Ανάλυση Ι.2: Μέθοδος των διαφορών (differencing) αναλογία: - αν f(t) = a + b*t (γραμμική τάση), τότε df/dt = b, - αν f(t) = a + b*t2 (μη-γραμμική τάση), τότε d2f/dt2 = 2b ) η παράγωγος αφαιρεί τις τάσεις ! Ορισμός: τελεστής διαφόρισης (difference operator) πρώτης τάξης δεύτερης τάξης

ΧΣ των διαφορών (differenced time-series): έτσι χάνουμε ένα σημείο (το τελευταίο), η ΧΣ είναι πιο μικρή η τάση απαλείφθηκε, η περιοδικότητα διατηρείται (μειώθηκε το πλάτος) αυξήθηκε ο θόρυβος

γιατί αυξήθηκε ο θόρυβος; An E[X] = 0, E[Y] = 0 και Χ,Υ ανεξάρτητες Var[X-Y] = E[(X-Y)2] = Ε[Χ2] – 2 E[X]E[Y] + E[Y2] = Var[X] + Var[Y] αν Var[X] = Var[Y] = 2 Var[X-Y] = 22 δηλ. (X-Y) = 21/2 

το υπόλοιπο (residual), R(ti) = X(ti) - Y(ti): το υπόλοιπο συμπίπτει σχεδόν με την αρχική ΧΣ, αυξήθηκε όμως ο θόρυβος R(ti) = X(ti) – [X(ti+1) - X(ti)] = 2X(ti)-X(ti+1) η μέθοδος των διαφορών είναι καλή για την απαλειφή των τάσεων, το υπόλοιπο που παράγει δεν είναι όμως χρήσιμο

διαφορά δεύτερης τάξης και η τάση και η περιοδικότητα απαλείφθηκαν, έμεινε μόνο ο καθαρός θόρυβος Η μέθοδος των διαφορών είναι καλή για τον προσδιορισμό (extraction) του θορύβου, και την μετατροπή των μη-στάσιμων σε στάσιμες ΧΣ, αυξάνει όμως το πλάτος του θορύβου

Άσκηση 3: υπολογίσετε την ΧΣ Y(ti) των διαφορών πρώτης τάξης της ΧΣ X(ti) της άσκησης 1 γραφική παράσταση, μαζί με την αρχική ΧΣ

{x,y} = {-1,1}

Ανάλυση Ι.3: προσαρμογή (fitting) μιας συνάρτησης Σκοπός εδώ: εκτίμηση και απαλειφή της τάσης Γενικότερος σκοπός: προσαρμογή μιας συνάρτησης σε παρατηρήσεις, μετρήσεις π.χ.: πείραμα ελεύθερης πτώσης, μετράμε την απόσταση X(ti) σαν συνάρτηση του χρόνου ti μέτρηση = «νόμος» + θόρυβος ) interpolation δεν μας ενδιαφέρει, αλλά προσαρμογή, η καμπύλη δεν περνάει από τα σημεία, πρέπει να περναει όμως κοντά από αυτά Χ(ti) X θεωρία: X(ti) = ½ gti2 t

Βασικά βήματα της προσαρμογής 1. επιλογή μιας συνάρτησης για προσαρμογή (θεωρία, άλλη πηγή πληροφοριών, οπτική εκτίμηση) 2. η ίδια η προσαρμογή (fitting) 3. εκτίμηση της ποιότητας της προσαρμογής

Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων (least squares) π.χ. προσαρμογή μιας ευθείας, f(t) = a + b*t ορίζουμε a και b έτσι ώστε να γίνεται ελάχιστο ! X(ti) f(t) η συνολική τετραγωνική απόσταση είναι ελάχιστη f(ti) t ti

Βασικές αρχές της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων ελάχιστο , ) 2 εξισώσεις για 2 αγνώστους ….. ) a, b

προσαρμογή της f(t)= a + b*t στην ΧΣ X(ti) αν η f(t) είναι μη-γραμμική τότε προκύπτουν μη-γραμμικές εξισώσεις, οι οποίες λύνονται μόνο αριθμητικά, π.χ. f(t) = Α sin(*t+φ)

υπόθεση: η τάση είναι γραμμική παράδειγμα: υπόθεση: η τάση είναι γραμμική ) προσαρμογή της συνάρτησης f(t) = a + b*t βρέθηκαν a=0.65 b=0.02 υπόλοιπο R(ti) = X(ti)-f(ti)

Άσκηση 4: προσαρμόσετε στην ΧΣ X(ti) της άσκησης 1 τη συνάρτιση f(t) = a + b*t γραφική παράσταση, μαζί με την αρχική ΧΣ υπολογίσετε το υπόλοιπο – γραφική παράσταση

Ανάλυση ΙΙ: περιοδικότητα σκοπός: διαχωρισμός του περιοδικού μέρους από τον θόρυβο, ξεκινάμε από τη ΧΣ χωρίς την τάση μέθοδοι: 1. γραμμικό φιλτράρισμα, - είτε με τον τρέχοντα μέσο όρο, αλλά μικρό παράθυρο Κ, - είτε με εκθετική εξομάλυνση (exponential smoothing) και υπόλοιπο (residual) 2. προσαρμογή της συνάρτησης f(t) = A sin(ω*t+φ) (ελάχιστα τετράγωνα, least squares)

+ + = συνυπάρχουν 3 χαρακτηριστικα: τάση, περιοδικότητα, θόρυβος Σκοπός: απομόνωση του καθένα + + = τάση περιοδικότητα θόρυβος έτσι μπορούμε να χαρακτηρίσουμε πιο καθαρά το κάθε χαρακτηριστικό

τρέχοντας μέσος όρος (moving average), Κ = 2 αρχική ΧΣ χωρίς τάση φιλτραρισμένη ΧΣ υπόλοιπο

εκθετική εξομάλυνση (exponential smoothing),  = 0.2 αρχική ΧΣ χωρίς τάση φιλτραρισμένη ΧΣ υπόλοιπο

προσαρμογή της f(t) = A sin (ω*t+φ), πρώτη προσπάθεια αρχική ΧΣ, χωρίς τάση προσαρμογή, βρέθηκαν: Α = -0.14 ω = 0.994 φ = 3.32 περίοδος Τ = 6.32 αρχική ΧΣ + προσαρμογή ) η προσαρμογή απέτυχε εντελώς ...

λόγος της αποτυχίας: η συνάρτηση f(t) είναι μη-γραμμική, η λύση Α, ω, φ στη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων βρίσκεται αριθμητικά έτσι ώστε να γίνεται ελάχιστο τοπικά, ξεκινώντας από μια αυτόματη, αυθαίρετη αρχική πρόβλεψη (initial guess) της Mathematica ρ ω αυθαίρετη αρχική πρόβλεψη (initial guess) περιεκτικό (global) ελάχιστο τοπικό ελάχιστο που βρέθηκε ορίζοντας όμως εμείς ρητά (explicitly) μια καλύτερη αρχική πρόβλεψη (initial guess), η μέθοδος μπορεί ίσως να πετύχει !

προσαρμογή της f(t) = A sin (ω*t+φ), δεύτερη προσπάθεια με ρητή αρχική πρόβλεψη (explicit initial guess) αρχική ΧΣ, χωρίς τάση αρχική πρόβλεψη : A0 = ?, ω0 = 2/T0 = ? ! A0 = 10, ω0 = 2/40 προσαρμογή: βρέθηκαν Α = 9.98 ω = 0.16 φ = -0.02 περίοδος Τ = 39.49 ύπολοιπο (περιέχει μια μικρή τάση) η μέθοδος της προσαρμογής μας δίνει και την περίοδο !

Άσκηση 4α: Διαχωρίσετε την περιοδικότητα από τον θόρυβο για την ΧΣ χωρίς τάση της άσκησης 1δ, χρησιμοποιώντας την μέθοδο του τρέχοντα μέσου όρου. γραφική παράσταση

Άσκηση 4β: Διαχωρίσετε την περιοδικότητα από το θόρυβο για την ΧΣ χωρίς τάση της άσκησης 1δ, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της προσαρμογής. γραφική παράσταση

προσαρμογή με Mathematica: αρχική ΧΣ συνάρτηση για παράμετροι προσαρμογή yfit4 = FindFit[ yfit2r, a*Sin[w*tt + ph], { {a, 10}, {w, 2.*Pi/40.}, ph}, tt ] initial guess yfit4 είναι “replacement table” εδώ ή σε παλιότερες εκδοχές της Mathematica: <<Statistics`NonlinearFit` yfit4 = NonlinearFit[ yfit2r, a*Sin[w*tt+ph], tt, { {a,10}, {w,2.*Pi/40.}, {ph,0} } ] υποχρεωτικά δίνουμε αρχική πρόβλεψη (initial guess) για όλες τις παραμέτρους, και η σειρά των παραμέτρων είναι διαφορετική εδώ yfit4 είναι συνάρτηση

Ανάλυση: σύνοψη (μέθοδος του τρέχοντα μέσου όρου) αρxική ΧΣ = τάση + περιοδικότητα (1o υπόλοιπο) + θόρυβος (2ο υπόλοιπο)

Συμπέρασμα Για την περίπτωση της ΧΣ που αναλύσαμε, οι μέθοδοι του τρέχοντα μέσου όρου και της προσαρμογής ήταν επιτυχείς στην ταύτιση και της τάσης και της περιοδικότητας Οι μέθοδοι της εκθετικής εξομάλυνσης και των διαφορών δεν έδωσαν τόσο ικανοποιητικά αποτελέσματα Αυτό το συμπέρασμα όμως δεν γενικεύεται, αλλά εξαρτάται από τη συγκεκριμένη περίπτωση της ΧΣ που αναλύουμε ... ... καλά είναι να ξέρουμε διάφορες μεθόδους !