Η Επιστήμη των Υπολογιστών στη Χώρα των Κβάντα Παρουσιαστές : Θεωδορόπουλος Κωνσταντίνος Νταλαπέρας Δημήτριος Πετράς Iάσωνας

Στοιχεία Κβαντικής Μηχανικής Αρχή Υπέρθεσης: Ένα κβαντικό σύστημα μπορεί να βρίσκεται σε παραπάνω από μία καταστάσεις ταυτόχρονα Ότι δεν απαγορεύεται είναι υποχρεωτικό Entanglement: N κβαντικά συστήματα που επέδρασαν το ένα στο άλλο διαθέτουν πληροφορία κοινή, μη προσπελάσιμη τοπικά

Μέτρηση παρατηρίσιμης Ορισμός Η διαδικασία με την οποία μετράμε την τιμή μίας μεταβλητής ενός συστήματος Πιθανότητα μέτρησης Κάθε μέτρηση δίνει μία τιμή μεταβλητής με κάποια πιθανότητα Συνέπεια Μέτρησης Το κβαντικό σύστημα «καταρρέει» στην κατάσταση που αντιστοιχεί στην τιμή που μετρήθηκε

Ερμηνεία των Παράλληλων Συμπάντων κατά Everett Κάθε δυνατό αποτέλεσμα μέτρησης ορίζει και ένα διαφορετικό Σύμπαν Μετά τη μέτρηση τα Σύμπαντα χωρίζουν με ελάχιστη πιθανότητα να συμβάλουν ξανά

Παράλληλα Σύμπαντα Κοινό σύμπαν στο οποίο η μεταβλητή είναι σε υπέρθεση 2 καταστάσεων Σύμπαν 1ο Η μεταβλητή έχει τη 1η από τις 2 δυνατές τιμές Σύμπαν 2ο Η μεταβλητή έχει τη 2η από τις 2 δυνατές τιμές

Ορισμός Κβαντικού bit ή qubit α και β είναι μιγαδικοί που ορίζονται ως πλάτη πιθανότητας Η απόλυτη τιμή τους υψωμένη στο τετράγωνο καθορίζει την πιθανότητα να παρατηρηθεί 0 ή 1

Διαφορές κλασικού bit και qubit Κλασικό Bit Στοιχείο που αποθηκεύει την τιμή 0 ή 1 Η τιμή του ορίζεται ανεξάρτητα από τη μέτρηση Κβαντικό Bit ή qubit Αποθηκεύει την τιμή 1 και 0 ταυτόχρονα Δίνει μία από τις δύο τιμές κατά τη μέτρηση

Στοιχεία probabilistic Υπολογισμού Η πιθανότητα είναι πραγματική Κάθε επιλογή γίνεται με ρίψη νομίσματος Βήματα που δεν ακολούθησε ο υπολογισμός δεν επηρεάζουν το αποτέλεσμα Μπορεί να είναι αντιστρέψιμος ή μη αντιστρέψιμος Η πιθανότητα να λάβουμε ένα αποτέλεσμα ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων των μονοπατιών υπολογισμού που οδηγούν στο αποτέλεσμα αυτό

Στοιχεία quantum Υπολογισμού Το πλάτος πιθανότητας είναι γενικώς μιγαδικός Όλα τα μονοπάτια υπολογισμού ακολουθούνται ταυτόχρονα Ένα μονοπάτι υπολογισμού μπορεί να επηρεάσει κάποιο άλλο Μπορεί να είναι μόνο μη αντιστρέψιμος Μόνο όταν παρατηρούμε το αποτέλεσμα εισέρχεται η πιθανότητα. Διαφορετικά μονοπάτια υπολογισμού μπορεί ενισχύονται ή να ακυρώνονται

Γιατί είναι αναγκαία η αντιστρεψιμότητα Οποιαδήποτε μέτρηση που γίνεται πριν τελειώσει ο Κβαντικός Υπολογιστής τον υπολογισμό κάνει το σύστημα να καταρρεύσει σε μία κατάσταση

Λύση στο Πρόβλημα της Μέτρησης 1η Λύση: Μην το μετρήσεις πριν τελειώσει Λάθος γιατί η φύση αντιλαμβάνεται διαφορετικά τη μέτρηση. Σβήσιμο ενός bit καταναλώνει ενέργεια τουλάχιστον…

Λύση στο Πρόβλημα της Μέτρησης 2η Λύση: Κάνε αντιστρέψιμο υπολογισμό Σωστή γιατί μόνο το σβήσιμο απαιτεί ενέργεια

Πύλη Troffoli INPUTOUTPUT

Quantum Υπολογισμός r b c b c d e e d d e e d Pr=1/4 Pr=1/4 Pr=1/4 Pr=1/4 Pr=1/4 Pr=1/4 Pr=1/4 Pr=1/4

Probabilistic Υπολογισμός r b c b c d e e d d e e d Pr=1/4 Pr=1/4 Pr=1/4 Pr=1/4 Pr=1/4 Pr=1/4 Pr=1/4 Pr=1/4Pr(e)=1/4+1/4=1/2 Η πιθανότητα να πάρουμε το αποτέλεσμα e

Μία πιο ισχυρή διατύπωση της θέσης Church Turing Church Turing Thesis Κάθε συνάρτηση που θα μπορούσε να θεωρηθεί ως υπολογίσιμη μπορεί να υπολογισθεί από τη universal Turing Machine Ισχυρή διατύπωση της Church Turing Thesis Κάθε φυσικά υλοποιήσιμο φυσικό σύστημα μπορεί να εξομοιωθεί με απόλυτη ακρίβεια από ένα universal μοντέλο υπολογισμού που λειτουργεί με πεπερασμένα μέσα

Ο αλγόριθμος του Shor

Υλοποίηση του αλγορίθμου παραγοντοποίησης Υπολογισμός της περιόδου r της συνάρτησης Υπολογισμός των δύο παραγόντων του n από το και το Παρατήρηση: Η δεύτερη διαδικασία είναι απλώς κλασσικός υπολογισμός. Ο αλγόριθμος καινοτομεί στο πρώτο μέρος.

Στάδια του αλγορίθμου για παραγοντοποίηση του n Διαλέγουμε έναν αριθμό q (με μικρούς παράγοντες πρώτους αριθμούς), τέτοιο ώστε Διαλέγουμε τυχαίο ακέραιο x που τείνει στο n. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα από 1 μέχρι 7 χρησιμοποιώντας τον ίδιο αριθμό x κάθε φορά που εκτελούνται.

Επαναληπτική διαδικασία. 1.Δημιουργούμε έναν quantum memory register και χωρίζουμε τα qubits που αποθηκεύει σε δύο μέρη, το REG 1, και το REG 2. Αν τα qubits στο REG 1 έχουν τιμή reg 1, και τα bits στο REG 2 έχουν τιμή REG 2, η αναπαράσταση της κατάστασης του REG είναι:

Επαναληπτική διαδικασία. 2.Φορτώνουμε το REG 1 με όλους τους ακέραιους από 0 σε q – 1 και φορτώνουμε στον REG 2 με 0. Η κατάσταση του REG είναι. Το υποδηλώνει κανονικοποιημένη μορφή

Επαναληπτική διαδικασία. 3.Εφαρμόζουμε κβαντικό υπολογισμό, και σύμφωνα με την αρχή της παράλληλης επεξεργασίας, εφαρμόζεται ο μετασχηματισμός σε κάθε αριθμό του REG 1 και τοποθετούμε το αποτέλεσμα στο REG 2. Έτσι η κατάσταση γίνεται:

Επαναληπτική διαδικασία. 4.Μέτρηση της κατάστασης του REG 2, παίρνοντας ένα αποτέλεσμα k. Ουσιαστικά όμως, σύμφωνα με την αρχή του Feynman για τον κβαντικό υπολογισμό, το REG 1 διατηρεί το superposition για τέτοια α ώστε Κατάσταση register:

Επαναληπτική διαδικασία. 5.Υπολογίζουμε τον διακριτό μετασχηματισμό Fourier της κατάστασης του REG 1. O μετασχηματισμός αυτός χαρτογραφεί κάθε κατάσταση |α’> στο superposition που δίνεται από την σχέση: Έτσι το superposition των καταστάσεων στο REG1 είναι:

Σχολιασμός: Discrete Fourier Transform O Fourier Transformation μιας περιοδικής συνάρτησης (όπως στο REG 1), έχει peaks ανά πολλαπλάσια του 1/r. Άρα είναι σαν να κάνουμε δειγματοληψία, ανά 1/r.

Επαναληπτική Διαδικασία 6.Μετράμε την κατάσταση του REG 1. Έτσι δειγματοληπτεί το αποτέλεσμα του Fourier Transform. Επιστρέφεται ένας αριθμός c’ που είναι λ φορές πολλαπλάσιο του q/r. Δηλαδή

Επαναληπτική Διαδικασία 7.Για να υπολογιστεί το r πρέπει να εκτιμήσουμε το λ. Επιτυγχάνεται με την συνεχή εφαρμογή της θεωρίας «fraction expansion» για το c’/q, μέχρι να πάρουμε το κοντινότερο αποτέλεσμα στο λ/r.

Στάδια του αλγορίθμου για παραγοντοποίηση του n. •Επαναλαμβάνοντας τα βήματα 1 μέχρι 7 δημιουργούμε ένα set από δείγματα του discrete Fourier Transform, στον REG 1. Μετά από μερικές επαναλήψεις του αλγορίθμου, έχουμε αρκετά δεδομένα για να υπολογίσουμε το λ i και έτσι να εκτιμήσουμε το r.

Στάδια του αλγορίθμου για παραγοντοποίηση του n. •Υπολογίζουμε τους παράγοντες του n, από τους τύπους:

QUANTUM INFORMATION AND COMMUNICATION THEORY Μία αναγκαιότητα για κάθε υπολογιστικό μοντέλο είναι να διασαφηνίσει πως χρησιμοποιεί την πληροφορία στην είσοδο αλλά και κατά την διάρκεια του υπολογισμού.

ΙΣΤΟΡΙΑ 1890 Bolzman,Clausius,Kelvin,Maxwell Dirac,Schrodinger,Born,Heisenberg,Von Neumann,… 1935 Einstein-Podolsky-Rosen 1950 Shannon 1984 Quantum Cryptography 1993 Quantum Teleportation 1995 Quantum Error Correction

CLASSICAL INFORMATION THEORY Claude Shannon (1950) Ας θυμηθούμε τα θεωρήματα Ας θυμηθούμε τα θεωρήματα1. 2.(noiseless) Μέσο rate=C/H-ε,ε>0 3.(noisy) if H < C υπάρχει κώδικας με ferror  0 else ferror>H-C ferror  0 else ferror>H-C

CLASSICAL INFORMATION THEORY Η κλασσική πληροφορία μπορεί να αντιγραφεί Διαδίδεται με την ταχύτητα του φωτός Measurement indepedent

QUANTUM INFORMATION THEORY 1930 Von Neumann  Εντροπία μίας κατάστασης U = Tr ( U * lnU )  Μέτρηση = Μη Αντιστρεπτή Διαδικασία (ΔΗ>0) (ΔΗ>0)  Μία κατάσταση φ κωδικοποιείται από τον εξής πίνακα

QUANTUM COMMUNICATION 1935 EPR

QUANTUM COMMUNICATION QUANTUM TELEPORTATION OR “Beam me up Scotty!” 1993 Bennett,Brasard,Crepau,Jozsa, Peres,Wooters Peres,Wooters

QUANTUM COMPUTATION QUANTUM ERROR CORRECTION Decoherence = η φύση αγαπάει τους διαγώνιους πίνακες Αν τότε μετά από χρόνο t έχουμε βαθμιαία διαγωνοποίηση του ρ με αποτέλεσμα να επιζούν μόνο οι ιδιοκαταστάσεις

QUANTUM COMMUNICATION Πρέπει να ορίσουμε ένα κβαντικό επικοινωνιακό σύστημα 1.Source (αντιστοιχούμε μία συλλογή από πιθανότητες και αντίστοιχες καταστάσεις)

Υλοποίηση κβαντικών υπολογιστών - NMR

Ιδιαιτερότητες του NMR Μνήμη: Ένας κβαντικός υπολογιστής με τεχνολογία NMR έιναι ένα δείγμα από υγρό, με κάθε μόριο να λειτουργεί ως ανεξάρτητος κβαντικός register. => Τεράστια μνήμη. Qubit: Το spin κάθε πυρήνα των ατόμων που αποτελούν κάθε μόριο στο υγρό. Υπολογισμός κατάστασης μνήμης: Υπολογισμός κάποιας παρατηρήσιμης ιδιότητας όλων των spin των πυρήνων στο δείγμα.

Ιδιαιτερότητες του NMR Υπολογισμός των spins στον πυρήνα: Πρωτόνια και νετρόνια. Προσανατολισμοί των spins στα 9 με 15 Tesla: Αν ένας πυρήνας έχει spin I, μπορεί να έχει 2I + 1 πιθανές κατευθύνσεις σχετικές με το εφαρμοζόμενο πεδίο.

Μέτρηση των ιδιαιτεροτήτων – NMR spectrum Εφαρμογή στο δείγμα ακτινοβολίας ραδιοσυχνότητας: ΔΕ = ενεργειακή διαφορά μεταξύ των καταστάσεων spin του πυρήνα.

Κβαντικός Υπολογισμός στο NMR – Φυσική Θεμελίωση •Φαινόμενο chemical shifts: Μεγάλες κορυφές απορρόφησης ακτινοβολίας, σε συγκεκριμένες συχνότητες. •Spin – Spin Coupling: Λόγω της αλληλεπίδρασης μεταξύ μαγνητικών πεδίων των πυρήνων, παρουσιάζονται περιοχές απορρόφησης ακτινοβολίας σε περισσότερες των μια συχνοτήτων.

Κβαντικός Υπολογισμός στο NMR – XOR Η XOR για ένα ζεύγος από bits είναι: Κατά την αναπαράσταση στο NMR spectrum παρατηρείται μια μετακίνηση της συχνότητας μεγίστης απορρόφησης ενέργειας. (Μεταβολή κατάστασης από σε

Διαφορές μεταξύ υλοποιήσεων Κβαντικών Υπολογιστών Quantum Computer Αναπαράσταση Qubit Μέτρηση μνήμης Ετεροπολυμερή Ατομικά Ενεργειακά Επίπεδα Ατομικές ιδιοτιμές Ion Trap Ατομικά Ενεργειακά Επίπεδα Ατομικές ιδιοτιμές Cavity QED Photon Polarization Ατομικές Ιδιοτιμές NMR Spins Πυρήνα Συνολική Μέση τιμή.