Παρουσίαση Νο. 3 Δισδιάστατα σήματα και συστήματα #2 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ2 Πληροφορία πλάτους-φάσης (1/3) Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου είναι μιγαδική ποσότητα και έτσι μπορεί να γραφεί σε πολική μορφή Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου είναι μιγαδική ποσότητα και έτσι μπορεί να γραφεί σε πολική μορφή Η πληροφορία φέρεται κυρίως από την φάση Φ x ( ) Η πληροφορία φέρεται κυρίως από την φάση Φ x ( )

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ3 Πληροφορία πλάτους-φάσης (2/3) Έστω η εικόνα x με F{x}=M x e jΦx και δημιουργώ τις εικόνες x p, x m ώστε x p =F -1 {ce jΦx }, x m =F -1 {Μ x e jf }, όπου c, f σταθερές Εικόνα x, εικόνα x p με c=1, εικόνα x m με f=0,4π

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ4 Πληροφορία πλάτους-φάσης (3/3) Έστω οι εικόνες x,y με F{x}=M x e jΦx, F{y}=M y e jΦy και δημιουργώ τις εικόνες z, w ώστε z=F -1 {M y e jΦx }, w=F -1 {Μ x e jΦy } Έστω οι εικόνες x,y με F{x}=M x e jΦx, F{y}=M y e jΦy και δημιουργώ τις εικόνες z, w ώστε z=F -1 {M y e jΦx }, w=F -1 {Μ x e jΦy } Εικόνα x Εικόνα y Εικόνα z Εικόνα w

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ5 Το πρόβλημα της ανάκτησης πλάτους (1/4) Σύμφωνα με αυτό γίνεται προσπάθεια ανακατασκευής ενός σήματος x(n 1,n 2 ) μόνο από την φάση Φ x του μετασχηματισμού Fourier Σύμφωνα με αυτό γίνεται προσπάθεια ανακατασκευής ενός σήματος x(n 1,n 2 ) μόνο από την φάση Φ x του μετασχηματισμού Fourier Το σήμα x'(n 1,n 2 ) που προκύπτει ισούται με αx(n 1,n 2 ) Το σήμα x'(n 1,n 2 ) που προκύπτει ισούται με αx(n 1,n 2 ) Περιορισμοί: Περιορισμοί: –Το x(n 1,n 2 ) πραγματικό και πεπερασμένο –Ο μετασχηματισμός Fourier δεν παραγοντοποιείται σε γινόμενο πολυωνύμων των e jω1 και e jω2 Στις εικόνες ισχύουν οι παραπάνω περιορισμοί Στις εικόνες ισχύουν οι παραπάνω περιορισμοί

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ6 Το πρόβλημα της ανάκτησης πλάτους (2/4) Δύο λύσεις για το πρόβλημα: Δύο λύσεις για το πρόβλημα: –Μέσω γραμμικού συστήματος –Μέσω επαναληπτικής μεθόδου Γραμμικό σύστημα Γραμμικό σύστημα –Αν Ν 2 άγνωστοι τότε δειγματοληπτούμε σε Ν 2 σημεία (ω 1,ω 2 ) –Το σύστημα που προκύπτει είναι της μορφής Ax=0 οπότε η λύση είναι της μορφής αx(n 1,n 2 )

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ7 Το πρόβλημα της ανάκτησης πλάτους (3/4) –Η μέθοδος γραμμικού συστήματος είναι κατάλληλη για μικρές εικόνες αφού για παράδειγμα αν έχουμε εικόνα 512x512 τότε απαιτούνται εξισώσεις!!! Επαναληπτική μέθοδος Επαναληπτική μέθοδος –Θέτει περιορισμούς » Στον χωρικό πεδίο: πραγματικές τιμές και τα εκτός εικόνας εικονοστοιχεία μηδέν » Στο συχνοτικό πεδίο: ο μετασχηματισμός Fourier δεν πρέπει να παραγοντοποιείται Κριτήριο σταματήματος: Η φάση του αποτελέσματος πρέπει Κριτήριο σταματήματος: Η φάση του αποτελέσματος πρέπει να είναι ίση (ή ~ = ) με αυτή της αρχικής εικόνας να είναι ίση (ή ~ = ) με αυτή της αρχικής εικόνας

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ8 Το πρόβλημα της ανάκτησης πλάτους (4/4) Επαναληπτική διαδικασία Επαναληπτική διαδικασία

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ9 Projection-Slice Theorem (1/5) Χρησιμοποιείται στην υπολογιστική τομογραφία Χρησιμοποιείται στην υπολογιστική τομογραφία –Απεικόνιση του εσωτερικού στερεών σωμάτων (της τομής f(x,y) ) με μη επεμβατικό τρόπο Μπορεί επίσης να βοηθήσει στη διαισθητική ερμηνεία των εικόνων στο πεδίο συχνοτήτων Μπορεί επίσης να βοηθήσει στη διαισθητική ερμηνεία των εικόνων στο πεδίο συχνοτήτων

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ10 Projection-Slice Theorem (2/5) Θυμίζουμε ότι για την συνεχή φυσική σκηνή f(x,y) το ζεύγος Fourier είναι Θυμίζουμε ότι για την συνεχή φυσική σκηνή f(x,y) το ζεύγος Fourier είναι Πρέπει η συνάρτηση f(x,y) το ζεύγος Fourier να είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη Πρέπει η συνάρτηση f(x,y) το ζεύγος Fourier να είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ11 Projection-Slice Theorem (3/5) Κατασκευή της 1-D συνάρτησης p θ (t) Κάθε τιμή της p θ (t) δίνεται από το άθροισμα των τιμών της τομής κατά μήκος των γραμμών που φαίνονται στο σχήμα

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ12 Projection-Slice Theorem (4/5) Μετασχηματισμός Radon (προβολή της f(x,y) υπό γωνία θ ) Μετασχηματισμός Radon (προβολή της f(x,y) υπό γωνία θ ) Η συνάρτηση f(x,y) εξαρτάται από το υλικό της τομής αφού κάθε υλικό παρουσιάζει διαφορετικές ιδίοτητες (π.χ., απορρόφηση σε κάποια ακτινοβολία) Η συνάρτηση f(x,y) εξαρτάται από το υλικό της τομής αφού κάθε υλικό παρουσιάζει διαφορετικές ιδίοτητες (π.χ., απορρόφηση σε κάποια ακτινοβολία) Αλλαγή συντεταγμένων από το σύστημα t,u στο x,y Αλλαγή συντεταγμένων από το σύστημα t,u στο x,y

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ13 Projection-Slice Theorem (5/5) Θεώρημα Projection-Slice

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ14 Ανακατασκευή από προβολές 1/2 (το παράδειγμα της αξονικής τομογραφίας) Όπου η α(d) είναι η σταθερά εκθετικής απόσβεσης κατά μήκος της διαδρομής d και δίνεται ως  N s : αριθμός εκπεμπομένων φωτονίων ανά χρονική μονάδα N s : αριθμός εκπεμπομένων φωτονίων ανά χρονική μονάδα N r : αριθμός λαμβανομένων φωτονίων ανά χρονική μονάδα N r : αριθμός λαμβανομένων φωτονίων ανά χρονική μονάδα Σύμφωνα με το νόμο Lambert - Beer : Σύμφωνα με το νόμο Lambert - Beer : Αν πάρουμε φυσικό λογάριθμο και στις δύο πλευρές του Νόμου Lambert-Beer βρίσκουμε την απορροφητικότητα δια μέσου της συγκεκριμένης διαδρομής Αν πάρουμε φυσικό λογάριθμο και στις δύο πλευρές του Νόμου Lambert-Beer βρίσκουμε την απορροφητικότητα δια μέσου της συγκεκριμένης διαδρομής 

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ15 Ανακατασκευή από προβολές 2/2 Για την πλήρη ανακατασκευή του στερεού σώματος –Εκτιμάται η F(Ω 1,Ω 2 ) και κατ’ επέκταση η f(x,y) από τον υπολογισμό της p θ (t) για διάφορες γωνίες στο διάστημα [0 π] –Εφαρμόζεται η παραπάνω διαδικασία για διάφορα παράλληλα επίπεδα (τομές) και στη συνέχεια γίνεται η κατάλληλη αντιστοίχησή τους

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ16 Σχέση Χώρου – Συχνότητας F(Ω 1, Ω 2 ) = FT[f(t 1,t 2 )] F(Ω 1, Ω 2 ) = FT[f(t 1,t 2 )] f(t 1,t 2 ): απόλυτα ολοκληρώσιμη f(t 1,t 2 ): απόλυτα ολοκληρώσιμη Εάν f(t 1,t 2 ): ζωνοπεριορισμένη  f(n 1,n 2 ) Εάν f(t 1,t 2 ): ζωνοπεριορισμένη  f(n 1,n 2 ) F(ω 1, ω 2 ) = DSFT[f(n 1,n 2 )], (DS: discrete space) F(ω 1, ω 2 ) = DSFT[f(n 1,n 2 )], (DS: discrete space) Εάν f(n 1,n 2 ) περιορισμένης χωρικής επέκτασης Εάν f(n 1,n 2 ) περιορισμένης χωρικής επέκτασης  F(k 1, k 2 ) (δειγματοληψία του DSFT)  F(k 1, k 2 ) (δειγματοληψία του DSFT) F(k 1, k 2 ) = DFT[f(n 1,n 2 )] F(k 1, k 2 ) = DFT[f(n 1,n 2 )]

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ17 Περιγραφή συχνοτικού περιεχομένου (1/5) To ζεύγος DFT για 2D σήματα είναι To ζεύγος DFT για 2D σήματα είναι (με συμβολισμό πιο συνήθη σε ΨΕΑΕ): (με συμβολισμό πιο συνήθη σε ΨΕΑΕ): Εμφάνιση συχνοτήτων σε μονοδιάστατα σήματα Εμφάνιση συχνοτήτων σε μονοδιάστατα σήματα

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ18 Περιγραφή συχνοτικού περιεχομένου (2/5) Όμοια για τα δισδιάστατα σήματα Η ολίσθηση είναι της μορφής F(u,v)  F(u-N/2,v-N/2) Χαμηλές συχνότητες –Ομαλές περιοχές στην εικόνα Υψηλές συχνότητες –Περιγράμματα και άκρα εικόνας λόγω παραθύρωσης

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ19 Περιγραφή συχνοτικού περιεχομένου (3/5) Μετασχηματισμός Fourier (στο σύστημα αξόνων u-v), p 0 (t) (κατά μήκος του άξονα v), p π/2 (t) (κατά μήκος του άξονα u) Η υψηλή ενέργεια που εμφανίζεται στις υψηλές συχνότητες κατά μήκος των αξόνων δικαιολογείται από τις έντονες διακυμάνσεις και τυχόν ασυνέχειες κατά μήκος του άξονα t των καμπυλών p θ (t) Η υψηλή ενέργεια που εμφανίζεται στις υψηλές συχνότητες κατά μήκος των αξόνων δικαιολογείται από τις έντονες διακυμάνσεις και τυχόν ασυνέχειες κατά μήκος του άξονα t των καμπυλών p θ (t) v u

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ20 Περιγραφή συχνοτικού περιεχομένου (4/5) Μετασχηματισμός Fourier, p 3π/4 (t) (κατά μήκος της v=-u), p π/4 (t) (κατά μήκος της v=u) Μετασχηματισμός Fourier, p 3π/4 (t) (κατά μήκος της v=-u), p π/4 (t) (κατά μήκος της v=u) Ενώ στο άξονα v=-u υπάρχει ενέργεια στις υψηλές συχνότητες (η αντίστοιχη καμπύλη μεταβάλλεται γρήγορα) δεν συμβαίνει το ίδιο με τον άξονα v=u (η αντίστοιχη καμπύλη είναι σαφώς ομαλότερη) Ενώ στο άξονα v=-u υπάρχει ενέργεια στις υψηλές συχνότητες (η αντίστοιχη καμπύλη μεταβάλλεται γρήγορα) δεν συμβαίνει το ίδιο με τον άξονα v=u (η αντίστοιχη καμπύλη είναι σαφώς ομαλότερη)

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ21 Περιγραφή συχνοτικού περιεχομένου (5/5) Άλλα παραδείγματα: Άλλα παραδείγματα:

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ22 Δειγματοληψία (1/5) Η εικόνα ψηφιοποιείται για να γίνει η επεξεργασία της από υπολογιστή Η εικόνα ψηφιοποιείται για να γίνει η επεξεργασία της από υπολογιστή Η δειγματοληψία αναφέρεται στην διακριτοποίηση των αξόνων x,y της εικόνας (δηλ. του πεδίου ορισμού) Η δειγματοληψία αναφέρεται στην διακριτοποίηση των αξόνων x,y της εικόνας (δηλ. του πεδίου ορισμού) Από το σήμα x α (t 1,t 2 ) λαμβάνεται το σήμα x(n 1,n 2 ) Από το σήμα x α (t 1,t 2 ) λαμβάνεται το σήμα x(n 1,n 2 ) –Ομοιόμορφη δειγματοληψία (εύκολη υλοποίηση) –Ανομοιόμορφη δειγματοληψία (π.χ., περισσότερα δείγματα στα περιγράμματα) Δυο ενδιαφέροντα προβλήματα Δυο ενδιαφέροντα προβλήματα –Σχέση φασμάτων συνεχούς και διακριτού σήματος –Ανακατασκευή συνεχούς από διακριτό σήμα

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ23 Δειγματοληψία (2/5) Ορθογώνιο πλέγμα Ορθογώνιο πλέγμα Εξαγωνικό πλέγμα Εξαγωνικό πλέγμα (βέλτιστο για κυκλικά φάσματα) (βέλτιστο για κυκλικά φάσματα) Πλέγμα δειγματοληψίας Πλέγμα δειγματοληψίας –t = Vn, t = [t 1,t 2 ] T, n = [n 1, n 2 ] T, V = [v ij ] 2x2 –x(n) = x α (Vn)

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ24 Δειγματοληψία (3/5) Σχέση φασμάτων (FT – DSFT) Σχέση φασμάτων (FT – DSFT) –x(n)=x α (Vn) Σχέση φασμάτων με χρήση ορθογώνιου πλέγματος Σχέση φασμάτων με χρήση ορθογώνιου πλέγματος –x(n 1,n 2 ) = x α (n 1 T 1,n 2 T 2 ), T=T 1 xT 2 (χωρική περίοδος)

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ25 Δειγματοληψία (4/5) Παράδειγμα συνεχούς και διακριτού φάσματος

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ26 Δειγματοληψία (5/5) Ανακατασκευή αναλογικού σήματος Ανακατασκευή αναλογικού σήματος –Εφαρμογή ορίου Nyquist σε κάθε συνιστώσα κατά την δειγματοληψία για να αποφευχθεί η αναδίπλωση συχνότητας

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ27 Κβαντισμός (1/3) Ο κβαντισμός αναφέρεται στη διακριτοποίηση της τιμής f του κάθε εικονοστοιχείου (δηλαδή του πεδίου τιμών) Ο κβαντισμός αναφέρεται στη διακριτοποίηση της τιμής f του κάθε εικονοστοιχείου (δηλαδή του πεδίου τιμών) Διαδικασία κβαντισμού Διαδικασία κβαντισμού –To πεδίο τιμών της f χωρίζεται σε L υποδιαστήματα –Οι ακραίες τιμές κάθε υποδιαστήματος είναι τα όρια απόφασης d i-1, d i και μια τιμή μεταξύ αυτών ονομάζεται επίπεδο κβάντισης r i –Αν d i-1 < f ≤ d i τότε το f q = Q(f) = r i

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ28 Κβαντισμός (2/3) Θόρυβος κβαντισμού: f=f q +e q –To e q εξαρτάται από το σήμα και το L Ομοιόμορφος κβαντισμός –d i -d i-1 =Δ, r i =(d i +d i-1 )/2, 1≤i≤L, Δ=(d L -d 0 )/2 (# ψηφίων)

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ29 Παράδειγμα κβαντισμού (3/3) Επανακβαντισμός εύρους τιμών [0:255] στα πέντε επίπεδα [0:51:255] και αντιστοίχιση στην κεντρική τιμή Παρατηρήστε ότι στην νέα εικόνα εμφανίζονται μόνο πέντε επίπεδα του γκρι

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ30 Διανυσματικός κβαντισμός (1/4) Σε αυτή την περίπτωση οι ποσότητες που κβαντίζονται είναι Ν-διάστατα διανύσματα που παράγονται είτε από μια διανυσματική πηγή είτε μετά από ομαδοποίηση βαθμωτών ποσοτήτων Σε αυτή την περίπτωση οι ποσότητες που κβαντίζονται είναι Ν-διάστατα διανύσματα που παράγονται είτε από μια διανυσματική πηγή είτε μετά από ομαδοποίηση βαθμωτών ποσοτήτων Δημιουργείται ένας Ν-διάστατος χώρος Δημιουργείται ένας Ν-διάστατος χώρος Διαδικασία κβαντισμού (δοθέντος του διαν. κβαντιστή) Διαδικασία κβαντισμού (δοθέντος του διαν. κβαντιστή) –Ο χώρος είναι διαχωρισμένος σε L υποπεριοχές R i –Τα όρια αυτών των υποπεριοχών είναι τα όρια απόφασης και επιλέγεται κάποιο διάνυσμα εντός των ορίων που ονομάζεται επίπεδο κβάντισης r i –Αν το διάνυσμα g ανήκει στην περιοχή R i τότε το g q = =Q(g)=r i και g=g q +e q

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ31 Παράδειγμα διανυσματικού κβαντισμού (2/4) Έστω g=[g 1 g 2 ] T, 0≤g 1,g 2 ≤1 και L=4 Έστω g=[g 1 g 2 ] T, 0≤g 1,g 2 ≤1 και L=4 Οι περιοχές μπορούν να έχουν οποιοδήποτε σχήμα και τα διανύσματα r i μπορεί να μην είναι στο κέντρο κάθε περιοχής Οι περιοχές μπορούν να έχουν οποιοδήποτε σχήμα και τα διανύσματα r i μπορεί να μην είναι στο κέντρο κάθε περιοχής

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ32 Διανυσματικός κβαντισμός (3/4) Επιλογή R i, r i Επιλογή R i, r i –Βέλτιστη επιλογή με βάση κάποιο κριτήριο (π.χ. Ευκλείδιο απόσταση) »D=E[d(g,g q )], d(g,g q )=(g q -g) T (g q -g) –Για τον βέλτιστο διανυσματικό κβαντιστή πρέπει να ισχύουν οι εξής ιδιότητες »(1) g q =Q(g)=r i, αν και μόνο αν d(g,r i )≤d(g,r j ), j≠i, 1≤j≤L »(2) To r i πρέπει να είναι κεντροειδές, δηλαδή

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ33 Διανυσματικός κβαντισμός (4/4) Ο καθορισμός των r i μπορεί να γίνει με τον αλγόριθμο Κ-means Ο καθορισμός των r i μπορεί να γίνει με τον αλγόριθμο Κ-means 1.Επιλέγονται τυχαία M (Μ>>L) διανύσματα g i (διανύσματα εκπαίδευσης) 2.Από αυτά επιλέγονται L και θεωρούνται τα κεντροειδή διανύσματα. 3.Χρησιμοποιώντας το MSE D (MSE Distance) κατηγοριοποιούνται τα διανύσματα στις L υποπεριοχές (ιδιότητα 1 του βέλτιστου κβαντιστή) 4.Για κάθε υποπεριοχή υπολογίζονται τα νέα κεντροειδή - Όταν χρησιμοποιείται το MSE Distance τότε τα κεντροειδή υπολογίζονται από τον μέσο όρο των διανυσμάτων κάθε περιοχής - Όταν χρησιμοποιείται το MSE Distance τότε τα κεντροειδή υπολογίζονται από τον μέσο όρο των διανυσμάτων κάθε περιοχής 5.Επιστροφή στο βήμα 3 χρησιμοποιώντας να νέα κεντροειδή – αυτή η διαδικασία συνεχίζεται έως ότου τα κεντροειδή παραμείνουν τα ίδια