ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ Ακαδημαϊκό Έτος Κυριακή, 7 Σεπτεμβρίου η Εβδομάδα ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Η μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων (Π.Σ.) Φ Ι Λ Ο Σ Ο Φ Ι Α

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΗ «ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ» ΤΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΤΟΥ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ (Π.Σ.) 1. Γενικά Η εύρεση λύσεως ενός διαφορικού συστήματος: με B i, i=1,2,…k κατάλληλοι γραμμικοί διαφορικοί τελεστές (που προσδιορίζουν τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος και εξασφαλίζουν τη μονοσήμαντη λύση του), για δεδομένες συναρτήσεις: Από την άλλη πλευρά, η εφαρμοσμένη επιστήμη πολλές φορές καταλήγει (στα υποδείγματα που χρησιμοποιεί για τη μελέτη των διαφόρων φαινομένων) σε διαφορικά συστήματα κάποιας μορφής του παραπάνω ζεύγους (1)-(2), για τα οποία είναι γνωστό ότι υπάρχει λύση, από τα ίδια τα φαινόμενα. Έτσι, λοιπόν, σ’ αυτή την ανάγκη των εφαρμογών να προσδιοριστεί η υπάρχουσα λύση με κάποιο τρόπο, λόγω αδυναμίας εύρεσης της αναλυτικής λύσεως κλπ., ανταποκρίνεται η διαδικασία της αριθμητικής εύρεσης της λύσεως.

Τέλος, η αριθμητική διαδικασία προσδιορισμού της υπaρχούσης λύσεως, μπορεί να επιτευχθεί είτε αντιμετωπίζοντας το διαφορικό σύστημα (1)-(2) άμεσα, είτε δια μέσου κάποιας αρχής (principle) να ευρεθεί η αριθμητική λύση του προβλήματος από την λύση ενός άλλου ισοδυνάμου συστήματος σχέσεων όπου όμως, αντί να εμφανίζεται ο διαφορικός τελεστής D να έχουμε ένα ολοκληρωτικό τελεστή Ι, και έτσι να αξιοποιήσουμε την χαρακτηριστική ευστάθεια του ολοκληρωτικού τελεστή σε αντίθεση με την ευπάθεια του διαφορικού τελεστή (βλέπε και "Εφηρμοσμένη Αριθμητική Ανάλυση" σελ. 217, για την λεπτεπίλεπτη υφή της αριθμητικής διαφορίσεως) Έτσι, λοιπόν, οι μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών ανήκουν την κατηγορία της αντιμετώπισης του διαφορικού συστήματος που "χειρίζεται“ τον διαφορικό τελεστή, ενώ στις μεθόδους που αντιμετωπίζουν το ισοδύναμο πρόβλημα και "χειρίζονται" τον ολοκληρωτικό τελεστή ανήκουν οι "Μέθοδοι του Υπολοίπου"(Residual Methods), "οι Μέθοδοι του" Λογισμού των Μεταβολών" (Variational Methods), και “ η Mέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων “(Finite Elements Methods). Πάντοτε,πάντως, έχουμε χρήση δοκιμαστικών συναρτήσεων (trial functions) της μορφής: με f i (x), i=1,2,…,v γραμμικώς ανεξάρτητες συναρτήσεις και ορισμένες στο με α, i=1,2,…ν, προσδιοριστέες σταθερές, που είναι τέτοιες ώστε οι (2.1) να πληρούν τις συνοριακές συνθήκες (2).

Μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα θα καταστήσουν τα παραπάνω σαφέστατα, στην συνέχεια. 2. Στρατηγικές αριθμητικής επιλύσεως Σ‘ όλες τις παρακάτω περιπτώσεις, θα θεωρήσουμε το ακόλουθο διαφορικό σύστημα στο ( R ) (η φυσική κατάσταση αποδίδεται στο διπλανό σχήμα): που περιγράφει την κατάσταση κάμψεως μιας ελευθέρως εδραζόμενης δοκού με συγκεντρωμένες ροπές στα άκρα της. Η αναλυτική λύση του συστήματος (θα μας είναι χρήσιμη αργότερα για λόγους συγκρίσεως) είναι η : Έτσι λοιπόν έχουμε τις ακόλουθες στρατηγικές εύρεσης της αριθμητικής λύσεως: (Ι) Μέθοδοι Βεβαρυμένου Υπολοίπου (Weighted Residual Methods) Στις μεθόδους υπολοίπου θεωρούμε μια δοκιμαστική συνάρτηση (trial function), κατάλληλη (που ικανοποιεί τις συνθήκες-θα το εξηγήσουμε αργότερα):

την οποία αντικαθιστούμε στην διαφορική εξίσωση (1),οπότε προκύπτει: Έτσι, αφού η h(x) δεν ικανοποιεί την εξίσωση, θα υπάρχει ένα υπόλοιπο το R(x). Η μέθοδος του βεβαρυμένου υπολοίπου απαιτεί όπως το παρακάτω συναρτησιακό του υπολοίπου μηδενίζεται: όπου W i (x) συναρτήσεις βάρους, το πλήθος των οποίων είναι ίσο με τον αριθμό των παραμέτρων που εμπεριέχονται στη δοκιμαστική συνάρτηση (προσδιοριστέοι συντελεστές). Οι παρακάτω τέσσερες επιλογές συναρτήσεων βάρους είναι από τις πιο ενδιαφέρουσες: (i) Η μέθοδος της ταύτισης (Collocation Method – Col.) Στην περίπτωση αυτή η επιλογή των συναρτήσεων βάρους είναι οι impulse Functions(Dirac),που καθορίζουν τιμές της συνάρτησης στο σημείο x i : που είναι ισοδύναμη με την απαίτηση το υπόλοιπο να μηδενίζεται στα καθορισμένα σημεία x i ο αριθμός των οποίων είναι ίσος με το πλήθος των προσδιοριστεων συντελεστών της δοκιμαστικής συνάρτησης.

Παράδειγμα: Για το πρόβλημα του Δ.Σ. (3) θα έχουμε: Από τα προηγούμενα εί- ναι προφανές ότι θα πρέπει να ορίσουμε μια κατάλληλη προσεγγίζουσα συνάρτηση με προσδιοριστέους συντελεστές και σαν τέτοια υποθέτουμε (λόγω συμπεριφοράς, αφού επαληθεύονται οι συνοριακές συνθήκες) την: που θα περιγράφει την κάμψη της δοκού, με Α τον προς προσδιορισμό συντελεστή. Έτσι, λοιπόν, θα πρέπει για την εφαρμογή της μεθόδου να απαιτήσουμε τον μηδενισμό της συναρτήσεως υπόλοιπο, R(x), σ’ ένα μόνο σημείο του πεδίου ορισμού, που, προφανώς επιλέγεται το μέσον του, δηλ. το H/2 (αφού στην προσεγγίζουσα συνάρτηση (6) υπάρχει μία μόνο παράμετρος). Με απλή αντικατάσταση και εκτέλεση των πράξεων έχουμε διαδοχικά: και

Άρα, η συνθήκη μηδενισμού μας δίδει την ακόλουθη ισότητα: Δηλαδή, εάν επιλύσουμε ως προς Α,θα έχουμε την τιμή του: οπότε η προσεγγιστική λύση, από την οποία μπορούμε να πάρουμε την οποιανδήποτε αριθμητική τιμή,θα είναι η: (ii) Η μέθοδος των υποπεδίων (Subdomain Method – S.D.) Σ’ αυτή την περίπτωση οι συναρτήσεις βάρους επιλέγονται ίσες με την μονάδα, πάνω σ’ ένα υποπεδίο ορισμού, της διαφορικής εξίσωσης, ο αριθμός των οποίων είναι και πάλι ίσος με το πλήθος των προσδιοριστέων συντελεστών. Δηλαδή, θα έχουμε σχέσεις του τύπου: Παράδειγμα: Για το πρόβλημα του Δ.Σ. (3), θα έχουμε και πάλι την ίδια προσεγγίζουσα συνάρτηση (6) με μία μόνο παράμετρο,την Α.

Προφανώς τα υποπεδία στην προκειμένη περίπτωση θα είναι μόνο ένα, και αυτό θα είναι το όλο πεδίο ορισμού της Δ.Ε. Έτσι, λοιπόν, η συνθήκη της μεθόδου (8), γίνεται: που η εκτέλεση των πράξεων δίδει διαδοχικά: και τελικά: Οπότε η προσεγγίζουσα συνάρτηση γράφεται στην προκειμένη περίπτωση: (iii) Η μέθοδος Galerkin (G.) Στην μέθοδο αυτή, οι συναρτήσεις βάρους είναι οι ίδιες με τις δοκιμαστικές (προσεγγίζουσες) συναρτήσεις, δηλαδή: οπότε και πάλι απαιτείται το συναρτησιακό του υπολοίπου να είναι ίσο με μηδέν.

Παράδειγμα: Για το πρόβλημα του Δ.Σ. (3) και την ίδια προσεγγιστική συνάρτηση θα έχουμε την αντίστοιχη της (4) συνθήκη μηδενισμού γράφεται: αφού η συνάρτηση βάρους W(x) θα είναι η «δοκιμαστική» (trial) συνάρτηση: Η εκτέλεση πράξεων δίδει: και τελικά, με επίλυση ως προς Α, προκύπτει η ακόλουθη τιμή του Α: Άρα η προσεγγίζουσα συνάρτηση για τη μέθοδο Galerkin θα είναι η :

(iv) Η μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (Least Squares Method-L.S.) Στην τελευταία αυτή περίπτωση η επιλογή της συναρτήσεως βάρους είναι η ίδια με τη συνάρτηση υπόλοιπο: οπότε το προς ελαχιστοποίηση συναρτησιακό,ως προς τις παραμέτρους της δοκιμαστικής συνάρτησης, γίνεται: Παράδειγμα: Για το πρόβλημα του Δ.Σ. (3) και την ίδια προσεγγίζουσα συνάρτηση (6) θα έχουμε το παρακάτω σφάλμα Σ από την ελαχιστοποίηση του οποίου θα προσδιοριστεί η τιμή του Α: ή μετά την τέλεση των πράξεων και της ολοκληρώσεως, λαμβάνουμε την : Για την ελαχιστοποίηση της (14) απαιτείται ο μηδενισμός της παραγώγου του Σ ως προς την παράμετρο Α:

που δίδει την εξίσωση: και τελικά την προσεγγίζουσα συνάρτηση: Οι παραπάνω 4 περιπτώσεις επιλογών των συναρτήσεων βάρους W(x) καλύπτουν τις πιο ενδιαφέρουσες περιπτώσεις της στρατηγικής του βεβαρυμένου υπολοίπου, στις οποίες γίνεται χρήση ολοκληρωτικών εκφράσεων,για τον καθορισμό των τιμών των εμπεριεχόμενων παραμέτρων της προσεγγίζουσας συνάρτησης. Ένα βήμα κοντινώτερα στη σημερινή στρατηγική των Πεπερασμένων Στοιχείων (F.E.M.), αποτελούν οι μέθοδοι των μεταβολών (Variational Methods). (II) Η μέθοδος των μεταβολών (Variational Method - Var.) Η στρατηγική της μεθόδου αυτής εδράζεται στο θεώρημα της σελίδος 26 του βιβλίου σας, το βασικό συσταστικό του οποίου είναι το γεγονός ότι η λύση του διαφορικού συστήματος ( 43)- (42 )- ( 44) καθιστά το συναρτησιακό (41) υπό την συνοδεύουσα συνθήκη (42) ακρότατο.

Οπότε, αντί η αριθμητική λύση να αναζητείται δια του διαφορικού συστήματος, μπορεί να αναζητηθεί δια μέσου της ολοκληρωτικής έκφρασης, με τα γνωστά πλεονεκτήματα της ευστάθειας που προσφέρει η ολοκλήρωση, σε αντίθεση, με την αστάθεια και το λεπτεπίλεπτο της διαφόρισης. Φυσικά υπάρχει ένα κόστος σε αυτή την διαδικασία που εντοπίζεται στην διαπίστωση ότι το παραπάνω βασικό θεώρημα μπορεί να εφαρμοσθεί μόνο σε διαφορικά συστήματα όπου η διαφορική εξίσωση δεν εμπεριέχει εμπλεκόμενη την πρώτη παράγωγο της συναρτήσεως-λύσης. Πιο συγκεκριμένα για την λύση του γενικού διαφορικού συστήματος : με y(0)=y 0 και y(Η)=y H δεδομένες συνοριακές τιμές (σημειώσατε την έλλειψη της dy/dx στην διαφορική εξίσωση ) μορφώνεται το συναρτησιακό: το οποίο φυσικά, για κάθε δεδομένη συνάρτηση y(x) αντικαθιστωμένη σ’ αυτό δίδει μια ορισμένη τιμή στο Σ. Στον λογισμό των μεταβολών αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση y*(x) που καθιστά την τιμή του Σ ελαχίστη, αυτή η συνάρτηση y*(x) είναι που ικανοποιεί και το παραπάνω διαφορικό σύστημα (16).

Έτσι, λοιπόν για τις ανάγκες του προβλήματος μας μπορούμε να θεωρήσουμε κατάλληλες δοκιμαστικές παραμετρικές συναρτήσεις, των οποίων οι εμπεριεχόμενοι παράμετροι μπορούν να προσδιοριστούν από τις συνθήκες ελαχιστοποίησης και έτσι φθάνουμε στην επιζητουμένη αρχική λύση του προβλήματος μας. Παράδειγμα:Για το ίδιο πρόβλημα του Δ.Σ.(3) και την ίδια συνάρτηση(6), η μέθοδος του Λογισμού των Μεταβολών δημιουργεί την αντίστοιχη της (17)έκφραση.To εμπλεκόμενο συναρτησιακό στην περίπτωση αυτή θα είναι το: που γίνεται, μετά την αντικατάσταση (6) της προσεγγίζουσας συνάρτησης: ή μετά την ολοκλήρωση: (18) Η ελαχιστοποίηση του Σ θα δώσει την συνθήκη μηδενισμού, από την οποία θα ευρεθεί η τιμή του Α. Έτσι, λοιπόν, από την (18) εύκολα λαμβάνουμε την εξίσωση :

από την οποία υπολογίζεται η τιμή του Α: Οπότε η προσεγγίζουσα συνάρτηση,στην περίπτωση αυτή, θα είναι η : Παρατήρηση: Μια απλή σύγκριση των εκφράσεων (11), (15) και (19) μας αποκαλύπτει ότι η προσεγγίζουσα συνάρτηση των μεθόδων Galerkin (G.), Λογισμού Μεταβλητών (Var.) και Ελαχίστων Τετραγώνων (L.S.),είναι ακριβώς η ίδια. 3. Συγκρίσεις Φυσικά, η ποιότητα της ευρεθείσης προσεγγιστικής λύσεως σ’ όλες τις Περιπτώσεις, (7), (9), (11) και (19) εξαρτάται από πολλούς παράγοντες, όπως π.χ το Δ.Σ., την αρχική επιλογή της φ(x) κλπ. και δεν είναι δυνατόν να διατυπωθεί πρόταση για το ποια στρατηγική είναι η πιο ακριβής.

Μπορούμε όμως στην συγκεκριμένη περίπτωση που εξετάζουμε και με χρήση της γνωστής αναλυτικής λύσης να δημιουργήσουμε έναν πίνακα που να περιέχει το επί της% σφάλμα της απόκλισης των προσεγγιστικών λύσεων που παρήχθησαν με τις πέντε στρατηγικές (Col., S.D., G., L.S. και Var.). Αυτό γίνεται στον παρακάτω πίνακα 1. Πίνακας 1. Η επί της % απόκλιση της κάμψεως της δοκού

Μια πρώτη ματιά στον παραπάνω πίνακα μας δημιουργεί την εντύπωση ότι οι στρατηγικές Var., G. και L.S. είναι πιο ακριβείς από τις S.D. και Col., αλλά αυτό είναι συμπτωματικό. Π.χ. μπορούμε να επιλέξουμε στην μέθοδο ταύτισης ως σημείο μηδενισμού του σφάλματος όχι το Η/2 αλλά άλλο κατάλληλο, στο οποίο το % σφάλμα να είναι μηδέν (αυτό είναι το σημείο της μεγίστης κάμψεως x=0.3Η). Εν κατακλείδι, το σημαντικό από τις προηγούμενες στρατηγικές που έχουν αναπτυχθεί είναι η χρήση του Ολοκληρωτικού Τελεστή για τον προσδιορισμό της αριθμητικής λύσεως του Δ.Σ. πράγμα που αποτελεί το βασικό γνώρισμα των μεθόδων των πεπερασμένων στοιχείων. Στα επόμενα, με συντομία, θα αναπτύξουμε τη μέθοδο Galerkin λόγω της γενικότητας εφαρμογής της και με λεπτομέρεια την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων,που έχει ευρεία χρήση στις εφαρμογές.

Α.Ε.Μ.Δ.Ε. 7ης Εβδομάδος \ Εργαστήριο 13ο: Στην παρακάτω κατάσταση δοκού (μη ομοιόμορφή ροπή), προκύπτει το ακόλουθο διαφορικό σύστημα (1)-στο σχήμα 1 αποδίδεται η φυσική κατάσταση : Σχήμα 1 (1) Με χρήση της δοκιμαστικής συνάρτησης : εφαρμόσατε τις 5 μεθόδους της θεωρίας (Col., S.D., Gal., Var., L.S.) για την εύρεση της προσεγγιστικής λύσεως και συγκρίνατε τις τιμές τους στο κέντρο, με την τιμή της αναλυτικής λύσεως: