Keller: Stats for Mgmt & Econ, 7th Ed Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων April 6, 2017 Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright © 2006 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc.

Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανότητας … Keller: Stats for Mgmt & Econ, 7th Ed April 6, 2017 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανότητας … Σε αντίθεση με μία διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, για μία συνεχής τυχαία μεταβλητή υποθέτουμε ένα μη-αριθμήσιμο αριθμό τιμών.  Δεν μπορούμε να καταγράψουμε τις πιθανές τιμές αφού υπάρχει ένας άπειρος αριθμός αυτών.  Αφού υπάρχει ένας άπειρος αριθμός τιμών, η πιθανότητα κάθε ατομικής τιμής είναι ουσιαστικά 0. Copyright © 2006 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc.

Οι Πιθανότητες Σημείων Είναι Μηδέν Αφού υπάρχει ένας άπειρος αριθμός τιμών, η πιθανότητα κάθε ατομικής τιμής είναι ουσιαστικά 0. Έτσι, μπορούμε να καθορίσουμε την πιθανότητα ενός διαστήματος τιμών μόνο. Π.χ. σε μία διακριτή τυχαία μεταβλητή όπως στο ρίξιμο ενός ζαριού, κάνει νόημα να μιλάμε για P(X=5), ας πούμε. Σε μία συνεχή τυχαία μεταβλητή (π.χ. με τον χρόνο ως μία τυχαία μεταβλητή, η πιθανότητα της τυχαίας μεταβλητής που μας ενδιαφέρει, ας πούμε το μήκος ενός καθήκοντος, να διαρκέσει ακριβώς 5 λεπτά είναι απειροελάχιστη μικρή, έτσι P(X=5) = 0 Κάνει νόημα να μιλάμε για P(X ≤ 5).

Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανότητας … Μία συνάρτηση f(x) καλείται μία συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probability density function) (σε ένα διάστημα a ≤ x ≤ b εάν ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: f(x) ≥ 0 για όλα τα x μεταξύ a και b, και Το συνολικό εμβαδόν κάτω από την καμπύλη μεταξύ a και b είναι 1.0 f(x) εμβαδόν=1 a b x

εμβαδόν = μήκος x ύψος = (b – a) x = 1 Ομοιόμορφη Κατανομή… Θεωρούμε την ομοιόμορφη κατανομή πιθανότητας (uniform probability distribution). Ορισμένες φορές καλείται ορθογώνια κατανομή πιθανότητας). Περιγράφεται από την συνάρτηση: f(x) a b x εμβαδόν = μήκος x ύψος = (b – a) x = 1

Παράδειγμα 8.1(α)… Το ποσό της βενζίνης που πωλείται καθημερινώς σε ένα βενζινάδικο είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο με ελάχιστο 2,000 γαλόνια και με μέγιστο 5,000 γαλόνια. Βρείτε την πιθανότητα ότι οι ημερήσιες πωλήσεις θα είναι μεταξύ 2,500 και 3,000 γαλόνια. Αλγεβρικά: πόσο είναι P(2,500 ≤ X ≤ 3,000); f(x) 2,000 5,000 x

Παράδειγμα 8.1(α)… P(2,500 ≤ X ≤ 3,000) = (3,000 – 2,500) x = .1667 «υπάρχει περίπου 17% πιθανότητα ότι μεταξύ 2,500 και 3,000 γαλόνια θα πουληθούν σε μία μέρα» f(x) 2,000 5,000 x

Παράδειγμα 8.1(β)… Το ποσό της βενζίνης που πωλείται καθημερινώς σε ένα βενζινάδικο είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο με ελάχιστο 2,000 γαλόνια και με μέγιστο 5,000 γαλόνια. Ποια είναι η πιθανότητα ότι το βενζινάδικο θα πουλήσει τουλάχιστον 4,000 γαλόνια? Αλγεβρικά: πόσο είναι P(X ≥ 4,000) ; f(x) 2,000 5,000 x

Παράδειγμα 8.1(β)… P(X ≥ 4,000) = (5,000 – 4,000) x = .3333 “Υπάρχει μία στις τρεις ευκαιρίες το βενζινάδικο να πουλήσει περισσότερο από 4,000 γαλόνια σε μία οποιαδήποτε ημέρα» f(x) 2,000 5,000 x

Παράδειγμα 8.1(γ)… Το ποσό της βενζίνης που πωλείται καθημερινώς σε ένα βενζινάδικο είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο με ελάχιστο 2,000 γαλόνια και με μέγιστο 5,000 γαλόνια. Ποια είναι η πιθανότητα ότι το βενζινάδικο θα πουλήσει ακριβώς 2,500 γαλόνια; Αλγεβρικά: πόσο είναι P(X = 2,500) ; f(x) 2,000 5,000 x

Παράδειγμα 8.1(γ)… P(X = 2,500) = (2,500 – 2,500) x = 0 «Η πιθανότητα ότι το βενζινάδικο θα πουλήσει ακριβώς 2,500 γαλόνια είναι 0» f(x) 2,000 5,000 x

Η Κανονική Κατανομή… Η κανονική κατανομή (normal distribution) είναι η πιο σημαντική από όλες τις κατανομές πιθανοτήτων. Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας είναι η κανονική τυχαία μεταβλητή και δίνεται από: Μοιάζει σαν: Το Σχήμα της Καμπάνα, Συμμετρική ως προς την μέση τιμή …

Πράγματα που πρέπει να προσέξετε: Η Κανονική Κατανομή… Πράγματα που πρέπει να προσέξετε: Η κανονική κατανομή ορίζεται πλήρως με δύο παραμέτρους: την τυπική απόκλιση και την μέση τιμή Η κανονική κατανομή έχει το σχήμα της καμπάνας, και είναι συμμετρική ως προς την μέση τιμή Σε αντίθεση με το εύρος της ομοιόμορφης κατανομής (a ≤ x ≤ b) Για την Κανονική Κατανομή το εύρος από −∞ μέχρι +∞

Η Τυπική Κανονική Κατανομή… Η κανονική κατανομή στην οποία η μέση τιμή είναι μηδέν και η τυπική απόκλιση είναι ίση με την μονάδα καλείται τυπική κανονική κατανομή. Όπως θα δούμε σύντομα, κάθε κανονική κατανομή μπορεί να μετατραπεί σε τυπική κανονική κατανομή με απλή άλγεβρα. Αυτό κάνει τους υπολογισμούς ευκολότερους. 1

Ίδια διακύμανση και διαφορετικές μέσες τιμές. Η Κανονική Κατανομή… Η κανονική κατανομή περιγράφεται με δύο παραμέτρους: την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση . Αυξάνοντας την μέση τιμή μετακινείται η καμπύλη προς το δεξιά… Ίδια διακύμανση και διαφορετικές μέσες τιμές.

Ίδιες Μέσες Τιμές, Διαφορετικές Τυπικές Αποκλίσεις Η Κανονική Κατανομή… Η κανονική κατανομή περιγράφεται με δύο παραμέτρους: την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση . Αυξάνοντας την τυπική απόκλιση, η καμπύλη «απλώνεται» … Ίδιες Μέσες Τιμές, Διαφορετικές Τυπικές Αποκλίσεις

Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη συνάρτηση για να μπορέσουμε να μετατρέψουμε κάθε κανονική τυχαία μεταβλητή σε τυπική κανονική τυχαία μεταβλητή μεταβλητή … Συμβουλή: πάντοτε κάντε διάγραμμα!

Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη συνάρτηση για να μπορέσουμε να μετατρέψουμε κάθε κανονική τυχαία μεταβλητή σε τυπική κανονική τυχαία μεταβλητή … Αυτό μετακινεί την μέση τιμή της X στο 0 …

Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη συνάρτηση για να μπορέσουμε να μετατρέψουμε κάθε κανονική τυχαία μεταβλητή σε τυπική κανονική τυχαία μεταβλητή μεταβλητή … Αυτό αλλάζει το σχήμα της καμπύλης …

Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… Παράδειγμα: Ο χρόνος που απαιτείται για την συναρμολόγηση ενός υπολογιστή είναι κανονικά κατανεμημένος με μέση τιμή 50 λεπτά και τυπική απόκλιση 10 λεπτά: Ποια είναι η πιθανότητα ένας υπολογιστής να συναρμολογηθεί σε χρόνο μεταξύ 45 και 60 λεπτά; Αλγεβρικά: πόσο είναι P(45 < X < 60) ;

Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… P(45 < X < 60) ; … με μέση τιμή 50 λεπτά και τυπική απόκλιση 10 λεπτά …

Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… Έχουμε μετατρέψει την P(45 < X < 60) για μία κανονική κατανομή με μέση τιμή = 50 και τυπική απόκλιση = 10 σε P(–.5 < Z < 1) [τυπική κανονική κατανομή με μέση τιμή = 0 και τυπική απόκλιση = 1] έτσι Πως συνεχίζουμε τώρα;!

Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… P(–.5 < Z < 1) παριστάνεται ως: Η πιθανότητα είναι το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη … Προσθέτουμε τα δύο μέρη: P(–.5 < Z < 0) και P(0 < Z < 1) –.5 … 1

Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον Πίνακα G1 (see, Wooldridge, ή τους πίνακες της ιστοσελίδας του μαθήματος), για να βρούμε πιθανότητες P(Z < z) Μπορούμε να γράψουμε την P(–.5 < Z < 1) σε: P(Z < 1) - P(Z < -.5) και από τον Πίνακα G1 βρίσκουμε P(Z < 1) =.8413 και P(Z < -.5) =.3085. Επομένως P(–.5 < Z < 1)=.8413-.3085=.5328 σ=1 z μ=0

Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… Πώς να χρησιμοποιήσουμε τον Πίνακα G1 … Αυτός ο Πίνακας δίνει πιθανότητες P( Z < z) Πρώτη στήλη = ακέραιος + πρώτο δεκαδικό ψηφίο Πρώτη γραμμή = δεύτερο δεκαδικό ψηφίο P(Z < 1)=0.8413 P(Z < 0.5)=0.3085 P(–.5 < Z < 1) = .8413 + .3085 = .5328

Υπολογίζοντας Κανονικές Πιθανότητες… Ανακεφαλαίωση: Ο χρόνος που απαιτείται για την συναρμολόγηση ενός υπολογιστή είναι κανονικά κατανεμημένος με μέση τιμή 50 λεπτά και τυπική απόκλιση 10 λεπτά: Ποια είναι η πιθανότητα ο υπολογιστής να συναρμολογηθεί μεταξύ 45 και 60 λεπτών; P(45 < X < 60) = P(–.5 < Z < 1) = .5328 «Λίγο πιο πάνω από τις μισές φορές, 53% περίπου, ένας υπολογιστής θα συναρμολογηθεί μεταξύ 45 λεπτών και μιας ώρας»

Χρήση του Πίνακα G1 για την Κανονική … Πόσο είναι P(Z > 1.6); P(Z < 1.6) = .9452 z 1.6 P(Z > 1.6) = 1 – P(Z < 1.6) = 1 – .9452 = .0548

Χρήση του Πίνακα G1 για την Κανονική … Άλλος τρόπος για P(Z > 2.23) ; P(0 < Z < 2.23) P(Z < -2.23) P(Z > 2.23) z -2.23 2.23 P(Z > 2.23) = P(Z < -2.23) (από τον Πίνακα G1) = .0129

Χρήση του Πίνακα G1 για την Κανονική … Πόσο είναι P(0.9 < Z < 1.9) ; P(Z < 0.9) P(Z < 1.9) z 0.9 1.9 P(0.9 < Z < 1.9) = P(Z < 1.9) – P(Z < 0.9) =.9713 – .8159 = .1554

Παράδειγμα 8.2 Η απόδοση μιας επένδυσης ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 10% και τυπική απόκλιση 5%. Ποια είναι η πιθανότητα να χάσουμε χρήματα; Θέλουμε να υπολογίσουμε P(X < 0). Έτσι,

Παράδειγμα 8.2 Εάν η τυπική απόκλιση είναι 10, ποια είναι η πιθανότητα να χάσουμε χρήματα; P(X < 0) Έτσι, όταν αυξάνεται η τυπική απόκλιση αυξάνει η πιθανότητα για να χάσουμε λεφτά, από το οποίο φαίνεται ότι η τυπική απόκλιση (ή η διακύμανση) είναι ένα μέτρο ρίσκου.

Βρίσκοντας Τιμές για την Z… Συχνά μας ζητάν να βρούμε κάποια τιμή του Z για μία συγκεκριμένη πιθανότητα, δηλαδή δοθέντος ενός εμβαδού (Α) κάτω από την καμπύλη, ποια είναι η αντίστοιχη τιμή του z (zA) στον οριζόντιο άξονα που δίνει αυτό το εμβαδόν; Δηλαδή: P(Z > zA) = A

Βρίσκοντας Τιμές για την Z… Ποια τιμή z αντιστοιχεί σε εμβαδόν, κάτω από την καμπύλη, ίσο με 2.5%? Δηλαδή, πόσο είναι το z.025 ; Εμβαδόν = .025 Εμβαδόν = .975 Εάν κάνουμε μία «αντίστροφη αναζήτηση» στο Πίνακα G1 για .975, θα βρούμε την αντίστοιχη zA = 1.96 Αφού P(z > 1.96) = .025, λέμε ότι: z.025 = 1.96

Βρίσκοντας Τιμές για την Z…

Βρίσκοντας Τιμές για την Z… Αφού z.025 = 1.96 και - z.025= -1.96, μπορούμε να πούμε ότι P(-1.96 < Z < 1.96) = .95 Παρομοίως P(-1.645 < Z < 1.645) = .90

Τιμές και Πιθανότητες για την Κανονική Κατανομή … Οι πιθανότητες και οι τιμές μπορούν να υπολογιστούν από το EXCEL. Στις συναρτήσεις: (π.χ. z.05=1.645) Ι) Functions f* > NORMINV >Probability = 0.95, Mean=0, & Standard_dev=1 >Αποτέλεσμα = 1.645 ΙΙ) Functions f* > NORMDIST >X=1.645, Mean=0, Standard_dev=1 & Cumulative=TRUE > Αποτέλεσμα=0.95

Άλλες Συνεχείς Κατανομές … Άλλες τρεις σημαντικές συνεχείς κατανομές οι οποίες θα χρησιμοποιούνται πολύ συχνά σε επόμενα κεφάλαια και στα μαθήματα της οικονομετρίας: Η t κατανομή (ή student), η χ2 Κατανομή, και η F Κατανομή.

Η t κατανομή (ή student) … Εδώ το γράμμα t χρησιμοποιείται για να παραστήσει την τυχαία μεταβλητή, από το όνομα. Η συνάρτηση της πυκνότητας για την t κατανομή είναι η ακόλουθη … ν είναι οι βαθμοί ελευθερίας, και Γ (η γάμα συνάρτηση) είναι Γ(k)=(k-1)(k-2)…(2)(1)

Η t κατανομή (ή student) … E(t) = 0 και V(t) = for > 2.

Η t κατανομή (ή student) … Σχήμα 8.1

Καθορίζοντας τιμές για την t κατανομή… Η t κατανομή χρησιμοποιείται πάρα πολύ συχνά στην στατιστική συμπερασματολογία. Ο Πίνακας G.2 (βλ. Wooldridge ή στην ιστοσελίδα της τάξης), καταγράφει τιμές της tΑ,ν. Δηλαδή, οι τιμές τις t τυχαίας μεταβλητής με ν βαθμούς ελευθερίας: Οι τιμές για A προκαθορίζονται εκ των προτέρων ως «κριτικές» τιμές, συνήθως ως 10%, 5%, 2.5%, 1% και 1/2%.

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα για t τιμές… Για παράδειγμα, εάν την t τιμή με 10 βαθμούς ελευθερίας έτσι ώστε το εμβαδόν κάτω από την t καμπύλη είναι .05: Εμβαδόν κάτω από καμπύλη (tA) : ΣΤΗΛΗ t.05,10 t.05,10=1.812 Βαθμοί Ελευθερίας : ΓΡΑΜΜΗ

Τιμές και Πιθανότητες για την t Κατανομή Οι πιθανότητες και οι τιμές μπορούν να υπολογιστούν από το EXCEL. Στις συναρτήσεις: (π.χ. t.05,10=1.812) Ι) Functions f* > TINV >Probability = 0.10 & Deg_Freedom=10 (degrees of freedom – Βαθμοί Ελευθερίας) >Αποτέλεσμα = 1.812 ΙΙ) Functions f* > TDIST >X=1.812, Deg_Freedom=10, & Tails=1 > Αποτέλεσμα=0.05 ή για Tails=2 > Αποτέλεσμα=0.1

Η Κατανομή χ2 … Η συνάρτηση πυκνότητας χ2 δίνεται από τον τύπο: Όπως πριν, η παράμετρος ν είναι ο αριθμός των βαθμών ελευθεριών.

Η Κατανομή χ2 … Παρατηρήσεις: Η χ2 κατανομή δεν είναι συμμετρική Το τετράγωνο, χ2 , επιβάλει μη-αρνητικές τιμές (δηλαδή ο υπολογισμός P(χ2 < 0) δεν έχει νόημα). Ο Πίνακας G.4 είναι βολικός για να υπολογίσουμε πιθανότητες της μορφής: P(χ2 > ) = A:

Για Παράδειγμα… Για να βρούμε το σημείο σε μία χ2 κατανομή με 8 βαθμούς ελευθερίας, έτσι ώστε το εμβαδόν προς τα δεξιά να είναι .05, κοιτάμε την τομή της γραμμής με 8 βαθμούς ελευθερίας και της στήλης με α=0.05, η οποία είναι 15.51

Η F Κατανομή… Η συνάρτηση πυκνότητας της F κατανομής δίνεται από τον τύπο: F > 0. Δυο παράμετροι καθορίζουν την κατανομή, και όπως ήδη έχουμε δει αυτοί είναι ξανά οι βαθμοί ελευθερίας. ν1 είναι οι βαθμοί ελευθερίας του αριθμητή και ν2 είναι οι βαθμοί ελευθερίας του παρανομαστή

Η F Κατανομή… Η μέση τιμή και η διακύμανση της F τυχαίας μεταβλητής δίνεται από τον τύπο: και Η F κατανομή, όπως και η χ2, αρχίζει από το 0 (έιναι μη-αρνητική) και δεν είναι συμμετρική.

Καθορίζοντας Τιμές για την F Κατανομή… Λύση: χρησιμοποιούμε τον Πίνακα G.3a ; ή G.3b Υπάρχουν διαφορετικοί πίνακες για διαφορετικές τιμές του A. Βεβαιωθείτε ότι χρησιμοποιείται τον σωστό πίνακα. Α=.05 F.05,3,12=3.49 F.05,3,12 Βαθμοί ελευθερίας του αριθμητή (numerator) : ΓΡΑΜΜΗ Βαθμοί ελευθερίας του παρανομαστή (denominator) : ΣΤΗΛΗ

Καθορίζοντας Τιμές για την F Κατανομή… Για εμβαδά κάτω από την καμπύλη στο αριστερό μέρος της καμπύλης, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη σχέση: Δώστε προσοχή στη σειρά των όρων!

Δειγματικές Κατανομές … Μία δειγματική κατανομή δημιουργείται, όπως προτείνεται και από το όνομα, από δειγματοληψία. Η μέθοδος βασίζεται σε κανόνες πιθανοτήτων και σε νόμους της αναμενόμενης τιμής και της διακύμανσης για να εξάγουμε την δειγματική κατανομή. Για παράδειγμα, το ρίξιμο ενός ή δύο ζαριών …

Δειγματική Κατανομή της Μέσης Τιμής … Ένα ισορροπημένο ζάρι ρίχνεται πολλές (άπειρες) φορές, Με μία τυχαία μεταβλητή X = αποτέλεσμα ριξίματος. Η κατανομή πιθανότητας της X είναι: …και η μέση τιμή και η διακύμανση υπολογίζονται ως:*- x 1 2 3 4 5 6 P(x) 1/6

Δειγματική Κατανομή των Δύο Ζαριών … Η δειγματική κατανομή δημιουργείται κοιτώντας όλα τα δείγματα (samples) μεγέθους n=2 (π.χ. δύο ζάρια) και τις μέσες τιμές τους … Ενώ υπάρχουν 36 πιθανά δείγματα μεγέθους 2, υπάρχουν μόνο 11 τιμές για την μέση τιμή, και κάποιες (π.χ. η τιμή 3.5) επαναλαμβάνονται πιο συχνά από ότι οι άλλες (π.χ. την τιμή 1).

Δειγματική Κατανομή των Δύο Ζαριών … Η δειγματική κατανομή της φαίνεται παρακάτω 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 P( ) P( )

Συγκρίνεται… Συγκρίνεται την κατανομή της X… …με την δειγματική κατανομή της . Επίσης, σημειώστε ότι:

Γενικεύοντας … Μπορούμε να γενικεύσουμε την μέση τιμή και την διακύμανση της δειγματοληψίας: …σε n-ζαριές: Η τυπική απόκλιση της δειγματικής κατανομής καλείται τυπικό σφάλμα:

Κεντρικό Οριακό Θεώρημα … Η δειγματική κατανομή της μέσης τιμής ενός τυχαίου δείγματος, το οποίο εξάγεται από οποιοδήποτε πληθυσμό, είναι προσεγγιστικά κανονική για επαρκώς μεγάλο μέγεθος δείγματος. Όσο πιο μεγάλο είναι το μέγεθος του δείγματος, τόσο πιο κοντά η δειγματική κατανομή της X θα μοιάζει με κανονική κατανομή.

Κεντρικό Οριακό Θεώρημα … Εάν ο πληθυσμός είναι κανονικός, τότε η X είναι κανονικά κατανεμημένη για όλες τις τιμές του n. Εάν ο πληθυσμός είναι μη-κανονικός, τότε η X είναι προσεγγιστικά κανονική μόνο για μεγάλες του n. Σε πολλές πρακτικές περιπτώσεις, ένα μέγεθος δείγματος ίσο με 30 ενδέχεται να είναι επαρκώς μεγάλο ώστε να επιτρέπει την χρήση της κανονικής κατανομής ως προσέγγιση για την δειγματική κατανομή της X.

Δειγματική Κατανομή της Μέσης Τιμής … 1. 2. 3. Εάν X είναι κανονική, τότε και η X είναι κανονική. Εάν η X είναι μη-κανονική, η X είναι προσεγγιστικά κανονική για επαρκώς μεγάλα δείγματα. Σημειώστε: ο ορισμός του «επαρκώς μεγάλου» εξαρτάται από το βαθμό της μη-κανονικότητας της x (π.χ. πολύ λοξή, η αρκετές κορυφές)

Πεπερασμένοι Πληθυσμοί … Οι Στατιστικοί έχουν δείξει ότι η μέση τιμή της δειγματικής κατανομής είναι πάντοτε ίση με την μέση τιμή του πληθυσμού και ότι το τυπικό σφάλμα είναι ίσο με για απείρους μεγάλους πληθυσμούς. Ωστόσο, εάν ο πληθυσμός είναι πεπερασμένος το τυπικό σφάλμα είναι Όπου N είναι το μέγεθος του πληθυσμού Ο συντελεστής καλείται ο παράγοντας διόρθωσης του πεπερασμένου πληθυσμού. Εάν το μέγεθος του πληθυσμού είναι μεγάλο σε σχέση ως το μέγεθος του δείγματος ο παράγοντας διόρθωσης του πεπερασμένου πληθυσμού είναι κοντά στο 1 και μπορεί να αγνοηθεί.

Πεπερασμένοι Πληθυσμοί … Ως χοντρικό κανόνα θα θεωρούμε κάθε πληθυσμό ο οποίος είναι 20 φορές μεγαλύτερος από το μέγεθος του δείγματος ως μεγάλο. Αυτό έχει ως συνέπεια να παραλείπουμε συνήθως τον παράγοντα διόρθωσης του πεπερασμένου πληθυσμού. Υπάρχουν αρκετές εφαρμογές οι οποίες αναλύουν μικρούς πληθυσμούς.

Παράδειγμα 8.3(α)… Ο προϊστάμενος ενός εργοστασίου αναψυκτικών έχει παρατηρήσει ότι το ποσό της σόδας σε κάθε μπουκάλι “32-ουγκιών” καταρχήν κατανέμεται ως κανονική τυχαία μεταβλητή, με μέση τιμή 32.2 ουγκιές και τυπική απόκλιση .3 ουγκιές. Εάν ένας πελάτης αγοράσει ένα μπουκάλι, ποια είναι η πιθανότητα το μπουκάλι να περιέχει περισσότερο από 32 ουγκιές;

Παράδειγμα 8.3(a)… Θέλουμε να βρούμε P(X > 32), όπου X είναι κανονικά κατανεμημένα με μ=32.2 και σ=.3 (P(Z>-.67)=1- P(Z<-.67)=1-.2514=.7486 «υπάρχει περίπου 75% πιθανότητα ότι ένα μπουκάλι σόδας περιέχει περισσότερο από 32 ουγκιές»

Παράδειγμα 8.3(a)… Ο προϊστάμενος ενός εργοστασίου αναψυκτικών έχει παρατηρήσει ότι το ποσό της σόδας σε κάθε μπουκάλι “32-ουγκιών” καταρχήν κατανέμεται ως κανονική τυχαία μεταβλητή, με μέση τιμή 32.2 ουγκιές και τυπική απόκλιση .3 ουγκιές. Εάν ένας πωλητής ένα πακέτο με τέσσερα μπουκάλια, ποια είναι η πιθανότητα ότι η μέση τιμή της ποσότητας των τεσσάρων μπουκαλιών θα είναι μεγαλύτερη από 32 ουγκιές;

Παράδειγμα 8.3(a)… Θέλουμε να βρούμε P(X > 32), όπου η X είναι κανονικά κατανεμημένη με μ=32.2 και σ=.3. Γνωρίζουμε ότι: X είναι κανονικά κατανεμημένη, συνεπώς έτσι θα είναι και η X. = 32.2.

Παράδειγμα 8.3(a)… Εάν ένας πωλητής ένα πακέτο με τέσσερα μπουκάλια, ποια είναι η πιθανότητα ότι η μέση τιμή της ποσότητας των τεσσάρων μπουκαλιών θα είναι μεγαλύτερη από 32 ουγκιές; (P(Z>-1.33)=1- P(Z<-1.33)=1-.0918=.9082 «υπάρχει περίπου 91% πιθανότητα ότι η μέση τιμή της ποσότητας των τεσσάρων μπουκαλιών σόδας περιέχει περισσότερο από 32 ουγκιές»

Σκεπτόμενοι Γραφικά … Μέση τιμή=32.2 Ποια είναι η πιθανότητα ότι η μέση τιμή τεσσάρων μπουκαλιών θα περιέχει περισσότερο από 32 ουγκιές; Ποια είναι η πιθανότητα ότι ένα μπουκάλι θα περιέχει περισσότερο από 32 ουγκιές;

Παράδειγμα 8.4 … Ο Κοσμήτορας ενός Κολεγίου Οικονομικών υποστηρίζει ότι ο μέσος μισθός των πτυχιούχων του κολεγίου, ένα χρόνο μετά την αποφοίτηση είναι $800 την εβδομάδα με τυπική απόκλιση $100. Ένας δευτεροετής φοιτητής θα ήθελε να ελέγξει εάν η υπόθεση της μέσης τιμής είναι σωστή. Ο φοιτητής κάνει μία έρευνα με 25 αποφοίτους πριν από ένα χρόνο και καθορίζει τον εβδομαδιαίο τους μισθό. Ανακαλύπτει ότι η δειγματική μέση τιμή είναι $750. Για να ερμηνεύσει τα ευρήματα του χρειάζεται να υπολογίσει την πιθανότητα ότι το δείγμα των 25 αποφοίτων θα είχε μέση τιμή $750 ή μικρότερη όταν η μέση τιμή του πληθυσμού είναι $800 και η τυπική απόκλιση είναι $100.

Παράδειγμα 8.4 … Θέλουμε να υπολογίσουμε Αν και η κατανομή της X είναι πιθανώς λοξή, είναι πιθανό ότι η κατανομή της είναι κανονική. Η μέση τιμή της είναι Η τυπική απόκλιση είναι

Παράδειγμα 8.4 … Η πιθανότητα να παρατηρήσουμε μία δειγματική μέση τιμή μικρότερη του $750, όταν η μέση τιμή του πληθυσμού είναι $800, είναι πολύ μικρή. Αφού το ενδεχόμενο είναι αρκετά απίθανο, θα συμπεραίναμε ότι η υποστήριξη του Κοσμήτορα δεν δικαιολογείται.

Τυποποιώντας την Μέση Τιμή … Η δειγματική κατανομή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εξάγουμε συμπεράσματα σχετικά με τις παραμέτρους του πληθυσμού. Για να το επιτύχουμε, η μέση τιμή μπορεί να τυποποιηθεί σε τυπική κανονική κατανομή χρησιμοποιόντας τον ακόλουθο τύπο:

Άλλος Ένας Τρόπος να Εκφράσουμε την Πιθανότητα… Από την τυπική κανονική κατανομή γνωρίζουμε ότι P(-1.96 < Z < 1.96) = .95 Από την δειγματική κατανομή της μέσης τιμής έχουμε Αντικαθιστώντας αυτόν τον ορισμό της Z στον τύπο της πιθανότητας παίρνουμε ότι

Άλλος Ένας Τρόπος να Εκφράσουμε την Πιθανότητα… Με λίγες αλγεβρικές πράξεις ξαναγράφουμε τον τύπο της πιθανότητας ως Ομοίως Γενικά Όλες οι μορφές της πιθανότητας σχετικά με την θα χρησιμοποιηθούν στην επαγωγική στατιστική (στην Στατιστική ΙΙ)

Επιστροφή στο Παράδειγμα 8.4 … Αντικαθιστώντας, μ = 800, σ = 100, n = 25, και α = .05, παίρνουμε Αυτός είναι ένας άλλος τρόπος να ελέγξουμε την υποστήριξη του Κοσμήτορα. Η πιθανότητα ότι θα πέσει μεταξύ 760.8 και 839.2 είναι 95%. Είναι απίθανο ότι θα παρατηρήσουμε μία μέση τιμή μικρότερη του $750 όταν η μέση τιμή του πληθυσμού είναι $800.