ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΟΣ SIGNAL PROCESSING ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΟΣ Bit-Rate , Bandwidth ΝΙΚΟΛΑΟΣ Α. ΤΣΟΛΙΓΚΑΣ Ιανουάριος 2014

Συχνότητα και περίοδος είναι anastrofa ανάστροφα το ένα με το αλλο. Σημειωση: Συχνότητα και περίοδος είναι anastrofa ανάστροφα το ένα με το αλλο.

Table 3.1 Units of period and frequency

Παράδειγμα 1.1 Για παραγόμενη ισχύ με συχνότητα 60 Hz Η περίοδος της κυματομορφής είναι ιση με :

Παραδειγμα 1.2 Η περίοδος ενος σήματος είναι 100 ms. Ποια είναι η συχνότητα του σε kilohertz? Solution Πρωτα μετατρεπουμε τα 100 ms σε seconds, και μετα υπολογίζουμε την συχνότητα από την περίοδο. (1 Hz = 10−3 kHz).

Example 3.6 Ένα ημιτονικο σήμα είναι εκτός φάσεως κατά 1/6 του κύκλου. Ποια είναι η φάση σε μοίρες και radians? Λυση: Ένας πλήρης κύκλος είναι s 360°. Συνεπώς το 1/6 του κύκλου είναι:

Εικονα 1 Απεικόνιση στο πεδίο του χρόνου και των συχνοτήτων Εικονα 1 Απεικόνιση στο πεδίο του χρόνου και των συχνοτήτων τριών ημιτονικων σημάτων

Σημειωση: Το εύρος συχνοτήτων ( bandwidth ) ενός συνθέτου σήματος είναι διαφορά μεταξύ της υψηλότερης συχνότητας που περιέχεται στο σήμα με την χαμηλότερη συχνότητα του σήματος.

Εικονα 2. Το bandwidth ενός συνθέτου σήματος

Παράδειγμα 1.χχ Ένα περιοδικό σήμα αναλύεται σε πέντε ημιτονικα σήματα με συχνότητες 100, 300, 500, 700, and 900 Hz, υπολογίσατε το bandwidth? Απεικονίσατε το διάγραμμα συχνοτήτων (spectrum), υποθέτοντας ότι όλα τα στοιχεία έχουν μέγιστο εύρος 10 V. Λυση Ένα fh είναι η μεγαλύτερη συχνότητα, fl η μικρότερη συχνότητα και B είναι το εύρος συχνοτήτων (bandwidth). Τότε Το spectrum έχει πέντε ‘κορυφές’ στις συχνότητες 100, 300, 500, 700, and 900 Hz (όπως στην εικόνα χχ ).

Figure 1.χχ Το bandwidth

Παράδειγμα 3.χχχ Ένα περιοδικό σήμα έχει εύρος συχνοτήτων ( bandwidth) 20 Hz. Η μεγαλύτερη συχνότητα είναι 60 Hz. Ποια είναι η μικρότερη συχνότητα? Απεικονίσατε το spectrum των συχνοτήτων εάν όλες οι συχνότητες έχουν το ίδιο ύψος (εύρος). Λυση Εάνt fh είναι η μεγαλύτερη συχνότητα, fl η μικρότερη συχνότητα, και B το bandwidth. Τοτε: Απεικόνιση spectrum (Εικόνα 3χχ).

Figure χχχ Το bandwidth

Παραδειγμα 3.χχ Ένα μη περιοδικό σύνθετο σήμα έχει εύρος συχνοτήτων ( bandwidth ) 200 kHz, με μια μέση συχνότητα 140 kHz και μέγιστο ύψος (εύρος) 20 V. Οι δυο extreme συχνότητες έχουν μηδενικό (0) ύψος (εύρος). Απεικονίσατε το σήμα στο επίπεδο των συχνοτήτων. Λύση Η μικτότερη συχνότητα είναι 40 kHz και υψηλότερη στα 240 kHz. (fh+fl=200kHz, (fh+fl)/2 = 140 kHz. Το σχήμα 3.χχχ απεικονίζει τις συχνότητες και το εύρος συχνοτήτων.

Σχήμα 3.χχ Το εύρος ( bandwidth) των συχνοτήτων

Παραδειγμα 3.χχχ Σε ραδιοφωνικούς σταθμούς AM, το bandwidth του σήματος είναι της τάξεως των 10-kHz, η δε περιοχή των συχνοτήτων είναι συνήθως 530-1700kHz. Σε σταθμούς FM το εύρος ενός σταθμού είναι 200-kHz η δε περιοχή των συχνοτήτων είναι 88 έως 108 MHz

DIGITAL SIGNALS – Στάθμες

Παραδειγμα 3.χχχ Ένα ψηφιακό σήμα έχει 8 στάθμες. Πόσα bits χρειαζόμαστε ανά στάθμη??? Και για 9 σταθμες??

Example 3.18 Επιθυμούμε να κατεβάσουμε (download) κείμενο με ρυθμό 100 σελίδες ανά λεπτό. Ποιο είναι το bit-rate του καναλιού???? Εάν κάθε χαρακτήρας απαιτεί 8 bits τότε το bit-rate είναι:

Παραδειγμα 3.χχ Ένα ψηφιακό κανάλι φωνής δημιουργείται από την ψηφιοποίηση από ένα αναλογικό σήμα εύρους συχνοτήτων 4-kHz (bandwidth). Το σήμα δειγματοληπτειται με συχνότητα διπλάσια της μεγαλύτερης συχνότητας (Δυο δείγματα ανά κύκλο). Κάθε δείγμα απαιτεί 8 bits. Ζητείται το bit rate Λυση To bit-rate υπολογίζεται από

Example 3.20 Ποιο είναι το bit rate για TV Υψηλής πιστότητας (high-definition) TV (HDTV)? Solution Μια οθόνη HDTV εχει συνηθως λογο 16 : 9. Υπάρχουν 1920 χ 1080 pixels ανα οθόνη και η οθόνη (frame) ανανεώνεται 30 times per second. 24 bits χρειάζονται για κάθε έγχρωμο pixel. Οι σταθμοι με χρησ αλγοριθμων συμπιεσης ελλατωνουν τον ρυθμο στα: 20 to 40 Mbps.

Εικονα 3.χχχχ Μετάδοση

Figure 3.19 Bandwidths δυο καναλιών χαμηλής διέλευσης συχνοτήτων

Figure 3.20 Baseband transmission using a dedicated medium

Παραδειγμα 3.χχ Πιο είναι το φάσμα συχνοτήτων bandwidth ενός καναλιού διέλευσης χαμηλών συχνοτήτων όταν στέλνουμε 1 Mbps. Solution The answer depends on the accuracy desired. a. Το ελαχιστο bandwidth, είναι, B = bit rate /2, or 500 kHz.

Παράδειγμα 3.χχ Εάν σε κανάλι διέλευσης χαμηλών έχουμε φασμα συχνοτητων bandwidth 100 kHz. Ποιο είναι το maximum bit rate για αυτό το κανάλι.? Λυση The bit rate είναι 2 times το διαθέσιμο το φάσμα συχνοτήτων bandwidth, or 200 kbps.

Figure 3.23 το φάσμα συχνοτήτων ενός καναλιού διέλευσης.

Παράδειγμα 3.χ Όταν ένα σημα δια μεσω ενονος μεσου η ισχυσ του ελλατωνεται στο μισο δηλαδη P2 is (1/2)P1. τοτε η εεξασθενηση (Απωλεια ισχυος) υπολογιζεταιαπο την σχεση: Μια απώλεια 3 dB (–3 dB) είναι ισοδύναμη με την απώλεια μισής ισχύος.

Παράδειγμα 3.χ Ένα ισχύς ενός σήματος ενισχύεται 10 φορές τότε P2 = 10P1 . Συνεπώς το κέρδος σε ισχύ υπολογίζεται από :

Παράδειγμα 3.χ Μερικές φορές τα decibel χρησιμοποιούνται για μέτρηση της ισχύος του σήματος σε milliwatts. Σε αυτή την περίπτωση αναφέρονται ως: dBm και υπολογίζονται από τον τύπο Bm = 10 log10 Pm , όπου Pm είναι η ισχύς σε milliwatts. Π.Χ υπολογίσατε την ισχύ ενός σήματος με dBm = −30. Λυση

Παράδειγμα 3.χ Οι απώλειες ενός καλωδίου εκφράζεται σε decibels ανα kilometer (dB/km). Εάν το καλώδιο έχει απώλεια −0.3 dB/km και το σήμα έχει ισχύ 2 mW, ποια είναι η ισχύς του σήματος στα 5 km? Λύση Οι απώλειας του καλωδιου είναι: × (−0.3) = −1.5 dB.

Σχημα 3.28 Παραμόρφωση

Σχημα 3.29 Θορυβος

Παράδειγμα 3.χ Η ισχύς ενός σήματος είναι 10 mW και η ισχύς του θορύβου 1 μW; Ποια εναι η τιμή του SNR and SNRdB ?

Σχημα 3.χχχ Tδυο περιπτωσεις f SNR: a high SNR and a low SNR

Παράδειγμα 3.χ Κανάλι με φάσμα συχνοτήτων bandwidth 3000 Hz μεταδίδει σήμα με δυο στάθμες. Τοτε το Max bit rate υπολογίζεται:

Παράδειγμα 3.χ Κανάλι με φάσμα συχνοτήτων bandwidth 3000 Hz μεταδίδει σήμα με τέσσερες στάθμες. Τοτε το Max bit rate υπολογίζεται:

Παράδειγμα 3.χ Εάν απαιτείται να στείλουμε 265 kbps σε κάποιο καναλι με bandwidth 20 kHz. Πόσες στάθμες σήματος απαιτούνται? Λυση Nyquist formula : Επειδή οι 98.7 στάθμες δεν είναι δύναμη του 2 απαιτείται η να αυξήσουμε τις στάθμες η να ελαττώσουμε το bit-rate. Εάν έχουμε 128 στάθμες το bit rate είναι 280 kbps. Εάν έχουμε 64 levels, το bit rate είναι 240 kbps.

Παράδειγμα 3.χ Μπορούμε να υπολογίσουμε την υψηλότερη τιμή bit rate μιας τηλεφωνικής γραμμής με φάσμα συχνοτήτων 3000. Ο signal-to-noise ratio είναι συνήθως της τάξεως των 3162. Η χωρητικότητα του καναλιού υπολογίζεται από : Η υψηλότερη τιμή bit rate για μια τηλεφωνική γραμμή είναι 34.860 kbps. Εάν θελήσουμε να στείλουμε δεδομένα ταχύτερα τότε πρέπει η να αυξήσουμε τον λόγο S/N η να αυξήσουμε το bandwidth της γραμμής .

Παράδειγμα 3.χ Ο λόγος signal-to-noise δίνεται σε decibels. Υποθέτουμε ότι SNRdB = 36 και το φάσμα bandwidth του καναλιού είναι 2 MHz. Τότε η χωρητικότητα του καναλιού υπολογίζεται από τον τύπο:

Παράδειγμα 3.χ Για κανάλι με φάσμα 1-MHz bandwidth. Ο SNR είναι 63. υπολογίσατε το bit rate και τις στάθμες. Λυση Shannon formula.