ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ Ακαδημαϊκό Έτος 2005-2006 Κυριακή, 2 Απριλίου 2017 6η Εβδομάδα (α) ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ : 2 – και 3- Συνοριακό Πρόβλημα (β) ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Γ. Το Δεύτερο Συνοριακό Πρόβλημα (α) Τα θεωρητικά: Το πρόβλημα Neumann Ερχόμενοι τώρα στο δεύτερο συνοριακό πρόβλημα ή πρόβλημα Neumann για ελλειπτικές εξισώσεις και για να είμεθα συγκεκριμένοi, λαμβάνουμε το model problem για την εξίσωση του Laplace: και τη συνοδεύουσα συνθήκη: όπου, κατά τα γνωστά /n συμβολίζει παραγώγιση κατά μήκος της εξωτερικής καθέτου στις πλευρές του τετραγώνου. Στην προκειμένη περίπτωση, η δεδομένη συνάρτηση a(x,y) πρέπει να ικανοποιεί την συνθήκη: όπου η περίμετρος του μοναδιαίου τετραγώνου και d το στοιχειώδες μήκος.

Παρατήρηση: Στην περίπτωση του δευτέρου συνοριακού προβλήματος, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η αναλυτική λύση εμπεριέχει μια αυθαίρετη σταθερά. Πράγματι, ας υποθέσουμε, όπως και στην περίπτωση του πρώτου συνοριακού προβλήματος – βλέπε παρατήρηση (2) στην §Α παραπάνω, ότι υπάρχουν δύο λύσεις u1(x,y) που ικανοποιούν τις υποθέσεις του προβλήματος, δηλαδή: και ας εξετάσουμε πώς σχετίζονται αυτές. Προς τούτο λαμβάνουμε την διαφορά των δύο αυτών λύσεων u(x,y): που προφανώς πληροί την Δ.Ε. του Laplace: ενώ, στο σύνορο T η παράγωγός της θα μηδενίζεται:

Εξάλλου από το θεώρημα του Green θα έχουμε την ταυτότητα: που λόγω μηδενισμού του β! μέλους θα έχουμε λόγω μηδενισμού και του α! μέλους: Άρα η u(x,y)=κ (σταθερά),οπότε με αντικατάσταση : u1(x,y)-u2(x,y)=κ. όέδ. (β) Η αριθμητική επίλυση Για την αριθμητική ολοκλήρωση του προβλήματος (33) – (34) επιβάλλουμε ένα τετραγωνικό δικτυωτό πάχους h, κατά τα γνωστά, με γραμμές παράλληλες προς τους άξονες και απέχουσες απόσταση h μεταξύ τους, οπότε, εάν ισχύει: τότε το πλήθος των κομβικών σημείων ανά γραμμή είναι (M+1), ενώ το πλήθος των τιμών της συνάρτησης u, που θα προσδιοριστούν, θα είναι πλήθους (M+1) 2 . Έτσι, οι συντεταγμένες ενός τυπικού κομβικού σημείου (xi,yj) θα είναι αντίστοιχα xi=ih και yj=jh, και το σύνολο των τιμών u:

Έτσι, το διακριτό ανάλογο της (1) θα είναι: ενώ το διακριτό ανάλογο της (34), με χρήση κεντρικών διαφορών και βοηθητικών σημείων θα είναι για M=5 (βλέπε σχήμα 1): όπου οι υποδείκτες με αρνητικό σημείο υποδεικνύουν τα (φανταστικά) βοηθητικά σημεία που βρίσκονται εκτός τετραγώνου, και μπορούν να απαλειφθούν, από τις σχέσεις (37) με τη βοήθεια των σχέσεων (38).

Έτσι, λοιπόν το σύνολο των εξισώσεων που θα προκύψουν πλήθους (Μ+1) 2 θα παρίστανται από την παρακάτω εξίσωση πίνακος, παρόμοιας της (13), του πρώτου συνοριακού προβλήματος: όπου: A είναι ένας τετραγωνικός πίνακας με διάσταση (M+1) 2, και με την ακόλουθη δομή: I είναι ο μοναδιαίος πίνακας με διάσταση M+1, K ένας πίνακας με διάσταση ομοίως M+1 και δομή την:

ενώ το διάνυσμα (της προσεγγιστικής λύσεως) με συντεταγμένες: και το σταθερό διάνυσμα με συντεταγμένες: που προφανώς εξαρτώνται από τις συνοριακές συνθήκες, που θα επαληθεύουν την συνθήκη (34). Λόγω της δομής του πίνακα A, οι ιδιοτιμές του δίδονται από την έκφραση: οπότε, προφανώς, η ιδιοτιμή του ξ0,0=0· συνεπώς ο πίνακας Α είναι singular (ιδιάζων) και άρα το σύστημα (39) δεν έχει μοναδική λύση. Πιο συγκεκριμένα το (39) έχει (M+1) 2-1 γραμμικώς ανεξάρτητες εξισώσεις με (M+1) 2 αγνώστους· οπότε ένας άγνωστος θα λαμβάνει αυθαίρετες τιμές, πράγμα που αποτελεί και το ειδικό χαρακτηριστικό των προβλημάτων Neumann (βλέπε αρχική παρατήρηση). Εφαρμογή: Ας λάβουμε το model problem με h=½ οπότε M=2. Άρα θα έχουμε 32 εξισώσεις με ισάριθμους αγνώστους. Έτσι, αν λάβουμε την περίπτωση του σχήματος 2 και την αρίθμηση των σημείων που δίδονται σ’ αυτό, θα έχουμε τις εξισώσεις:

που σε μορφή πίνακα θα είναι: Τώρα, εάν πολλαπλασιάσουμε διαδοχικά τις πρώτες οκτώ εξισώσεις των (40), αντίστοιχα επί τις ακόλουθες σταθερές: και τις προσθέσουμε κατά μέλη θα λάβουμε την:

Εξάλλου με χρήση του κανόνα του τραπεζίου μπορούμε να βρούμε το διακριτό ανάλογο της συνθήκης (34) που είναι : Εάν απλοποιήσουμε τους ομοίους όρους η παραπάνω γίνεται: Έτσι, το β! μέλος της (41) γίνεται με πολλαπλασιασμό της επί 4 και χρήση της (42): η οποία είναι προφανώς η τελευταία (ένατη) εξίσωση των (49), πράγμα που αποδεικνύει την γραμμική εξάρτηση των εξισώσεων (40). Το σχήμα Peaceman-Rachford μπορεί να αξιοποιηθεί για την λύση του γραμμικού συστήματος (39),ορίζοντες για τον σκοπό αυτό τους πίνακες H,V,με:

και Λ ένα πίνακα τετραγωνικό διαστάσεως M+1,τον : ενώ ο I2 είναι ο μοναδιαίος πίνακας διαστάσεως M+1. Οπότε το Peaceman-Rachford σχήμα θα είναι το : Εάν, τώρα απαλείψουμε το βοηθητικό διάνυσμα λαμβάνουμε τον επαναληπτικό τύπο:

να είναι μικρότερη της μονάδας. οπότε, για την σύγκλιση του (43), αρκεί η φασματική ακτίνα του επαναληπτικού πίνακα Mn+1: να είναι μικρότερη της μονάδας. Στον (44) εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι πίνακες H και V πληρούν την αντιμεταθετική ιδιότητα και ότι οι ιδιοτιμές των πινάκων H και V είναι οι: οπότε οι ιδιοτιμές του Mn+1 θα δίδονται από την έκφραση: με σ, τ κείμενα στο σύνολο τιμών της (45). Άρα, η φασματική ακτίνα του Mn+1 θα είναι ίση με την μονάδα (γιατί;). Για την περίπτωση αυτή, που HV=VH και A=H+V, οι Douglas και Pearcey* απέδειξαν ότι το σχήμα (43) θα συγκλίνει, αρκεί ο πίνακας Α να είναι θετικά ημιορισμένος, πράγμα που αποτελεί και την περίπτωση του προβλήματος του Neumann, που εξετάζουμε εδώ. *J.Douglas – C.M. Pearcey: "On Convergence of alternating direction procedures in the precense of singular operators", Num. Math., 5, 175-184, 1963.

Δ. Το Τρίτο Συνοριακό Πρόβλημα ή Πρόβλημα Robbin Για το τρίτο συνοριακό πρόβλημα, ή πρόβλημα του Robbin, θα ακολουθήσουμε την ίδια τακτική έτσι ώστε να είμεθα και εδώ συγκεκριμένοι. Για τον σκοπό αυτό θα λάβουμε την εξίσωση Laplace στο model problem: και τις συνοδεύουσες συνθήκες: όπου οι παράμετροι κ1, κ2, λ1 και λ2 είναι πραγματικές.

Για την αριθμητική επίλυση του προβλήματος (46) – (47) ,επιβάλλουμε κατά τα γνωστά, ένα τετραγωνικό δικτυωτό πλευράς n, ακριβώς μεν ίδιο τρόπο που εργασθήκαμε στα προηγούμενα προβλήματα, οπότε θα έχουμε το διακριτό ανάλογο της (46): όπου: δx και δy είναι οι γνωστές μας κεντρικές διαφορές στις διευθύνσεις των αξόνων x και y αντίστοιχα, ui,j αποτελεί την αριθμητική τιμή της λύσεως στον κόμβο (in,jn), όπου Mn=1 και τα i,j μεταβάλλονται στο σύνολο {0,1,2,3,...,M}. Και στην προκειμένη περίπτωση θα υπάρχουν βοηθητικά σημεία, όπως ακριβώς στο Neumann problem, τα οποία όμως μπορούν να αντικατασταθούν με την βοήθεια των διακριτών αναλόγων των σχέσεων (47), που ακολουθούν:

οπότε λαμβάνεται το γραμμικό σύστημα, αντίστοιχο του (39): όπου ,τώρα, ο πίνακας A γράφεται, κατά τα γνωστά, και οι πίνακες H1 και V1 δίδονται από τις νέες εκφράσεις: με D1, το:

και ο V1 από την : με D1 και τον μοναδιαίο πίνακα I1 να είναι πίνακες διαστάσεως M+1, ενώ οι πίνακες H1 και V1 να είναι διαστάσεως (M+1)2. Έτσι, λοιπόν, εάν θεωρήσουμε την περίπτωση η=½ και έχουμε την αρίθμηση του σχήματος 2, η εξίσωση (49), θα έχει την παρακάτω μορφή:

Αναφορικά, τώρα, με τη σύγκλιση του σχήματος Peaceman – Rachford για τη λύση του συστήματος (49), που είναι: παρατηρούμε ότι: Οι πίνακες H1 και V1 πληρούν την αντιμεταθετική ιδιότητα, οπότε εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι το σφάλμα από επανάληψη σε επανάληψη ικανοποιεί τη σχέση:

και επειδή ο επαναληπτικός πίνακας Mn+1 είναι όμοιος με συμμετρικό πίνακα, αποδεικνύεται ότι το (51) είναι συγκλίνων εάν η φασματική ακτίνα του Mn+1 πληροί την σχέση: Οι ιδιοτιμές του πίνακα Mn+1 δίδονται για σταθερό rn+1=r από τις: όπου σi και τj είναι οι ιδιοτιμές των πινάκων H1 και V1. Αποδεικνύεται ότι ο πίνακας A της (49) θα είναι είτε θετικά ορισμένος, είτε θετικά ημιορισμένος (οπότε το Peaceman – Rachford σχήμα (51) θα συγκλίνει) εάν οι πραγματικές παράμετροι κ1, κ2, λ1 και λ2 ικανοποιούν τις σχέσεις: Είτε τις: είτε τις:

Παρατηρήσεις: 1. Εάν έχουμε κ1>0 και κ2>0, τότε αποδεικνύεται ότι το Peaceman – Rachford σχήμα (51) συγκλίνει εάν ικανοποιούνται οι συνθήκες: 2. Προφανώς όταν κ1= κ2= λ1 = λ2= 0, τότε τα αποτελέσματα μας συμπίπτουν μ’ αυτά του προβλήματος Neumann και το σχήμα (51) θα συγκλίνει. 3. Εάν συμβεί οι τιμές των κ και λ να μην πληρούν τις (52) ή (53), τότε το Peacemann – Rachford σχήμα δε θα συγκλίνει, οπότε πρέπει να στραφούμε σε άλλη επιλογή. (β) Υπερβολικές Διαφορικές Εξισώσεις Οι υπερβολικές Δ.Ε.Μ.Π. παρουσιάζουν ιδιομορφίες που διαφοροποιούν τον τρόπο της αριθμητικής τους επίλυσης από αυτόν των παραβολικών και ελλειπτικών εξισώσεων. Εν τούτοις , ορισμένες φορές θα μπορούσε κανείς να αξιοποιήσει την προηγούμενη μεθοδολογία. Ως παράδειγμα ας πάρουμε το Δ.Σ. της διάδοσης του κύματος (βλέπε σχήμα 3): με τις αρχικές συνθήκες:

Πάνω στο πεδίο ορισμού επιβάλλεται ένα δικτυωτό με πάχη h και k κατά τα γνωστά, και η αριθμητική λύση μπορεί να "κτισθεί" από τον άξονα των x, για τα σημεία του οποίου είναι γνωστή – από την πρώτη συνθήκη – οι τιμές της αγνώστου συναρτήσεως. Έτσι για το τυχόν σημείο του δικτυωτού (i,j) θα έχουμε με χρήση κεντρικών διαφορών:

ή όπου Ο πυρήνας του υπολογιστικού αλγορίθμου του σχήματος (55) είναι ο ακόλουθος: και που φυσικά για τα σημεία του πρώτου βήματος (j=1) απαιτείται η γνώση των σημείων με j=-1,που βρίσκονται στο «φανταστικό» επίπεδο(προς απαλοιφή). Πράγματι θέτοντας j=0 στην (22) παίρνουμε: Η απαλοιφή του ανεπιθύμητου ui,-1 μπορεί να πραγματοποιηθεί με χρήση της δεύτερης συνθήκης , που για το σημείο (i,0) και χρήση της κεντρικής διαφοράς,έχουμε :

οπότε με αντικατάσταση στην (55) εύκολα λαμβάνουμε: Έτσι, τελικά, η (56) παρέχει τις τιμές της άγνωστης συνάρτησης στο πρώτο επίπεδο (j=1), ενώ για τα υπόλοιπα επίπεδα η (55) παρέχει τις ζητούμενες τιμές,χωρίς δυσκολία. Η πιο λεπτομερής διαπραγμάτευση εκφεύγει του σκοπού των σημειώσεων αυτών, ενώ η αναφορά (4) αποτελεί ένα κλασσικό σύγγραμμα για την βασική θεραπεία των υπερβολικών Δ.Ε.Μ.Π.