Υπολογιστική Μοντελοποίηση στη Βιοϊατρική Τεχνολογία Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2013

Εισαγωγή Πίνακες και Τανυστές Εισαγωγή Πίνακες και Τανυστές

Αναπαράσταση μαθηματικών αντικειμένων σε μορφή πινάκων1/4 Βαθμωτά μεγέθη: Τα μεγέθη που περιγράφονται πλήρως αναφέροντας μόνο έναν αριθμό, π.χ. Η θερμοκρασία σε ένα δεδομένο υλικό σημείο προσδιορίζεται ως Τ=20οC. Διανυσματικά μεγέθη: Τα μεγέθη τα οποία για να περιγραφούν πλήρως απαιτούνται περισσότεροι από ένας αριθμοί, π.χ. Για τον προσδιορισμό της ταχύτητας ενός σωματιδίου πρέπει να γνωρίζουμε α) το μέτρο, β) τη διεύθυνση και γ) τη φορά . Δηλαδή η ταχύτητα ως v έχει τρείς βαθμωτές συνιστώσες v1, v2, v3 (μέτρο, διεύθυνση, φορά) στο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων.

Αναπαράσταση μαθηματικών αντικειμένων σε μορφή πινάκων2/4 Διανυσματικά μεγέθη: Ένα διάνυσμα b ορίζεται από ένα πίνακα στήλη τάξης 1xn, ως εξής: Θα χρησιμοποιούμε ως συμβολισμό τον ανάστροφο του διανύσματος bΤ που προκύπτει εναλλάσσοντας τις γραμμές με τις στήλες :

Αναπαράσταση μαθηματικών αντικειμένων σε μορφή πινάκων3/4 Διανυσματικά μεγέθη: Για ορισμένες φυσικές ποσότητες απαιτείται πιο πολύπλοκη αναπαράσταση από ένα διάνυσμα. Παράδειγμα: Το πεδίο τάσεων σε ένα υλικό σημείο περιγράφεται από τιμές δυνάμεων ανά μονάδα επιφάνειας σε 3 ορθογώνια επίπεδα. Συνεπώς απαιτούνται 9 βαθμωτά μεγέθη (3 για κάθε δύναμη) τα οποία γράφονται σε μορφή 2Δ πίνακα ως:

Αναπαράσταση μαθηματικών αντικειμένων σε μορφή πινάκων4/4 Γενικά ένας 2Δ πίνακας Β τάξεως m x n ορίζεται ως ένα μαθηματικό αντικείμενο με όρους στους οποίους ο πρώτος δείκτης δηλώνει τον αριθμό γραμμής και ο δεύτερος τον αριθμό στήλης. Εναλλάσσοντας τις γραμμές με τις στήλες λαμβάνουμε τον ανάστροφο πίνακα: Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι συμμετρικός όταν : Θα χρησιμοποιούμε τετραγωνικούς πίνακες όπου m=n.

Βασικές σχέσεις1/4 Πρόσθεση μεταξύ διανυσμάτων a και b: Πρόσθεση μεταξύ Πινάκων A, B (της ίδιας τάξης έστω mxn) Ο πίνακας C είναι επίσης της τάξης mxn. Πολλαπλασιασμός μεταξύ διανυσμάτων a και b όπου c βαθμωτό μέγεθος

Βασικές σχέσεις2/4 Ο δυαδικός πολλαπλασιασμός οδηγεί στον πίνακα C Πολλαπλασιασμός μεταξύ πίνακα και διανύσματος ή μεταξύ δύο πινάκων : Ισχύει επίσης: Εσωτερικό Γινόμενο πινάκων:

Βασικές σχέσεις3/4 Αντίστροφος του Πίνακα Α είναι ο πίνακας Α-1 για τον οποίο ισχύει: όπου: Ι ο μοναδιαίος πίνακας και Ορίζουσα Πίνακα Α : όπου:

Βασικές σχέσεις4/4 Ο Αντίστροφος ενός πίνακα ορίζεται μόνο όταν η ορίζουσα του πίνακα είναι μή μηδενική Ορθογωνιότητα πινάκων: Δύο πίνακες Α και Β είναι ορθογώνιοι μεταξύ τους εάν ισχύει: Ένας πίνακας Α είναι ορθογώνιος εάν ισχύει:

Τανυστές και σχέσεις μεταξύ τανυστών1/2 Τα βαθµωτά και τα διανυσµατικά µεγέθη είναι δυο ειδικές περιπτώσεις µιας πιο γενικής έννοιας, που ονοµάζεται τανυστής τάξεως n, του οποίου ο προσδιορισµός σε οποιοδήποτε σύστηµα συντεταγµένων τριών διαστάσεων απαιτεί 3n αριθµούς, που ονοµάζονται συνιστώσες του τανυστή. Κύριο χαρακτηριστικό τανυστή: ο νόµος µετασχηµατισµού των συνιστωσών του, δηλ. ο τρόπος µε το οποίο οι συνιστώσες του (x, y, z), σε ένα σύστηµα συντεταγµένων Ο, σχετίζονται µε τις συνιστώσες του (x΄, y΄, z΄) σε ένα άλλο σύστηµα συντεταγµένων Ο΄. Τα βαθµωτά µεγέθη είναι τανυστές μηδενικής τάξεως (0) µε 1 συνιστώσα, Τα διανύσµατα είναι τανυστές πρώτης (1) τάξεως µε 3 συνιστώσες Αντίστοιχα ένας τανυστής δεύτερης (2) τάξης έχει 9 συνιστώσες, τρίτης τάξης έχει 27 συνιστώσες και τέταρτης τάξης 81 συνιστώσες.

Τανυστές και σχέσεις μεταξύ τανυστών2/2 Γραφική αναπαράσταση ενός διανύσματος b στο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων με συντεταγμένες και . : οι συνιστώσες των διανυσμάτων στα δύο συστήματα καρτεσιανών συντεταγμένων

Τανυστές και σχέσεις μεταξύ τανυστών Τανυστής 2ης τάξης Β: Ο μετασχηματισμός των συνιστωσών του τανυστή εξαιτίας της αλλαγής του συστήματος συντεταγμένων δίνεται από: που αντιστοιχεί στον πολ/μό πινάκων: Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων (έχει ως αποτέλεσμα βαθμωτό μέγεθος): : οι συνιστώσες στα δύο συστήματα καρτεσιανών συντεταγμένων και

Τανυστές και σχέσεις μεταξύ τανυστών Πολλαπλασιασμός τανυστή και διανύσματος (έχει ως αποτέλεσμα διάνυσμα): Πολλαπλασιασμός μεταξύ 2 τανυστών (έχει ως αποτέλεσμα τανυστή): Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις ισχύει η ορθογωνιότητα μεταξύ των μοναδιαίων διανυσμάτων: Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων : Βαθμωτό γινόμενο τανυστών (έχει ως αποτέλεσμα βαθμωτό μέγεθος:

Τανυστές και σχέσεις μεταξύ τανυστών Ευκλείδεια νόρμα διανύσματος: Ευκλείδεια νόρμα τανυστή: Τανυστής περιστροφής R που αντιστοιχεί σε δύο συστήματα συντεταγμένων με μοναδιαία διανύσματα και : Η σχέση οδηγεί στην περιστροφή του διανύσματος . Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Έστω η εξίσωση: όπου λ είναι βαθμωτό μέγεθος και p διάνυσμα Για μη μηδενικές λύσεις πρέπει να ισχύει: όπου:

Τανυστές και σχέσεις μεταξύ τανυστών Εάν ο πίνακας Α είναι συμμετρικός και τα στοιχεία του είναι πραγματικοί αριθμοί τότε υπάρχουν 3 πραγματικές λύσεις λ1 , λ2 , λ3 που ονομάζονται ιδιοτιμές του πίνακα. Σε κάθε ιδιοτιμή αντιστοιχεί ένα ιδιοδιάνυσμα pk . Τα ιδιοδιανύσματα είναι ορθογώνια και αποτελούν την κύρια βάση του τανυστή Α . Συνεπώς ο τανυστής στην κύρια βάση του γράφεται ως: Για τον υπολογισμό των ιδιοδιανυσμάτων χρησιμοποιούμε για δεδομένη ιδιοτιμή δύο από τις εξισώσεις και μία εξίσωση που δείχνει ότι το είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα. Δηλαδή:

Διαφορικός λογισμός Διαφορικός τελεστής βαθμίδα (gradient): Βαθμίδα μιας βαθμωτής συνάρτησης : Βαθμίδα ενός διανυσματικού πεδίου ή αλλιώς το δυαδικό γινόμενο μεταξύ των διανυσμάτων : Απόκλιση διανυσματικού πεδίου (βαθμωτό μέγεθος):

Διαφορικός λογισμός Απόκλιση τανυστικού πεδίου (διάνυσμα): Απόκλιση τανυστικού πεδίου (διάνυσμα): Στροβιλισμός ενός διανυσματικού πεδίου (διάνυσμα): Λαπλασιανή (Laplacian) : Η Λαπλασιανή είναι βαθμωτός διαφορικός τελεστής. Συνεπώς η Λαπλασιανή ενός βαθμωτού πεδίου είναι το βαθμωτό μέγεθος: Η Λαπλασιανή ενός διανυσματικού πεδίου είναι το διάνυσμα:

Ολοκληρωτικά Θεωρήματα Θεώρημα Gauss ή θεώρημα Απόκλισης: Για έναν χώρο με όγκο V περιορισμένο από μια επιφάνεια S για ένα διανυσματικό πεδίο ισχύει: Για βαθμωτό πεδίο : Για τανυστικό πεδίο :

Ολοκληρωτικά Θεωρήματα Έστω ένα συνεχές το οποίο κινείται στο χώρο. Υποθέτοντας ότι το μέσο είναι ένα σύνολο υλικών σημείων τότε φυσικές ποσότητες όπως η πυκνότητα μάζας, θερμοκρασία , ταχύτητα και τάσεις συσχετίζονται με κάθε υλικό σωματίδιο και μεταβάλλονται στο χρόνο καθώς τα σωματίδια κινούνται. Έστω η συνολική τιμή μιας ποσότητας (είναι βαθμωτό μέγεθος: θερμοκρασία, πυκνότητα,…., συνιστώσα διανύσματος ή τανυστή) για όλα τα υλικά σωματίδια που καταλαμβάνουν ένα χώρο όγκου : Ο ρυθμός μεταβολής του δίνεται από: Η παράγωγος υπολογίζεται για τα ίδια υλικά σωματίδια. Το ολοκλήρωμα σε μια επιφάνεια αναπαριστά τη μεταβολή του στην επιφάνεια.

Ολοκληρωτικά Θεωρήματα Η παράγωγος ονομάζεται υλική ή ουσιαστική παράγωγος (material or substantial derivative) όπου: , η τοπική παράγωγος για σταθερές χωρικές συντεταγμένες , η παράγωγος μεταφοράς (convective derivative) που λαμβάνει υπόψη την κίνηση των σωματιδίων Η υλική παράγωγος χρησιμοποιείται στη μελέτη προβλημάτων μεταφοράς (π.χ. μεταφορά θερμότητας και μάζας)

Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Γράψτε τη διαδικασία υπολογισμού του αντίστροφου πίνακα. Για απλοποίηση υποθέτουμε έναν 3x3 πίνακα Α. Ο πίνακας είναι ο πίνακας που ικανοποιεί την εξίσωση Γράφουμε τον πίνακα ως: όπου το διάνυσμα είναι η i –οστή στήλη του πίνακα . Δηλ. ισχύει: όπου τα διανύσματα έχουν συνιστώσες . Επιλύοντας το παραπάνω σύστημα εξισώσεων, προκύπτει ότι οι όροι δίνονται από: όπου είναι ο πίνακας αλγεβρικών συμπληρωμάτων του πίνακα Α.

Παραδείγματα Παράδειγμα 2. Προσδιορίστε τον τανυστή περιστροφής χρησιμοποιώντας την εξίσωση (1) Η σχέση (1) γράφεται ως: (2) Πολλαπλασιάζουμε τον την εξίσωση (2) με και παίρνουμε το άθροισμα: Χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα ορθογωνιότητας των διανυσμάτων βάσης Στη συνέχεια : Η σχέση (2) μπορεί να γραφεί σε δυαδική μορφή ως εξής:

Παραδείγματα Ο τανυστής R σε μορφή πίνακα γράφεται ως: όπου οι συντελεστές είναι τα συνημίτονα των γωνιών μεταξύ των αξόνων και . Σημειώνεται ότι ο πίνακας Τ

Παραδείγματα Παράδειγμα 3. Δείξτε ότι τα ιδιοδιανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους και ότι ο συμμετρικός τανυστής στην κατεύθυνση των ιδιοδιανυσμάτων είναι διαγώνιος Έστω δύο ιδιοδιανύσματα , του συμμετρικού πίνακα Α που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές . Τότε σύμφωνα με την σχέση προκύπτει: Πολ/ντας την (1) με και τη (2) με και αφαιρώντας τις εξισώσεις που θα προκύψουν εφόσον ο πίνακας Α είναι συμμετρικός και ισχύει ότι θα έχουμε: Τα διανύσματα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα και συνεπώς έχουμε ότι : (1) (2) Δηλαδή τα ιδιοδιανύσματα είναι ορθογώνια μεταξύ τους (3)

Παραδείγματα Πολ/ντας από αριστερά την (4) με προκύπτει ότι: Η ορθογωνιότητα των ιδιοδιανυσμάτων είναι εφαρμόσιμη και στην περίπτωση που κάποιες ιδιοτιμές είναι ίσες μεταξύ τους. Για να αποδείξουμε ότι ο πίνακας Α είναι διαγώνιος στη βάση των συντεταγμένων γράφουμε το σύστημα εξισώσεων ως: Σημειώνουμε ότι εξαιτίας της ισχύει ότι Πολ/ντας από αριστερά την (4) με προκύπτει ότι: όπου είναι ο πίνακας στο σύστημα συντεταγμένων των διανυσμάτων βάσης . (4) όπου και συνεπώς

Παραδείγματα Παράδειγμα 4. Προσδιορίστε τον διαφορικό τελεστή «Βαθμίδα» στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων. Οι σχέσεις μεταξύ των συντεταγμένων του Καρτεσιανού συστήματος και του κυλινδρικού συστήματος είναι: Η σχέση μεταξύ των μοναδιαίων διανυσμάτων και είναι:

Παραδείγματα Οι σχέσεις μεταξύ των μερικών παραγώγων στα δύο συστήματα συντεταγμένων είναι: Εφαρμόζοντας τον τελεστή στις παραπάνω σχέσεις προκύπτουν: Οι παράγωγοι των ως προς r και z είναι μηδενικές.

Βασικές Αρχές Μηχανικής Συνεχούς Mέσου

Ορισμός τάσης και τροπής Έστω ένα υλικό σώμα Β το οποίο παραμορφώνεται υπό την επίδραση μηχανικής δράσης. Εξαιτίας της παραμόρφωσης αυτής δημιουργούνται εσωτερικές μηχανικές δυνάμεις οι οποίες προσδιορίζονται υποθέτοντας μικρό όγκο ΔV γύρω από το υλικό σημείο P. όπου : το διάνυσμα τάσης (δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας) : η δύναμη που δρα στην επιφάνεια όπου : η κάθετη συνιστώσα με κατεύθυνση του κάθετου διανύσματος n : η εφαπτομενική συνιστώσα

Ορισμός τάσης και τροπής Έστω ένας στοιχειώδης όγκος γύρω από το σημείο P περιορισμένος από επιφάνειες παράλληλες στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων x1,x2,x3. τα διανύσματα τάσεων σε κάθε μία από τις στοιχειώδεις επιφάνειες ορίζονται ως: όπου : οι κάθετες και εφαπτομενικές συνιστώσες των διανυσμάτων τάσεων σε κάθε στοιχειώδη επιφάνεια. : οι κάθετες τάσεις : οι διατμητικές τάσεις

Ορισμός τάσης και τροπής Οι συνιστώσες μετασχηματίζονται σύμφωνα με: Συνεπώς η τάση σε ένα υλικό σημείο εκφρασμένη με όρους των συνιστωσών αναπαριστά τον τανυστή τάσεων: Αποδεικνύεται ότι ο τανυστής τάσεων είναι συμμετρικός Το διάνυσμα τάσεων σε ένα επίπεδο με κάθετο n μπορεί να αναπαρασταθεί ως: και σ είναι ο τανυστής τάσεων Cauchy Οι ιδιοτιμές των τάσεων που επιδρούν στα επίπεδα προκύπτουν από την ανάλυση ιδιοτιμών. Ο πίνακας τάσεων γίνεται διαγώνιος: Θεώρημα Cauchy p1, p2, p3 Μηδενικές διατμητικές τάσεις

Ορισμός τάσης και τροπής Σε πολλές εφαρμογές το πεδίο τάσεων αναπαρίσταται: από τη μέση τάση από την αποκλίνουσα τάση με συνιστώσες: Οι συνιστώσες τάσεων σε ένα συνεχές πρέπει να ικανοποιούν τις εξισώσεις ισορροπίας όπου είναι οι συνιστώσες της δύναμης ανά μονάδα όγκου Όταν λαμβάνονται υπόψη οι εσωτερικές δυνάμεις τότε: όπου : η πυκνότητα μάζας , : οι συνιστώσες επιτάχυνσης του υλικού σημείου

Ορισμός τάσης και τροπής Αναπαράσταση της τάσης σε μορφή μονοδιάστατου πίνακα: (1) όπου Άρα ο μετασχηματισμός μπορεί να γραφεί σε μορφή: (2) όπου : πίνακας με τα συνημίτονα των γωνιών μεταξύ των αξόνων και Οι εξισώσεις ισορροπίας χρησιμοποιώντας την (1) γράφονται ως: xi

Ορισμός τάσης και τροπής Οι εξισώσεις ισορροπίας σε κυλινδρικές συντεταγμένες είναι:

Ορισμός τάσης και τροπής Τροπή: Μηχανική ποσότητα η οποία χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της παραμόρφωσης του υλικού. Τροπή ενός υλικού σημείου του στοιχειώδους μήκους : ds ή

Ορισμός τάσης και τροπής Διατμητικές τροπές: ορίζονται ως οι μεταβολές της γωνίας μεταξύ δύο ορθογώνιων τμημάτων. Για το σύστημα συντεταγμένων x,y,z οι διατμητικές τροπές δίνονται από: Στη μηχανική συνεχούς μέσου χρησιμοποιείται η τανυστική διατμητική τροπή που ορίζεται ως: όπου : η γωνία μεταξύ των ορθογώνιων τμημάτων dxi και dxj μετά την παραμόρφωση

Ορισμός τάσης και τροπής Ο τανυστής τροπών γράφεται ως : Αναπαράσταση τανυστή τροπών σε μορφή μονοδιάστατου πίνακα: Ο μετασχηματισμός γράφεται ως: όπου : πίνακας με τα συνημίτονα των γωνιών μεταξύ των αξόνων και Υπολογισμός των συνιστωσών της τροπής βάσει των μετατοπίσεων ui : xi

Ορισμός τάσης και τροπής Οι τροπές σε κυλινδρικές συντεταγμένες γράφονται ως: Ρυθμός τροπής/ρυθμός παραμόρφωσης: Τανυστής περιστροφής: δείχνει το ρυθμό περιστροφής υλικού Wii=0; Wji= –Wij