Σχεδίαση με το Γεωμετρικό Τόπο Ριζών ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση με το Γεωμετρικό Τόπο Ριζών

Βιβλιογραφία Ενότητας  Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων Αντιστάθμιση Φάσης Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [2005]: Εφαρμογές, Κεφάλαιο 9: Ενότητες 9.1-9.4 DiStefano [1995]: Chapter 14, Chapter 12: Sections 12.1 - 12.6 Tewari [2005]: Chapters 5: Section 5.1

 Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων Αντιστάθμιση Φάσης Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Εισαγωγή Κατά τη σχεδίαση Σ.Α.Ε αν οι προδιαγραφές δίνονται σε συνάρτηση με το περιθώριο φάσης και το εύρος ζώνης η μέθοδος σχεδίασης που ακολουθείται. Αν δίνονται προδιαγραφές σε σχέση με τη μέγιστη υπερύψωση, την ταχύτητα απόκρισης τη συχνότητα συντονισμού και τη σταθερά απόσβεσης τότε επιλέγεται ο Γ.Τ.Ρ ως μέθοδος σχεδίασης. Με τη βοήθεια του Γ.Τ.Ρ μπορούμε να: Βρούμε τους προεξάρχοντες πόλους του συστήματος Προσεγγίσουμε ένα κλειστό σύστημα υψηλότερης τάξης με ένα δευτεροβάθμιο σύστημα από το οποίο μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τη σταθερά απόσβεσης ζ, και τη φυσική συχνότητα ωn. Ελέγξουμε αν ένα πρόβλημα σχεδίασης έχει λύση σε σχέση με τις ζητούμενες προδιαγραφές και το διαθέσιμο δίκτυο αντιστάθμισης (δίκτυο προήγησης φάσης, ελεγκτής PID, κλπ)

Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων  Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων Αντιστάθμιση Φάσης Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων Αν από το Γ.Τ.Ρ προκύπτει ότι κάποιος πόλος μπορεί να οδηγήσει το κλειστό σύστημα σε αστάθεια ή σε μη επιθυμητή συμπεριφορά ο συγκεκριμένος πόλος μπορεί να ακυρωθεί με την εισαγωγή ενός μηδενικού πλησίον αυτού (και πάντοτε αριστερότερα από αυτόν) με τη βοήθεια ενός: Ελεγκτή PD Ελεγκτή PID Δικτύου προήγησης φάσης Δικτύου προήγησης – καθυστέρησης φάσης Παράδειγμα: Να σχεδιαστεί ελεγκτής PD (Gc(s)=KP+KDs) ώστε το κλειστό σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς βρόχου να έχει (α) σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση eμον(t)<0.25 m/sec όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση ράμπας ω(t)=t, (β) μέγιστη υπερύψωση <30%. Για να έχουμε το ζητούμενο σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση χρειάζεται Κp>4. Έστω ότι επιλέγουμε Κp=4.05.

Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων (ΙΙ)  Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων Αντιστάθμιση Φάσης Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων (ΙΙ) Κατασκευάζοντας το Γ.Τ.Ρ της G(s)F(s) (βλέπε σχήμα) παρατηρούμε ότι για Κp=4.05 έχουμε υπερύψωση (overshoot) 64.5% άρα η χρήση μόνο αναλογικού αντισταθμιστή δεν επιτυγχάνει τις προδιαγραφές της σχεδίασης. Επειδή κατά κύριο λόγο υπεύθυνος για την υπερύψωση είναι ο προεξάρχων πόλος (ο πόλος της G(s)F(s) που βρίσκεται αριστερότερα) εισάγουμε ένα μηδενικό πλησίον του πόλου s=0 και αριστερότερα αυτού αλλά δεξιότερα του πόλου s=-2. Επομένως πρέπει να επιλέξουμε

Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων (ΙΙI)  Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων Αντιστάθμιση Φάσης Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων (ΙΙI) Δεδομένου ότι ΚP=4.05 η επιλογή ΚD=8.1 εισάγει ένα μηδενικό στη θέση s=-.5 Από τη βηματική απόκριση του αντισταθμισμένου (μπλε) και του μη αντισταθμισμένου συστήματος (πράσινο) παρατηρούμε ότι υπάρχει σαφής βελτίωση στην υπερύψωση με την εξουδετέρωση του προεξάρχοντος πόλου.

Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων (ΙV)  Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων Αντιστάθμιση Φάσης Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων (ΙV) Στο σχήμα βλέπουμε με μπλε χρώμα τη βηματική απόκριση του συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς: και με πράσινο χρώμα τη βηματική απόκριση του συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς: Παρατηρούμε ότι η ταχύτητα της χρονική απόκριση του συστήματος βελτιώνεται σημαντικά με την απαλοιφή του πόλου στο s=-1 (προεξάρχων πόλος).

 Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων Αντιστάθμιση Φάσης Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Αντιστάθμιση Φάσης Η διαδικασία απαλοιφής του προεξάρχοντος πόλου μπορεί να διεκπεραιωθεί και με τη χρήση αντισταθμιστών προήγησης φάσης. Στην περίπτωση αυτή το μηδενικό επιλέγεται και πάλι πλησίον (αλλά αριστερότερα) του πόλου που πρέπει να εξουδετερωθεί ενώ ο πόλος εισάγεται αρκετά αριστερότερα λαμβάνοντας υπόψη το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση. Επίδραση του δικτύου προήγησης φάσης:

Αντιστάθμιση Φάσης (ΙΙ)  Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων Αντιστάθμιση Φάσης Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Αντιστάθμιση Φάσης (ΙΙ) Παράδειγμα: Για το σύστημα του σχήματος να σχεδιαστεί αντισταθμιστής προήγησης φάσης ώστε: Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση eμον(t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση ράμπας ω(t) = t, t≥0, να είναι μικρότερo από 0.25 m/sec. Η μέγιστη υπερύψωση να είναι μικρότερη από 30% Λύση Το κλειστό σύστημα και μετά την αντιστάθμιση είναι τύπου j=1, άρα για είσοδο ω(t) = Vt =t το σφάλμα είναι: Άρα για χρειάζεται KP≥4. Έστω KP=4. 1

Αντιστάθμιση Φάσης (ΙΙΙ)  Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων Αντιστάθμιση Φάσης Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Αντιστάθμιση Φάσης (ΙΙΙ) Κατασκευάζοντας το Γ.Τ.Ρ της G(s)F(s) (βλέπε σχήμα) παρατηρούμε ότι για Κp=4.1 έχουμε υπερύψωση (overshoot) 65%. Επιλέγουμε a=0.5. Προφανώς ισχύει 0<a<2, δηλαδή το μηδενικό (z1=-a) εισάγεται αριστερότερα του προεξάρχοντος πόλου (p1=0) αλλά δεξιότερα του αμέσως πιο ισχυρού πόλου (p2=-2) Επιλέγουμε b=8 ώστε ο πόλος που εισάγεται (p4=-b) να βρίσκεται αριστερότερα του πιο αδύναμου πόλου του συστήματος (p2=-6)

Αντιστάθμιση Φάσης (ΙV)  Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων Αντιστάθμιση Φάσης Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Αντιστάθμιση Φάσης (ΙV) Από τη βηματική απόκριση του αντισταθμισμένου (μπλε) και του μη αντισταθμισμένου κλειστού συστήματος (πράσινο) παρατηρούμε ότι υπάρχει σαφής βελτίωση στην υπερύψωση με την εξουδετέρωση του προεξάρχοντος πόλου. Εντούτοις η επιθυμητή υπερύψωση δεν έχει επιτευχθεί. Για το σκοπό αυτό μετακινούμε τόσο το μηδενικό όσο και τον πόλο ακόμα δεξιότερα (φροντίζοντας ώστε το μηδενικό να μην περάσει στα αριστερά του δεύτερου πιο ισχυρού πόλου – δηλαδή ζητάμε πάντα να ισχύει 0<α<2)

Αντιστάθμιση Φάσης (V)  Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων Αντιστάθμιση Φάσης Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Αντιστάθμιση Φάσης (V) Επιλέγοντας a=1.5, b=12, και υπολογίζοντας ξανά τη βηματική απόκριση αντιαταθμισμένου (μπλε) και μη (πράσινο) συστήματος παρατηρούμε ότι επιτυγχάνεται ο στόχος της μέγιστης υπερύψωσης μικρότερης από 30% Επομένως θα έχουμε τελικά:

 Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων Αντιστάθμιση Φάσης Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Θέση μηδενικών Στο διπλανό διάγραμμα απεικονίζεται η βηματική απόκριση του αντισταθμισμένου κλειστού συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς βρόχου: και Με μπλε χρώμα έχουμε το αντισταθμισμένο σύστημα Η1 (a=1, b=8) με πράσινο χρώμα έχουμε την Η2 (a=1.5, b=12), και με κόκκινο χρώμα έχουμε Η3 (a=1.75, b=14). Σε όλες τις περιπτώσεις έχουμε το ίδιο σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση επιλέγοντας

 Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων Αντιστάθμιση Φάσης Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Θέση μηδενικών (ΙΙ) Από τα διαγράμματα της βηματικής απόκρισης είναι φανερό ότι η ταχύτητα απόκρισης αυξάνει όσο μειώνεται η επίδραση του προεξάρχοντος πόλου (δηλαδή όσο το μηδενικό εισάγεται πλησιέστερα στον προεξάρχοντα πόλο) – βλέπε σύστημα Η1. Αντίθετα η ευρωστία (επομένως και η μέγιστη υπερύψωση) του συστήματος αυξάνει όσο αριστερότερα εισάγεται το μηδενικό – βλέπε σύστημα Η3

Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων  Αντιστάθμιση Φάσης  Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης Επειδή η χρονική συμπεριφορά συστημάτων 2ης με συζυγείς πόλους έχει μελετηθεί διεξοδικά σε πολλές περιπτώσεις η διαδικασία σχεδίασης διευκολύνεται όταν ένα σύστημα ανώτερης τάξης μπορεί να προσεγγισθεί από ένα δευτεροβάθμιο. Έστω το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς βρόχου: Έστω pr = ar+jbr ο αριστερότερος πόλος πλην των συζύγων πόλων, δηλαδή τότε το ανωτέρω σύστημα μπορεί να προσεγγισθεί από το δευτεροβάθμιο σύστημα εφόσον ισχύουν τα επόμενα:

 Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων  Αντιστάθμιση Φάσης  Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Παραδείγματα Έστω το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς βρόχου (ωn=4, ζ=0.875): στα διαγράμματα φαίνονται οι βηματικές αποκρίσεις του κλειστού συστήματος για διάφορες τιμές του pr καθώς και το δευτεροβάθμιο σύστημα (μπλε χρώμα) Παρατηρούμε ότι όσο ισχύει pr>5ζωn το δευτεροβάθμιο σύστημα προσεγγίζει το σύστημα ανώτερης τάξης ως προς τον χρόνο ανόδου και τη μέγιστη υπερύψωση

 Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων  Αντιστάθμιση Φάσης  Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Παράδειγμα Ι (συν.) Στο διπλανό διάγραμμα φαίνονται οι βηματικές αποκρίσεις του ανοικτού συστήματος του προηγούμενου παραδείγματος για διάφορες τιμές του pr καθώς και το δευτεροβάθμιο σύστημα (μπλε χρώμα) Παρατηρούμε ότι ως προς τον χρόνο ανόδου η προσέγγιση από δευτεροβάθμιο σύστημα είναι χειρότερη από την αντίστοιχη για το κλειστό σύστημα

 Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων  Αντιστάθμιση Φάσης  Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Παράδειγμα ΙΙ Έστω το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς βρόχου (ωn=4, ζ=0.625): στα διαγράμματα φαίνονται οι βηματικές αποκρίσεις του κλειστού συστήματος για διάφορες τιμές του pr καθώς και το δευτεροβάθμιο σύστημα (μπλε χρώμα) Παρατηρούμε και εδώ ότι όσο ισχύει pr>5ζωn το δευτεροβάθμιο σύστημα προσεγγίζει το σύστημα ανώτερης τάξης ως προς τον χρόνο ανόδου και τη μέγιστη υπερύψωση

 Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων  Αντιστάθμιση Φάσης  Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Παράδειγμα ΙΙ (συν.) Στο διπλανό διάγραμμα φαίνονται οι βηματικές αποκρίσεις του ανοικτού συστήματος του προηγούμενου παραδείγματος για διάφορες τιμές του pr καθώς και το δευτεροβάθμιο σύστημα (μπλε χρώμα) Παρατηρούμε και εδώ ότι ως προς τον χρόνο ανόδου η προσέγγιση από δευτεροβάθμιο σύστημα είναι χειρότερη από την αντίστοιχη για το κλειστό σύστημα. Αντίθετα έχουμε καλύτερη προσέγγιση σε σχέση με τη μέγιστη υπερύψωση

 Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων  Αντιστάθμιση Φάσης  Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Παράδειγμα ΙΙΙ Έστω το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς βρόχου (ωn=4, ζ=0.375 <0.5): στα διαγράμματα φαίνονται οι βηματικές αποκρίσεις του κλειστού συστήματος για διάφορες τιμές του pr καθώς και το δευτεροβάθμιο σύστημα (μπλε χρώμα) Παρατηρούμε ακόμη και όταν ισχύει ισχύει pr>5ζωn το δευτεροβάθμιο σύστημα δεν προσεγγίζει το σύστημα ανώτερης τάξης ως προς τη μέγιστη υπερύψωση εξαιτίας του γεγονότος ότι ζ<0.5

 Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων  Αντιστάθμιση Φάσης  Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Παράδειγμα ΙΙΙ (συν.) Στο διπλανό διάγραμμα φαίνονται οι βηματικές αποκρίσεις του ανοικτού συστήματος του προηγούμενου παραδείγματος για διάφορες τιμές του pr καθώς και το δευτεροβάθμιο σύστημα (μπλε χρώμα) Παρατηρούμε ότι σε αντίθεση με το κλειστό σύστημα η προσέγγιση από δευτεροβάθμιο σύστημα είναι ικανοποιητική κια για ζ<0.5 κυρίως όσον αφορά τη μέγιστη υπερύψωση

Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης – Αφαίρεση μηδενικού  Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων  Αντιστάθμιση Φάσης  Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης – Αφαίρεση μηδενικού Τα μηδενικά σε ένα δευτεροβάθμιο σύστημα με συζυγείς πόλους μπορούν να αγνοηθούν ώστε να διευκολυνθεί η διαδικασία σχεδίασης εφόσον πληρούνται κάποιες συνθήκες. Έστω το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς βρόχου: Έστω zr = ar+jbr το αριστερότερο μηδενικό, δηλαδή τότε το ανωτέρω σύστημα μπορεί να προσεγγισθεί από το δευτεροβάθμιο σύστημα εφόσον ισχύουν τα επόμενα:

 Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων  Αντιστάθμιση Φάσης  Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Παράδειγμα ΙV Έστω το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς βρόχου (ωn=4, ζ=0.625): στα διαγράμματα φαίνονται οι βηματικές αποκρίσεις του κλειστού συστήματος για διάφορες τιμές του zr καθώς και το δευτεροβάθμιο σύστημα (μπλε χρώμα) Παρατηρούμε και εδώ ότι όσο ισχύει zr>5ζωn το δευτεροβάθμιο σύστημα προσεγγίζει το σύστημα ανώτερης τάξης ως προς τον χρόνο ανόδου (κυρίως) και τη μέγιστη υπερύψωση

 Εισαγωγή  Αντιστάθμιση με ακύρωση πόλων  Αντιστάθμιση Φάσης  Προσέγγιση με σύστημα 2ης τάξης  Παραδείγματα Παράδειγμα ΙV (συν.) Στο διπλανό διάγραμμα φαίνονται οι βηματικές αποκρίσεις του ανοικτού συστήματος του προηγούμενου παραδείγματος για διάφορες τιμές του zr καθώς και το δευτεροβάθμιο σύστημα (μπλε χρώμα) Παρατηρούμε ότι ως προς τον χρόνο ανόδου η προσέγγιση από δευτεροβάθμιο σύστημα είναι χειρότερη από την αντίστοιχη για το κλειστό σύστημα