Αριθμητική με σφηνοειδείς αριθμούς Ν. Καστάνη Αριθμητική με σφηνοειδείς αριθμούς Ν. Καστάνη Πρόσθεση   90 206 110 60+30 360+26 60+50 360+27 50 60+33 27 1 33 1603 33602 2760 Άθροισμα

Πολλαπλασιασμός Για τις ανάγκες του πολλαπλασιασμού υπήρχαν έτοιμοι πίνακες Π.χ. προπαίδεια με το 9 1 9 2 18 3 27 . 19 2 ; 51 [260+51=171] 20 3 ; [360+0=180] 30 4 ; 30 [460+30=270] 40 6 ; [660+0=360] 50 7 ; 30 [760+30=450]  

Πολλαπλασιασμός Προπαίδεια με το 25 1 25 2 50 3 1 ; 15 [160+17=75] 4 1 ; 40 [160+40=100] 5 2 ; 05 [260+5=125] 6 2 ; 30 [260+30=130] . 12 5 ; [560+0=300] 13 5 ; 25 [560+25=325] 14 5 ; 50 [560+50=350] 15 6 ; 15 [660+15=375] 16 6 ; 40 [660+40=400] Προπαίδεια με το 25  

Παρατήρηση σχετικά με τον πολλαπλασιασμός Οι πίνακες πολλαπλασιασμού ενός αριθμού περιείχαν, κατά κανόνα, τα γινόμενα του συγκεκριμένου αριθμού με τους αριθμούς 1-20, 30, 40, 50. Για τις ενδιάμεσες περιπτώσεις γινόταν ένας συνδυασμός των ήδη αναφερόμενων αποτελεσμάτων. π.χ. 239=(209)+(39)=(3 ; ) +(27)=360+0+27= 360+27=3 ; 27

Ανιχνεύοντας έναν πίνακα της παλαιοβαβυλωνιακής περιόδου, 2000-1600 π Ανιχνεύοντας έναν πίνακα της παλαιοβαβυλωνιακής περιόδου, 2000-1600 π.Χ. Στήλη Α Στήλη Β 230=60 320=60 415=60 512=60 610=60 87 30/60=60 ….

Πίνακες αντίστροφων αριθμών 9[6+40/60]=9[6+2/3]=54+6=60 203=60 27[2+13/60+20/60²]= 272+2713/60+2720/60²=54+27 (39+1)/180=54+6=60

Παρατηρήσεις στους πίνακες αντιστρόφων Παρατηρήσεις στους πίνακες αντιστρόφων Απουσιάζουν οι αντίστροφοι των αριθμών 7, 11, 13, 14, 19, 21, 22, … Ο λόγος είναι ότι οι αντίστροφοι αυτών των αριθμών δεν μπορούν να γραφούν ως ακέραιες παραστάσεις δυνάμεων του 60. Οι πίνακες των αντιστρόφων ήταν απαραίτητοι για τις διαιρέσεις, δηλ. αν έπρεπε να γίνει η διαίρεση α:β, τότε γινόταν ο πολλαπλασιασμός του α με τον αντίστροφο του β, αξιοποιώντας δύο πίνακες: αυτόν των αντιστρόφων και αυτόν του πολλαπλασιασμού.

Εξετάζοντας μια πινακίδα Στήλη Γ Στήλη Α A B 41 ή 4060+1=2401 49 4160+40=2500 50 4360+21=2601 51 … 5660+4=3364 58 5860+1=3481 59 160²=3600 60

Πινακίδα τετραγώνων

Πινακίδα Plimpton 322

Πινακίδα Plimpton 322 Νύξεις για το περιεχόμενό της

Πως μπορούσαν να δημιουργήσουν τις στήλες με τις “πυθαγόρειες τριάδες”;     B,C,A Αυτή είναι μια ερμηνεία κάποιων ιστορικών. Δεν συμφωνούν όλοι μ’ αυτή την ερμηνεία