπή του κεντρικού σημείου C δίνεται μέσω αναλυτικής λύσης από: όπου E είναι το Young’s modulus και ο Poisson’s ratio Η υπολογιστική λύση προσεγγίζει την αναλυτική καθώς αυξάνεται ο αριθμός των στοιχείων a) η παραμόρφωση της πλάκας, b) η κανονικοποιημένη εκτροπή του σημείου σε σχέση με τον αριθμό των στοιχείων