Παραγωγή τυχαίων γεωμετρικών δομών Παναγιώτης Τίγκας Ενδιάμεση εξέταση πτυχιακής εργασίας

Αντικείμενο της εργασίας Σκοπός της εργασίας είναι η μελέτη και υλοποίηση αλγορίθμων που σχετίζονται με τη παραγωγή τυχαίων γεωμετρικών δομών.

Αντικείμενο της εργασίας Τυχαία τριγωνοποίηση απλού πολυγώνου Παραγωγή τυχαίου πολύγωνου, δεθέντος συνόλου σημέιων Τυχαία παραγωγή spanning tree Παραδείγματα Σκοπός της εργασίας είναι η μελέτη και υλοποίηση αλγορίθμων που σχετίζονται με τη παραγωγή τυχαίων γεωμετρικών δομών.

Γενικό πλαίσιο Συχνά παρουσιάζεται το ενδιαφέρον για εμπειρική μελέτη αλγορίθμων υπολογιστικής γεωμετρίας και γραφικών σε τυχαία δεδομένα. (algorithmic testing, time complexity verification) [epstein01]. Η απόδοση ορισμένων αλγορίθμων υπολογιστική γεωμετρίας και γραφικών βασίζονται σε τριγωνοποιήσεις. Παράδειγμα: ray shooting, point location, visibility.

Ορισμός του προβλήματος Ως τυχαία παραγωγή θεωρούμε τη παραγωγή τυχαίου δείγματος, σύμφωνα με την ομοιόμορφη κατανομή.

Ορισμός του προβλήματος Ως τυχαία παραγωγή θεωρούμε τη παραγωγή τυχαίου δείγματος, σύμφωνα με την ομοιόμορφη κατανομή. Δηλαδή η πιθανότητα παραγωγής του δείγματος x είναι P(x) = 1/N οπου N το μέγεθος του δειγματικού χώρου.

Ορισμός του προβλήματος Προβλήματα που προκύπτουν. Ως τυχαία παραγωγή θεωρούμε τη παραγωγή τυχαίου δείγματος, σύμφωνα με την ομοιόμορφη κατανομή. Υπολογισμός μεγέθους δειγματικού χώρου. Δηλαδή η πιθανότητα παραγωγής του δείγματος x είναι P(x) = 1/N οπου N το μέγεθος του δειγματικού χώρου.

Ανοιχτά προβλήματα Problem 16: Simple Plygonalization Υπάρχει πολυωνυμικός αλγόριθμος υπολογισμού του πλήθους όλων των απλών πολυγώνων με κορυφές τα σημεία ενώς συνόλου n σημείων; Joseph O’Rourke [2001]

Παραδείγματα Τυχαία τριγωνοποίηση απλού πολυγώνου Τυχαία παραγωγή πολυγώνου Generating truangulations at random Q. Ding, J. Qian, W. Tsang, and C. Wang [2005] Constructing random polygons David Dailey, Deborah Whitfield [2008]

Τυχαία τριγωνοποίηση απλού πολυγώνου Βελτιώνει τον αλγόριθμο των Epstein, Sack απο σε. Generating truangulations at random Q. Ding, J. Qian, W. Tsang, and C. Wang [2005]

Τυχαία τριγωνοποίηση απλού πολυγώνου Βασική ιδέα: Υπολογίζεται το γράφημα ορατότητας, βάση του οποίου γίνεται η καταμέτριση των τριγωνοποιήσεων.

Τυχαία τριγωνοποίηση απλού πολυγώνου Ορισμοί: = υποπολύγωνο που ορίζεται απο τις κορυφές, οπου = πλήθος τριγωνοποιήσεων του = ταξινομημενη λίστα με ζεύγη κορυφών και, οπού “βλέπει” το. = σύνολο κορυφών για τις οποίες ορίζεται τρίγωνο.

Τυχαία τριγωνοποίηση απλού πολυγώνου Υπολογισμός του: Για κάθε : έστω ; = 0 άν j=i+1 ή j=i+2: για κάθε :

Τυχαία τριγωνοποίηση απλού πολυγώνου Πίνακας ορατότηταςΠίνακας

Τυχαία τριγωνοποίηση απλού πολυγώνου Πίνακας ορατότηταςΠίνακας

Τυχαία τριγωνοποίηση απλού πολυγώνου Πίνακας ορατότηταςΠίνακας

Τυχαία τριγωνοποίηση απλού πολυγώνου Πίνακας ορατότηταςΠίνακας

Τυχαία παραγωγή πολυγώνου Ο αλγόριθμος δεν δέχεται n σημεία σαν είσοδο, αλλα οι κορυφές παράγονται τυχαία καθώς δημιουργείται το πολυγωνο.

Τυχαία παραγωγή πολυγώνου Αλγόριθμος: Ξεκινάμε με 3 τυχαία σημεία (τρίγωνο)

Τυχαία παραγωγή πολυγώνου Αλγόριθμος: Ξεκινάμε με 3 τυχαία σημεία (τρίγωνο) Επανάληψη n-3 φορές: Διαλέγουμε μια τυχαία ακμή του P (έστω οι κορυφές Va, Vb)

Τυχαία παραγωγή πολυγώνου Αλγόριθμος: Ξεκινάμε με 3 τυχαία σημεία (τρίγωνο) Επανάληψη n-3 φορές: Διαλέγουμε μια τυχαία ακμή του P (έστω οι κορυφές Va, Vb) Βρίσκουμε τη περιοχή P’ που είναι ορατή απο Va, Vb

Τυχαία παραγωγή πολυγώνου Αλγόριθμος: Ξεκινάμε με 3 τυχαία σημεία (τρίγωνο) Επανάληψη n-3 φορές: Διαλέγουμε μια τυχαία ακμή του P (έστω οι κορυφές Va, Vb) Βρίσκουμε τη περιοχή P’ που είναι ορατή απο Va, Vb Τριγωνοποιόντας το P’ διαλέγουμε ένα τυχαίο σημείο Vc

Τυχαία παραγωγή πολυγώνου Αλγόριθμος: Ξεκινάμε με 3 τυχαία σημεία (τρίγωνο) Επανάληψη n-3 φορές: Διαλέγουμε μια τυχαία ακμή του P (έστω οι κορυφές Va, Vb) Βρίσκουμε τη περιοχή P’ που είναι ορατή απο Va, Vb Τριγωνοποιόντας το P’ διαλέγουμε ένα τυχαίο σημείο Vc Αντικαθιστούμε την VaVb με VaVc και VcVb

Σχετική δουλειά Randomly Generating Triangulations of a Simple Polygon Q. Ding, J. Qian, W. Tsang, and C. Wang [2005] Generating Triangulations at Random Epstein, Sack

Σχετική δουλειά Constructing Random Polygons D Dailey [2008] How to Get a Perfectly Random Sample from a Generic Markov Chain and Generate a Random Spanning Tree of a Directed Graph James Gary Propp, David Bruce Wilson [1998]

Μελλοντικά βήματα Στα πλαίσια της μελέτης αλγορίθμων παραγωγής τυχαίων γεωμετρικών δομών θα υλοποίηθεί υποσύνολο αυτών. Θα γίνει προσπάθεια σχεδιασμού αλγορίθμου για το πρόβλημα παραγωγής τυχαίου απλού πολυγώνου δωθέντος συνόλου σημείων.

Ευχαριστώ για τη προσοχή σας