Βελτίωση Ποιότητας Εικόνας: Επεξεργασία στο πεδίο της Συχνότητας ΔΤΨΣ 150 – Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Βελτίωση Ποιότητας Εικόνας: Επεξεργασία στο πεδίο της Συχνότητας Τμήμα Διδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστημάτων Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Περιεχόμενα – Βιβλιογραφία  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Περιεχόμενα – Βιβλιογραφία Περιεχόμενα Ενότητας Εισαγωγή Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας Από χωρικά φίλτρα σε φίλτρα Συχνότητας Χαμηλοπερατά Φίλτρα Υψιπερατά Φίλτρα Βιβλιογραφία: Πήτας [1999]: Κεφάλαιο 5 Gonzales [2002]: Chapter 4 Gonzales [2004]: Chapter 4

 2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Εισαγωγή Η επεξεργασία ψηφιακών εικόνων στο πεδίο της συχνότητας στοχεύει στην βελτίωση της λαμβάνοντας υπόψη την κατανομή των συχνοτήτων της εικόνας: Στις εικόνες οι συχνότητες αντιπροσωπεύουν την ταχύτητα μεταβολής της φωτεινότητας ή του χρώματος Υπάρχουν δύο κατευθύνσεις μεταβολής της φωτεινότητας ή του χρώματος, η οριζόντια και η κάθετη. Επεξεργασία στο πεδίο της συχνότητας εφαρμόζεται με την εφαρμογή φιλτραρίσματος

 2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Ημιτονικές Εικόνες Κάθε συνεχές μονοδιάστατο σήμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα ημιτονικών σημάτων Κάθε εικόνα μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα ημιτονικών εικόνων Μια ψηφιακή ημιτονική εικόνα Ι1 είναι μια εικόνα η οποία έχει στοιχεία:

Ημιτονικές Εικόνες (ΙΙ)  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Ημιτονικές Εικόνες (ΙΙ) Η διπλανή εικόνα είναι μια ημιτονική εικόνα η οποία περιγράφεται από τη σχέση: Η παραπάνω εικόνα διαστάσεων ΜxN = 1024x1024, έχει οριζόντια συχνότητα v = 10 Hz (έχουμε 10 περιοδικές επαναλήψεις των στοιχείων της εικόνας κατά την οριζόντια κατεύθυνση) και u = 20 Hz (έχουμε 20 περιοδικές επαναλήψεις των στοιχείων της εικόνας κατά την κάθετη κατεύθυνση)

Συνημιτονικές Εικόνες και Μιγαδικές Εικόνες  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Συνημιτονικές Εικόνες και Μιγαδικές Εικόνες Μια συνημιτονική εικόνα περιγράφεται από τη σχέση: Επειδή η διαφορά μιας ημιτονικής από μια συνημιτονική εικόνα εξαρτάται απλά από μια διαφορά φάσης (από ποια τιμή φωτεινότητας ή χρώματος ξεκινά η εικόνα) πολλές φορές εκφράζουμε τυχαίες εικόνες ως άθροισμα μιγαδικών εκθετικών εικόνων. Από τη σχέση του Euler έχουμε: Επομένως μια μιγαδική εκθετική εικόνα (μη υπαρκτή ως φυσική οντότητα) ορίζεται ως:

Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier Έστω μια εικόνα f(x,y), με x = 0, 1, 2, …, M-1 και y = 0, 1, 2, …,N-1 Ο δισδιάστατος διακριτός μετασχηματισμός Fourier ορίζεται ως: Πρέπει να τονιστεί ότι τα (x, y) αποτελούν συντεταγμένες χώρου (καθορίζουν τις συντεταγμένες των pixels) ενώ τα (u, v) αποτελούν συντεταγμένες συχνοτήτων οι οποίες εκφράζονται σε κύκλους ανά εικόνα. Για τον Διακριτό Μετασχηματισμό Fourier συνήθως χρησιμοποιούμε την συντομογραφία DFT (Discrete Fourier Transform). O Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier μας προσφέρει την δυνατότητα μετάβασης από το πεδίο χώρου μιας εικόνας (spatial domain) στο αντίστοιχο πεδίο συχνοτήτων της (frequency domain) αναλύοντας μια εικόνα ως άθροισμα μιγαδικών εκθετικών εικόνων. Αυτή η δυνατότητα είναι πολύ σημαντική γιατί η επέμβαση στο πεδίο συχνοτήτων μιας εικόνας είναι ένας από τους σημαντικότερους τρόπους τροποποίησης και επεξεργασίας της.

Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier (II)  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier (II) Το αποτέλεσμα του DFT μιας εικόνας f(x,y) διαστάσεων Μ x N, είναι επίσης ένας πίνακας διαστάσεων M x N. Επομένως: Στη πραγματικότητα η μέγιστη οριζόντια συχνότητα που μπορεί να περιέχεται σε μια ψηφιακή εικόνα Μ x N είναι Ν/2 (ένας κύκλος τιμών φωτεινότητας ή χρώματος της εικόνας ολοκληρώνεται εντός δύο pixel). Ομοίως η μέγιστη κάθετη συχνότητα που μπορεί να περιέχεται σε μια ψηφιακή εικόνα Μ x N είναι Μ/2. O Αντίστροφος Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (IDFT - Inverse DFT) μας βοηθά να ανακτήσουμε την αρχική μας εικόνα από το πεδίο συχνοτήτων της. Ο μαθηματικός του τύπος είναι ο ακόλουθος:

Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier (ΙII)  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Fourier (ΙII) Για τον υπολογισμό του DFT μιας εικόνας, στις πλείστες περιπτώσεις, χρησιμοποιείται ο αλγόριθμος FFT (Fast Fourier Transform), ένας αποδοτικός, υπολογιστικά, αλγόριθμος και ένας από τους πλέον δημοφιλείς και χρησιμοποιούμενους αλγορίθμους Στη Matlab ο δισδιάστατος DFT, μιας εικόνας f, υπολογίζεται με την εντολή F = fft2(f). Το αποτέλεσμα του IDFT είναι μια μιγαδική εικόνα g ( g = ifft2(F) ). Με δεδομένο ότι εικόνες με μιγαδικές τιμές για τα pixel δεν έχουν κανένα φυσικό νόημα θα πρέπει να απομονώσουμε το πραγματικό μέρος της εικόνας g και μόνο αυτό να απεικονίσουμε.

Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier Μπορούμε να κατανοήσουμε τον πίνακα DFT καλύτερα μελετώντας μερικές ιδιότητες του. Κάθε εικόνα f που μελετάμε, αποτελείται από πραγματικούς αριθμούς ή ακεραίους, οι οποίοι εκφράζουν τη φωτεινότητα ή το χρώμα της εικόνας σε συγκεκριμένα σημεία της (pixels). Ωστόσο, o DFT της είναι γενικά μιγαδικός. Ο DFT μίας εικόνας μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα ενός πραγματικού και ενός φανταστικού πίνακα:

Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier (ΙΙ)  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier (ΙΙ) Επομένως ο DFT F της εικόνας f έχει μέτρο (magnitude) και φάση (phase): Το μέτρο του DFT ορίζεται ως: Η φάση δίνεται από τη σχέση: Αν F είναι ο DFT F της εικόνας f τότε με την εντολή Fm = abs(F) στη Matlab παίρνουμε το μέτρο του και με την εντολή Α = angle(F) τη φάση (σε ακτίνια)

Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier (ΙΙΙ)  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier (ΙΙΙ)

Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier (ΙV)  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier (ΙV)

Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier (V)  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier (V)

Συμμετρία Μετασχηματισμού Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Συμμετρία Μετασχηματισμού Fourier Από τις ιδιότητες του DFT προκύπτει ότι ο DFT μιας εικόνας περιέχει πλεονασματικές πληροφρίες, δηλαδή έχουμε τις ίδιες πληροφορίες περισσότερες από μία φορές (συμμετρία). Το επόμενο σχήμα παρουσιάζει τις συμμετρίες που ισχύουν στο μέτρο του DFT μιας εικόνας Συμμετρία ως προς το μέσο (συχνότητα (u,v)=(Μ/2,Ν/2)) – Βλέπε σχήμα στα αριστερά Η κατανομή των συχνοτήτων του DFT φαίνεται στο σχήμα στο κέντρο Πολλές φορές όμως για καλύτερη οπτική απεικόνιση θεωρούμε απεικόνιση με κέντρο των αξόνων το μέσο του πίνακα (εντολή fftshift στη Matlab) - Βλέπε σχήμα στα δεξιά

Ποιοτικές Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Ποιοτικές Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier Μερικές φορές είναι εύκολο να χάσουμε την έννοια του DFT και του περιεχομένου συχνότητας της εικόνας για χάρη των μαθηματικών. Ο DFT αποτελεί μια περιγραφή των περιεχόμενων συχνοτήτων σε μια εικόνα Κοιτάζοντας το DFT ή το φάσμα μιας εικόνας (απεικόνιση του μέτρου του DFT της εικόνας), μπορούμε να προσδιορίσουμε πολλά στοιχεία σχετικά με την εικόνα. Οι φωτεινές περιοχές στην DFT “εικόνα” αντιστοιχούν στις συχνότητες οι οποίες έχουν μεγάλο μέτρο (ισχύ) στην πραγματική εικόνα. Μεγάλες τιμές κοντά στο κέντρο του (μετατοπισμένου) DFT αντιστοιχούν σε μεγάλες ομαλές περιοχές της εικόνας ή σε ισχυρά φωτεινό φόντο. Από τη στιγμή που οι εικόνες είναι θετικές (τιμές φωτεινότητας ή χρώματος στο διάστημα [0 255]), κάθε εικόνα έχει μια μεγάλη κορυφή στο (u, v) = (0, 0) που είναι ανάλογη με τη μέση φωτεινότητα της εικόνας

Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας Στη χωρική επεξεργασία εικόνας με χρήση μάσκας η μάσκα εφαρμόζεται επαναληπτικά σε όλα τα pixel της εικόνας. Η διαδικασία αυτή είναι γνωστή ως συνέλιξη και συμβολίζεται με *. Για παράδειγμα το αποτέλεσμα g(x,y) της χωρικής επεξεργασίας της εικόνας f(x,y) με τη μάσκα h(x,y) ορίζεται ως: g(x,y) = f(x,y)*h(x,y) Από τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier προκύπτει ότι g(x,y) = IDFT{G(u,v)}, όπου G(u,v) = F(u,v)·H(u,v)

Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας (ΙΙ)  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας (ΙΙ) όπου F(u,v) = DFT{f(x,y)}, και H(u,v) = DFT{h(x,y)}, τέτοιο ώστε οι πίνακες F(u,v) και Η(u,v) να έχουν τις ίδιες διαστάσεις Ο πολλαπλασιασμός F(u,v)·H(u,v) εκτελείται στοιχείο προς στοιχείο και δεν αντιπροσωπεύει τον κλασικό πολλαπλασιασμό πινάκων

Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας (ΙΙΙ)  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας (ΙΙΙ) Το φιλτράρισμα στο χώρο της συχνότητας μας δίνει τη δυνατότητα να σχεδιάζουμε φίλτρα τα οποία αποκόπτουν συγκεκριμένες συχνότητες οι περιοχές συχνοτήτων Αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό στις περιπτώσεις στις οποίες γνωρίζουμε την αιτία που προκαλεί υποβάθμιση της ποιότητας της εικόνας (π.χ. το grid που χρησιμοποιείται στις ακτινογραφίες X) Θεωρήστε το παράδειγμα της διπλανής εικόνας: Η εικόνα είναι μια ημιτονική εικόνα με συχνότητες u = 20 Hz και v = 10 Hz στην οποία έχει επιδράσει ένα ανεπιθύμητο τετραγωνικό πλέγμα

Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας (ΙV)  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας (ΙV) Μπορούμε να αποκαταστήσουμε την εικόνα φιλτράροντας όλες τις συχνότητες της εικόνας οι οποίες είναι διάφορες από u = 20 Hz και v = 10 Hz Στην πραγματικότητα ποτέ δεν μπορούμε να ξέρουμε επακριβώς τις συχνότητες που περιέχονται σε μια τυχαία εικόνα (η οποία έχει κάποιο νόημα) Γνωρίζουμε όμως σε πολλές περιπτώσεις τις συχνότητες του θορύβου (ανεπιθύμητου σήματος) που υποβαθμίζει τις εικόνες. Βελτίωση της εικόνας με απαλοιφή της επίδρασης σε αυτές τις περιπτώσεις είναι γνωστή ως αποκατάσταση εικόνας (image restoration)

Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας (V)  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας (V) (α) Αρχική Εικόνα f (β) Μετασχηματισμός Fourier F

Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας (VI)  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας (VI) (α) Εικόνα με επίδραση θορύβου q (β) Μετασχηματισμός Fourier Q

Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας (VII)  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας (VII) (α) Απόκριση συχνότητας φίλτρου Η (β) G = Q·H

Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας (VIII)  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας (VIII) Η εικόνα του διπλανού σχήματος προέκυψε από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier του πίνακα G G = Q·H Q = DFT (q) q η θορυβώδης εικόνα Η η επιθυμητή απόκριση συχνότητας του φίλτρου με το οποίο επεξεργαζόμαστε την εικόνα q (a) g = IDFT(G)

Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας (IΧ)  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας (IΧ) Ορίζοντας κατευθείαν στο χώρο της συχνότητας τους πίνακες H μπορούμε να επεξεργαστούμε συγκεκριμένες περιοχές συχνοτήτων Υψιπερατό φιλτράρισμα => αποκοπή χαμηλών συχνοτήτων (π.χ. χρήση για ανάδειξη ακμών) Χαμηλοπερατό φιλτράρισμα => αποκοπή υψηλών συχνοτήτων (π.χ. χρήση για απαλοιφή θορύβου, λείανση εικόνας) Ζωνοφρακτικό φιλτράρισμα => αποκοπή ενδιάμεσων συχνοτήτων (π.χ. απαλοιφή θορύβου συγκεκριμένων συχνοτήτων όπως σε περιπτώσεις αποκατάστασης εικόνας) H για υψιπερατό φιλτράρισμα H για ζωνοφρακτικό φιλτράρισμα H για χαμηλοπερατό φιλτράρισμα

Από χωρικά φίλτρα σε φίλτρα Συχνότητας  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Από χωρικά φίλτρα σε φίλτρα Συχνότητας Πραγματοποιείται μέσω του μετασχηματισμού Fourier της μάσκας h η οποία εφαρμόζεται για χωρικό φιλτράρισμα. Υπάρχει ένα λεπτό σημείο σε αυτή τη μεθοδολογία: Η εφαρμογή χωρικού φιλτραρίσματος επιβάλλει συνέλιξη της εικόνας f , διαστάσεων MxN, με την μάσκα h, διαστάσεων mxn με m<<M, n<<N, με βάση τη σχέση: g = f*h Ισοδύναμα G = F·H όπου F=DFT{f}, H=DFT{h} Για εφαρμογή του παραπάνω όμως πρέπει Η και F να έχουν την ίδια διάσταση Αλλά Η = DFT{h} έχει διαστάσεις mxn ενώ F=DFT{f} έχει διαστάσεις MxN. Για να μπορεί να εφαρμοστεί η σχέση G = F·H για φιλτράρισμα στο χώρο της συχνότητας εκτελούνται τα παρακάτω βήματα: Επεκτείνεται η μάσκα h με μηδενικά ώστε να έχει διαστάσεις MxN Λαμβάνεται ο DFT της νέας μάσκας h δηλαδή Η = DFT{h} Εφαρμόζεται η σχέση G = F·H Η φιλτραρισμένη εικόνα g = IDFT{G}

Από χωρικά φίλτρα σε φίλτρα Συχνότητας (ΙΙ)  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Από χωρικά φίλτρα σε φίλτρα Συχνότητας (ΙΙ) Ο μετασχηματισμός Fourier Η της μάσκας h = [1 0 -1; 2 0 -2; 1 0 -1] για εφαρμογή σε μια εικόνα f διαστάσεων 1024 x 1024, δίνεται στο διπλανό σχήμα: Παρατηρούμε ότι το συγκεκριμένο φίλτρο έχει υψηλή απόκριση στις χαμηλές κάθετες συχνότητες (v<<M/2) και στις ενδιάμεσες – ψηλές οριζόντιες συχνότητες (umax ≈ N/4)

 2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Χαμηλοπερατά Φίλτρα Το ιδεατό χαμηλοπερατό φίλτρο (IDLPF) έχει συνάρτηση μεταφοράς Η (μετασχηματισμό Fourier της μάσκας h) της μορφής: Όπου D(u,v) είναι η απόσταση του σημείου με συχνότητες (u,v) από το σημείο (0,0), και D0 είναι ένας θετικός αριθμός (συχνά αναφέρεται ως ακτίνα του χαμηλοπερατού φίλτρου)

Ιδεατό χαμηλοπερατό φίλτρο  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Ιδεατό χαμηλοπερατό φίλτρο Η επιλογή της τιμής του D0 στο ιδεατό χαμηλοπερατό φίλτρο καθορίζει πόση από τη συνολική ισχύ της εικόνας θέλουμε να διατηρήσουμε

Χαμηλοπερατά Φίλτρα: Φίλτρο Butterworth  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Χαμηλοπερατά Φίλτρα: Φίλτρο Butterworth Τα ιδεατά χαμηλοπερατά φίλτρα δεν είναι υλοποιήσιμα με υλικό. Επιπλέον δημιουργούν εικόνες με ‘δακτυλίδια’ (ringing effect) εξαιτίας της απότομης μεταβολής μεταβολής της Hideal από την τιμή 1 στη τιμή 0. Τα χαμηλοπερατά φίλτρα Butterworth (BLPF) έχουν συνάρτηση μεταφοράς Η της μορφής (n είναι η τάξη του φίλτρου):

Σύγκριση ιδεατού και φίλτρου Butterworth  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Σύγκριση ιδεατού και φίλτρου Butterworth

Χαμηλοπερατά Φίλτρα: Φίλτρα Gauss  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Χαμηλοπερατά Φίλτρα: Φίλτρα Gauss Τα χαμηλοπερατά φίλτρα Gauss (GLPF) έχουν συνάρτηση μεταφοράς Η της μορφής (D0 είναι η τυπική απόκλιση του φίλτρου):

Φίλτρα Gauss  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Φίλτρα Gauss

Φίλτρα Gauss (II)  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Φίλτρα Gauss (II)

 2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Υψιπερατά Φίλτρα Υψιπερατά φίλτρα είναι φίλτρα τα οποία χρησιμοποιούνται για την ανάδειξη ακμών στις εικόνες Ο απλόυστερος τρόπος για τον υπολογισμό της συνάρτησης μεταφοράς ενός υψιπερατού φίλτρου είναι χρησιμοποιώντας τη σχέση Ηhigh=1-Hlow όπου Ηlow η συνάρτηση μεταφοράς του αντίστοιχου χαμηλοπερατού φίλτρου.,

Υψιπερατά Φίλτρα (ΙΙ) Με βάση τη προηγούμενη σχέση έχουμε:  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Υψιπερατά Φίλτρα (ΙΙ) Με βάση τη προηγούμενη σχέση έχουμε: IHPF (Ideal High Pass Filter): HIHPF = 1 - HILPF BHPF (Butterworth High Pass Filter): HBHPF = 1 - HBLPF GHPF (Gauss High Pass Filter): HGHPF = 1 - HGLPF Η μορφή των αντίστοιχων φίλτρων φαίνεται στο διπλανό σχήμα

Υψιπερατά Φίλτρα (ΙΙΙ)  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Υψιπερατά Φίλτρα (ΙΙΙ)

Υψιπερατά Φίλτρα (ΙV)  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Υψιπερατά Φίλτρα (ΙV)

Υψιπερατά Φίλτρα (V)  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Υψιπερατά Φίλτρα (V)

Εφαρμογές επεξεργασίας στο πεδίο της συχνότητας  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Εφαρμογές επεξεργασίας στο πεδίο της συχνότητας Στο διπλανό σχήμα επιδεικνύεται η χρήση του μετασχηματισμού Fourier για τον εντοπισμού προτύπων στο πεδίο της συχνότητας Αναζήτηση του γράμματος T στην εικόνα: Σχηματισμός μάσκας h για το γράμμα Τ Υπολογισμός του επεκτεταμένου (στο μέγεθος της εικόνας) μετασχηματισμού Fourier H της μάσκας h Πολλαπλασιασμός του Η με το μετασχηματισμό Fourier F της εικόνας f: G = F·H Εντοπισμός του μεγίστου του πίνακα G

 2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας  Εκτίμηση Απόκρισης Συχνότητας Χωρικών Φίλτρων  Χαμηλοπερατά Φίλτρα  Υψιπερατά Φίλτρα Σύνοψη Το υλικό που παρουσιάστηκε σε αυτή την ενότητα αναφέρεται στη βελτίωση ποιότητας εικόνας στο πεδίο της συχνότητας. Ο σχεδιασμός φίλτρων στο πεδίο της συχνότητας παρέχει ταχύτητα εκτέλεσης αλλά και ακρίβεια και προβλεψιμότητας του τελικού αποτελέσματος Ο διακριτός δισδιάστατος μετασχηματισμός Fourier και οι ιδιότητες του παρέχουν το θεωρητικό υπόβαθρο για την επεξεργασία εικόνας στο πεδίο της συχνότητας Η επεξεργασία μιας εικόνας f στο πεδίο της συχνότητας περιγράφεται από το παρακάτω σχήμα: