Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 3ο Εξάμηνο ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 3ο Εξάμηνο Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Signals and Spectral Methods in Geoinformatics Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014 – 2015 Πρόγραμμα: Τετάρτη 4 – 8 μ.μ. Διδάσκοντες: Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος Ιστοσελίδες μαθήματος: http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html http://web.auth.gr/e-topo/

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ – ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ (SPACE DOMAIN – FREQUENCY DOMAIN) Χώρος πραγματικών αριθμών Μετασχηματισμοί Fourier (Fast Fourier Transform Techniques) Χώρος συχνοτήτων Αριθμός κύματος Συχνότητα Διακριτές τιμές Υ Χ

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER   (Direct Fourier Transform – DFT) Χώρος αριθμών Χώρος συχνοτήτων Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier   (Inverse Fourier Transform – IFT) Χώρος συχνοτήτων Χώρος αριθμών

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER Πλεονεκτήματα Ταχύτητα στους υπολογισμούς Ευέλικτη διαχείριση μεγάλου πλήθους δεδομένων Τελικό αποτέλεσμα στο χώρο των αριθμών Ίδιας τάξης ακρίβειας με τις μεθόδους υπολογισμού στο χώρο των αριθμών Δυνατότητα υπολογισμών στο επίπεδο και τη σφαίρα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER Μειονεκτήματα Στις δύο διαστάσεις (2-D) τα δεδομένα θα πρέπει να είναι διαθέσιμα σε πλέγμα Δεν υπάρχει δυνατότητα εκτίμησης της ακρίβειας των αποτελεσμάτων

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER

Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier –1- Όταν το x διατρέχει ολόκληρο το διάστημα των πραγματικών αριθμών η σειρά Fourier δίνεται από το ολοκλήρωμα Fourier συναρτήσει του κυματαριθμού k [cycles/m] Γιατί k και όχι ω ;;;;

Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier –2-

Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier –3- Με αντικατάσταση Ολοκληρώνοντας στο διάστημα [0, Τ] για τις διακριτές συχνότητες

Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier –4- Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ] καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier Ευθύς μετασχηματισμός Fourier O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier Ευθύς αντίστροφος

Σειρά Fourier σε συνεχώς μεγαλύτερο διάστημα Τ ∞

Σειρά Fourier σε συνεχώς μεγαλύτερο διάστημα Τ ∞

Σειρά Fourier σε συνεχώς μεγαλύτερο διάστημα Τ ∞

Σειρά Fourier σε συνεχώς μεγαλύτερο διάστημα Τ ∞

Σειρά Fourier σε συνεχώς μεγαλύτερο διάστημα Τ ∞

Σειρά Fourier σε συνεχώς μεγαλύτερο διάστημα Τ ∞ 3

Σειρά Fourier σε συνεχώς μεγαλύτερο διάστημα Τ ∞

Σειρά Fourier σε συνεχώς μεγαλύτερο διάστημα Τ ∞ διάστημα Τ, δίνει συντελεστές για συνεχώς πιο πυκνές συχνότητες ωk. Καθώς το διάστημα Τ τίνει στο άπειρο οι συχνότητες ωk τείνουν να καλύψουν περισότερες από το σύνολο των πραγματικών τιμών συχνοτήτων () Για άπειρο διάστημα Τ δηλαδή για (  t  ) απαιτείται το σύνολο των πραγματικών τιμών των συχνοτήτων () και από το ανάπτυγμα σε σειρά Fourier περνούμε στον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier συνεχείς συχνότητες - όλες οι δυνατές τιμές (    ) διακριτές συχνότητες ωk με βήμα Δω = 2π / Τ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER Βασικές σχέσεις ευθύς μετασχηματισμός Fourier από τον χώρο των αριθμών στο χώρο των συχνοτήτων αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier από τον χώρο των συχνοτήτων στον χώρο των αριθμών ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!! ζεύγος μετασχηματισμού Fourier

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος πραγματικό μέρος φάσματος φανταστικό μέρος φάσματος

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER φάσμα εύρους (amplitude spectrum) φάσμα ενέργειας (energy spectrum) φάσμα φάσης (phase spectrum)

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ φάσμα εύρους φάσμα φάσης πολική μορφή:

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ άρτια περιττή φάσμα εύρους άρτια συνάρτηση φάσμα φάσης περιττή συνάρτηση

Ο μετασχηματισμός Fourier της εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0) και πραγματικό και φανταστικό μέρος

Εκθετικό σήμα φάσμα εύρους φάσμα φάσης

Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB %plot the amplitude spectrum and phase angle of %the fourier transform of a simple exponential %function clear all clc % t=1:0.01:50; w=-50:0.2:50; a=10; y=exp(-a*t); X=1./(a+j*w); %plot function exp(-at) subplot(2,1,1) [H3]=plot(y(1:50)); set(H3,'LineWidth',2) grid on xlabel('Time (t)') ylabel('e(-at)')

Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB %plot magnitude of X and angle on the same graph % subplot(2,1,2) [AX,H1,H2]=plotyy(w,abs(X),w,angle(X),'plot'); %Define line styles %set(H1,'LineStyle','--','LineWidth',2,'Color','r') %set(H2,'LineStyle',':','LineWidth',2,'Color','m') set(H1,'LineWidth',2,'Color','r') set(H2,'LineWidth',2,'Color','m') %define the different (Left and Right) Y-axis labels set(get(AX(1),'Ylabel'),'String','Magnitude of X (|X|)','Color','r') set(get(AX(2),'Ylabel'),'String','Angle of X in degrees','Color','m') grid on xlabel('Frequency(rad/sec)');

Εκθετικό σήμα φάσμα εύρους φάσμα φάσης

O ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΝΌΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΠΑΛΜΟΥ Imaginary Component = 0

Η συνάρτηση δειγματοληψίας Sinc(x) και ορισμένες ενδιαφέρουσες ιδιότητες Sinc(x/2) είναι ο μετασχηματισμός Fourier ενός τετραγωνικού παλμού Sinc2(x/2) είναι ο μετασχηματισμός Fourier ενός τριγωνικού παλμού

O ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΝΌΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΥ ΠΑΛΜΟΥ Για τ=4

O ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΝΌΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΥ ΠΑΛΜΟΥ Β Γ

O ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΝΌΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΥ ΠΑΛΜΟΥ Γενικά είναι Οπότε…

O ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΝΌΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΥ ΠΑΛΜΟΥ Β Γ

O ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΝΌΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΥ ΠΑΛΜΟΥ

O ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΝΌΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΥ ΠΑΛΜΟΥ

O ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΝΌΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΥ ΠΑΛΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/1) Ημερομηνία Παράδοσης 19/11/2014. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier του τετραγωνικού παλμού και στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το φάσμα φάσης. Σχολιάστε τα αποτελέσματα που προκύπτουν. Τί διαπιστώνετε για το φάσμα φάσης; Για ποιο λόγο έχει αυτή τη μορφή; (ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα του μαθήματος)