Αντοχή πλοίου ΙΙ (Θ) Ενότητα 3: Ελαστικός λυγισμός πρισματικών φορέων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Αντοχή πλοίου ΙΙ (Θ) Ενότητα 3: Ελαστικός λυγισμός πρισματικών φορέων Αλέξανδρος Θεοδουλίδης, Επικ. Καθηγητής Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών Τ.Ε. Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Λυγισμός πρισματικών φορέων 1/5 Η χρήση κολονών (υποστυλωμάτων) είναι πολύ διαδεδομένη στα πλοία καθ’ όσον χρησιμοποιούνται για την μείωση του ανυποστήρικτου μήκους δοκών και για τη μεταφορά/διανομή κατακόρυφων φορτίων. Τα υποστυλώματα δέχονται θλιπτικά φορτία και πρέπει να ελέγχονται για λυγισμό (ειδικά που αυτά έχουν μεγάλο μήκος) Αντικείμενο της παρούσας ενότητας είναι ο έλεγχος έναντι λυγισμού, πρισματικών φορέων που δέχονται θλιπτικά φορτία. Ο λυγισμός εξαρτάται κυρίως από τις γεωμετρικές ιδιότητες της διατομής του φορέα παρά από τις μηχανικές ιδιότητες του υλικού από το οποίο είναι κατασκευασμένος.

Λυγισμός πρισματικών φορέων 2/5 Λυγισμός ονομάζεται η ασταθής κατάρρευση ενός πρισματικού φορέα υπό την επίδραση θλιπτικών φορτίων που υπερβαίνουν κάποια τιμή. Ο λυγισμός μπορεί να ξεκινήσει λόγω μικρής εκκεντρότητας του φορτίου ή λόγω κατασκευαστικών ατελειών/ανομοιομορφιών των πρισματικών φορέων. Η μαθηματική προσέγγιση στο πρόβλημα ξεκίνησε τον 18ο αιώνα από τον Euler, ο οποίος πρότεινε μια σχέση για τον προσδιορισμό του κρίσιμου φορτίου ελαστικού λυγισμού. Ως κρίσιμο φορτίο Pcr λυγισμού ορίζεται το ελάχιστο θλιπτικό φορτίο το οποίο μπορεί να προκαλέσει λυγισμό του φορέα.

Λυγισμός πρισματικών φορέων 3/5 Το κρίσιμο φορτίο λυγισμού κατά Euler δίδεται από τη σχέση: Όπου: Pcr το κρίσιμο φορτίο λυγισμού, Ε το μέτρο ελαστικότητας, Ι η ροπή αδράνειας της εγκάρσιας διατομής περί τον άξονα κάμψης, L το μήκος του φορέα, K σταθερά εξαρτώμενη από τον τρόπο στήριξης του φορέα. Η ανωτέρω σχέση δίνει ορθότερα αποτελέσματα στην περίπτωση που έχουμε μεγάλο μήκος. Για μικρότερα μήκη η σχέση του Euler υπερεκτιμά το κρίσιμο φορτίο λυγισμού.

Λυγισμός πρισματικών φορέων 4/5 Έστω ότι ο φορέας του διπλανού σχήματος είναι τέλειος (perfect column) και ότι το ασκούμενο θλιπτικό φορτίο P είναι απόλυτα κεντραρισμένο. Αν το P συνεχώς αυξάνει το μήκος του φορέα θα μικραίνει χωρίς ο φορέας να κάμπτεται. Όταν η θλιπτικές τάσεις υπερβούν την τάση διαρροής θα επέλθει κατάρρευση του φορέα. Αν ταυτόχρονα με το φορτίο Ρ ασκηθεί και ένα οριζόντιο φορτίο F τότε θα συμβούν τα ακόλουθα: P<Pcr P=Pcr P>Pcr Μετά την απομάκρυνση του φορτίου F ο φορέας θα επανέλθει στην αρχική του κατάσταση. Μετά την απομάκρυνση του φορτίου F ο φορέας θα παραμείνει στη θέση που πήρε λόγω του F. Ο Φορέας θα καταρρεύσει λόγω λυγισμού.

Λυγισμός πρισματικών φορέων Θεωρία του Euler – Αμφιέρειστη δοκός 1/3 𝑀= 𝑃 𝐶𝑅 𝑢 𝑑 2 𝑢 𝑑𝑧 2 =− 𝑀 𝐸𝐼 𝑑 2 𝑢 𝑑𝑧 2 =− 𝑃 𝐶𝑅 𝐸𝐼 u 𝑑 2 𝑢 𝑑𝑧 2 + 𝑃 𝐶𝑅 𝐸𝐼 u=0 Η λύση της τελευταίας διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή: 𝑢= 𝐶 1 cos 𝜇𝑧 + 𝐶 2 sin 𝜇𝑧 Όπου C1 και C2 αυθαίρετες σταθερές και μ2=Pcr/EI Από την εφαρμογή των οριακών συνθηκών στα άκρα προκύπτει: C1=0 0=C2 sin 𝜇𝐿 Για να πάρω τη μη τετριμμένη λύση θα πρέπει να ισχύει: sin 𝜇𝐿 =0 ή μL = nπ, όπου n=1,2,3,......

Λυγισμός πρισματικών φορέων Θεωρία του Euler – Αμφιέρειστη δοκός 2/3 Επομένως: 𝑷 𝑪𝑹 𝑬𝑰 𝑳 𝟐 = 𝒏 𝟐 𝝅 𝟐 ή 𝐏 𝑪𝑹 = 𝒏 𝟐 𝝅 𝟐 𝑬𝑰 𝑳 𝟐 Η μικρότερη τιμή για το κρίσιμο φορτίο λυγισμού προκύπτει αν θεωρήσω n=1. Επομένως: 𝑷 𝑪𝑹 = 𝒏 𝟐 𝝅 𝟐 𝑬𝑰 𝑳 𝟐 και το αντίστοιχο βέλος κάμψης παίρνει τη μορφή: 𝒖= 𝑪 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝁𝒛 Για n=2,3,…. Προκύπτουν άλλες λύσεις της διαφορικής εξίσωσης, οι οποίες αντιστοιχούν σε άλλες μορφές λυγισμού (βλ επόμενο σχήμα).

Λυγισμός πρισματικών φορέων Θεωρία του Euler – Αμφιέρειστη δοκός 3/3

Λυγισμός πρισματικών φορέων Θεωρία του Euler – Διάφορες περιπτώσεις στήριξης 1/4 𝑢=− 𝑀 𝐹 𝑃 𝐶𝑅 cos 𝜇𝑧 + 1− cos 𝜇𝐿 sin 𝜇L sin 𝜇𝑧 −1 𝑢=−𝛿 cos 𝜇𝑧 − cos 𝜇 𝐿 sin 𝜇𝐿 sin 𝜇𝑧 −1

Λυγισμός πρισματικών φορέων Θεωρία του Euler – Διάφορες περιπτώσεις στήριξης 2/4

Λυγισμός πρισματικών φορέων Θεωρία του Euler – Διάφορες περιπτώσεις στήριξης 3/4 Γενικά το κρίσιμο φορτίο λυγισμού μπορεί να γραφεί στη μορφή: 𝑃 𝐶𝑅 = 𝜋 2 𝐸𝐼 4 𝐿 2 Όπου Le είναι το ισοδύναμο μήκος το οποίο εξαρτάται από τον τρόπο στήριξης του φορέα στα άκρα και δίνεται από τις ακόλουθες σχέσεις ανάλογα με την περίπτωση: Αρθρώσεις και στα δύο άκρα Le = 1.0 * L Πακτώσεις και στα δύο άκρα Le = 0.5 * L Ένα άκρο πακτωμένο και ένα ελεύθερο Le = 2.0 * L Ένα άκρο πακτωμένο και ένα αρθρωμένο Le = 0.7 * L

“Buckledmodel”, από Saint Martin με άδεια CC BY-SA 3.0 Λυγισμός πρισματικών φορέων Θεωρία του Euler – Διάφορες περιπτώσεις στήριξης 4/4 “Buckledmodel”, από Saint Martin με άδεια CC BY-SA 3.0

Λυγισμός πρισματικών φορέων 5/5 Κρίσιμη τάση λυγισμού: 𝜎 𝐶𝑅 = 𝑃 𝐶𝑅 𝐴 = 𝜋 2 ΕΙ 𝐴𝐿 2 𝑒 όπου Α το εμβαδό της διατομής Ακτίνα αδράνειας (radius of gyration): Κρίσιμη τάση λυγισμού: 𝜎 𝐶𝑅 = 𝜋 2 Ε L 𝑒 𝑟 2 όπου Le/r ο λόγος λυγηρότητας του φορέα (slenderness ratio) Ferdinand P. Beer, E Russell Johnston, John T. Dewolf, David F. Mazurek, “Mechanics of Materials”, Mc Graw Hill

Λυγισμός πρισματικών φορέων Σχεδιασμός υποστυλωμάτων Ferdinand P. Beer, E Russell Johnston, John T. Dewolf, David F. Mazurek, “Mechanics of Materials”, Mc Graw Hill

Λυγισμός πρισματικών φορέων Επίδραση της μορφολογίας της διατομής Το κρίσιμο φορτίο λυγισμού εξαρτάται έντονα από το λόγο λυγηρότητας, και κατά συνέπεια από το μήκος του φορέα και τη μορφολογία της διατομής. Ένας φορέας θα λυγίσει σε μία κατεύθυνση που είναι κάθετη στον άξονα ως προς τον οποίο ελαχιστοποιείται η ακαμψία ΕΙ. Π.χ μια δοκός Ι θα λυγίσει κατά τον άξονα Gy.

Λυγισμός πρισματικών φορέων Κοντοί/ενδιάμεσοι φορείς Είναι η κρίσιμη τιμή του λόγου λυγηρότητας. Συνήθως λαμβάνεται σpl=σy/2 Η θεωρία του Euler ισχύει για φορείς με μεγάλο λόγο λυγηρότητας.

Λυγισμός πρισματικών φορέων Κοντοί/ενδιάμεσοι φορείς – Johnson Formula Όταν: Για τον υπολογισμό της κρίσιμης τάσης λυγισμού χρησιμοποιείται η σχέση του Johnson: Όπου Α η επιφάνεια της διατομής, Le το ισοδύναμο μήκος του φορέα και Pcr το κρίσιμο φορτίο λυγισμού.

Λυγισμός πρισματικών φορέων Κοντοί/ενδιάμεσοι φορείς – Συντελεστές ασφάλειας Α) Κοντές κολόνες Β) Μακρυές κολόνες

𝑑 2 𝑤 𝑑𝑥 2 + 𝐹 𝐸𝐼 𝑤=− 𝐹𝑒 𝐸𝐼 𝑚 2 = 𝐹 𝐸𝐼 Λυγισμός πρισματικών φορέων Έκκεντρη αξονική φόρτιση – Secant Formula 1/2 𝐹 𝑤+𝑒 =𝑀 𝑑 2 𝑤 𝑑𝑥 2 + 𝐹 𝐸𝐼 𝑤=− 𝐹𝑒 𝐸𝐼 𝑚 2 = 𝐹 𝐸𝐼 𝑤 𝑥 =𝐴 sin 𝑚𝑥 +𝐵 cos 𝑚𝑥 −𝑒 𝑤=𝑒 tan 𝑚𝐿 2 sin 𝑚𝑥 + cos 𝑚𝑥 −1 𝑤 0 =𝑤 𝐿 =0 www.efunda.com

Λυγισμός πρισματικών φορέων Έκκεντρη αξονική φόρτιση – Secant Formula 2/2 www.efunda.com 𝜎= 𝐹 𝐴 + 𝑀𝑦 𝐼 = 𝐹 𝐴 + 𝐹 𝑤+𝑒 𝑦 𝐼 𝜎 𝑚𝑎𝑥 = 𝐹 𝐴 + 𝑀 𝑚𝑎𝑥 𝑦 𝑚𝑎𝑥 𝐼 = 𝐹 𝐴 + 𝐹 𝑤 𝑚𝑎𝑥 +𝑒 𝑐 𝐼 𝑤 𝑚𝑎𝑥 =𝑤 𝐿 2 =𝑒 sec 𝑚𝐿 2 −1 𝜎 𝑚𝑎𝑥 = 𝐹 𝐴 + 𝐹∙𝑒∙𝑐 𝐼 sec 𝑚𝐿 2 = 𝐹 𝐴 1+ 𝐴 𝐼 𝑒𝑐 sec 𝐹 𝐸𝐼 𝐿 2 𝜎 𝑚𝑎𝑥 = 𝐹 𝐴 1+ 𝑒𝑐 𝑟 2 sec 𝐹 𝐸𝐴 𝐿 2𝑟 όπου, C είναι η μέγιστη απόσταση από τον ουδέτερο άξονα της εξωτερικής ίνας.

Τέλος Ενότητας

Σημειώματα

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας, Αλέξανδρος Θεοδουλίδης 2014. Αλέξανδρος Θεοδουλίδης. «Αντοχή πλοίου ΙΙ (Θ). Ενότητα 3: Ελαστικός λυγισμός πρισματικών φορέων». Έκδοση: 1.0. Αθήνα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr.

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό. Οι όροι χρήσης των έργων τρίτων επεξηγούνται στη διαφάνεια «Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων». Τα έργα για τα οποία έχει ζητηθεί άδεια αναφέρονται στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων Δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, παρά μόνο εάν ζητηθεί εκ νέου άδεια από το δημιουργό. © διαθέσιμο με άδεια CC-BY Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου και η δημιουργία παραγώγων αυτού με απλή αναφορά του δημιουργού. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-SA Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού, και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-ND Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η δημιουργία παραγώγων του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-SA διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-ND Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου και η δημιουργία παραγώγων του. διαθέσιμο με άδεια CC0 Public Domain Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. διαθέσιμο ως κοινό κτήμα χωρίς σήμανση Συνήθως δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου.

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Ferdinand P. Beer, E Russell Johnston, John T. Dewolf, David F. Mazurek, “Mechanics of Materials”, Mc Graw Hill Ιστοσελίδα engineering Fundamentals www.efunda.com

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.