Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ Ηλεκτρολόγων – Ηλεκτρονικών Μηχανικών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Μηχανολόγων Μηχανικών ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ Πολιτικών Μηχανικών Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΔΙΕΓΕΡΣΗ Συντονισμός – Καμπύλη Συντονισμού. Ισχύς Εξαναγκασμένης Ταλάντωσης. Συντελεστής Ποιότητας Q. Παραδείγματα Συντονισμού.

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Πάνω στη μάζα που ταλαντώνεται δρα και μια περιοδική δύναμη, πέρα από τη δύναμη της απόσβεσης και τη δύναμη επαναφοράς. υ x > 0 x = 0 Συνισταμένη Δύναμη: 𝑭= 𝑭 𝐬𝐩 + 𝑭 𝐝 + 𝑭 𝐞𝐱𝐭 𝑭=−𝒌𝒙−𝒃 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝑭 𝟎 sin 𝝎𝒕 Fd Αντίστασης: 𝑭 𝐝 =−𝒃𝝊=−𝒃 𝒅𝒙 𝒅𝒕 Fsp Ελατηρίου: Fsp = – k x 2ος Νόμος Νεύτωνα: 𝑭=𝒎 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 Εξωτερική : Fext = F0 sin(ωt) Fext 𝒎 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 =−𝒌𝒙−𝒃 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝑭 𝟎 sin 𝝎𝒕 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΗ ΜΑΖΑ: 𝒎 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 +𝒃 𝒅𝒙 𝒅𝒕 +𝒌𝒙= 𝑭 𝟎 sin 𝝎𝒕 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 + 𝒃 𝒎 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝒌 𝒎 𝒙= 𝑭 𝟎 𝒎 sin 𝝎𝒕

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 + 𝟏 𝝉 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒙= 𝑭 𝟎 𝒎 sin 𝝎𝒕 𝝉= 𝒎 𝒃 𝝎 𝟎 𝟐 = 𝒌 𝒎 Όπου: και: Κάθε Γραμμικός συνδυασμός του sin(ωt) και του cos(ωt) δύναται να αποτελέσει μια Γενική Λύση της παραπάνω Δ.Ε.: 𝒙 𝒕 = 𝒄 𝟏 sin (𝝎𝒕 )+ 𝒄 𝟐 cos (𝝎𝒕) Τριγωνομετρική ταυτότητα: 𝒄 𝟏 sin (𝝎𝒕 )± 𝒄 𝟐 cos (𝝎𝒕) = 𝒄 𝟏 𝟐 + 𝒄 𝟐 𝟐 sin 𝝎𝒕±𝝋 𝒙 𝒕 =𝑨 sin 𝝎𝒕−𝝋 Όπου: 𝑨= 𝒄 𝟏 𝟐 + 𝒄 𝟐 𝟐 tan 𝝋 = 𝒄 𝟐 𝒄 𝟏

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΜΕ ΔΙΕΓΕΡΣΗ 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 + 𝟏 𝝉 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒙= 𝑭 𝟎 𝒎 sin 𝝎𝒕 𝒙=𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕−𝝋 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅𝒕 𝟐 =−𝑨 𝝎 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕−𝝋 𝒅𝒙 𝒅𝒕 =𝑨𝝎 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕−𝝋 −𝑨 𝝎 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕−𝝋 + 𝟏 𝝉 𝑨𝝎 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕−𝝋 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕−𝝋 = 𝑭 𝟎 𝒎 sin 𝝎𝒕 𝑨 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕−𝝋 +𝑨 𝝎 𝝉 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕−𝝋 = 𝑭 𝟎 𝒎 sin 𝝎𝒕

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΜΕ ΔΙΕΓΕΡΣΗ 𝑨 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕−𝝋 +𝑨 𝝎 𝝉 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕−𝝋 = 𝑭 𝟎 𝒎 sin 𝝎𝒕 𝒄 𝟏 sin 𝒂 + 𝒄 𝟐 cos 𝒂 = 𝒄 𝟏 𝟐 + 𝒄 𝟐 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒂+𝜽 Τριγωνομετρική Ταυτότητα tan 𝜽 = 𝒄 𝟐 𝒄 𝟏 𝑨 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐 𝟐 + 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕−𝝋+𝜽 ≡ 𝑭 𝟎 𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 tan 𝜽 = 𝝎 𝝉 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΜΕ ΔΙΕΓΕΡΣΗ 𝑨 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐 𝟐 + 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕−𝝋+𝜽 ≡ 𝑭 𝟎 𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 tan 𝜽 = 𝝎 𝝉 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐 𝑨 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐 𝟐 + 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 = 𝑭 𝟎 𝒎 𝑨 𝝎 = 𝑭 𝟎 𝒎 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐 𝟐 + 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝝋=𝜽= tan −𝟏 𝝎 𝝉 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕−𝝋+𝜽 = 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕

ΚΑΜΠΥΛΗ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Στοιχεία Ταλαντωτή: 𝒌=𝟑𝟗,𝟒 𝐍/𝐦, 𝒎=𝟏,𝟎𝟎𝐤𝐠, 𝝎 𝟎 =𝟔,𝟐𝟖 𝐫𝐚𝐝/𝐬 A ω (rad/s b = 1,10 kg/s A ω (rad/s b = 0,50 kg/s A ω (rad/s b = 0 kg/s x t (/s) x t (/s) x t (/s)

ΙΣΧΥΣ ΤΗΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

ΜΕΣΗ ΙΣΧΥΣ ΤΗΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

ΚΑΜΠΥΛΗ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ Μέση Ισχύς: Μέγιστο Μέσης Ισχύος: <P> ω0 ω <P> ω0=500 s-1 (1/τ)=50 s-1

ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ Q Μέση Ισχύς: Ο συντελεστής Ποιότητας Συντονισμού Q: 1. Ποσοτικοποιεί με ένα θετικό αριθμό την απόκριση ενός ταλαντωτή στους εξωτερικούς διεγέρτες. 2. Προσδιορίζει την περιοχή συχνοτήτων (ω1, ω2), γύρω από τη συχνότητα συντονισμού ω0 , όπου ο ταλαντωτής αποκρίνεται ικανοποιητικά στον εξωτερικό διεγέρτη. Ικανοποιητική είναι η απόκριση ενός ταλαντωτή όταν η μέση ισχύς που παρέχεται σε αυτόν από τον εξωτερικό διεγέρτη είναι ίση τουλάχιστον με το ήμισυ της μέγιστης μέσης ισχύος <P(ω)>max

ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ Q Υπολογισμός της περιοχής συχνοτήτων συντονισμού (ω1, ω2)

ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ Q ω0 ω <P> ω0=500 Hz γ=50 Hz ω0 ω <P> ω0=500 s-1 τ=0,01 s ω ω0 <P> ω0=500 Hz τ=0,005 s ω1 ω2 ω1 ω2

ΚΑΤΑΡΡΕΥΣΗ ΜΙΑΣ ΓΕΦΥΡΑΣ (1)

ΚΑΤΑΡΡΕΥΣΗ ΜΙΑΣ ΓΕΦΥΡΑΣ (2)

ΚΑΤΑΡΡΕΥΣΗ ΜΙΑΣ ΓΕΦΥΡΑΣ (3)