Δοκοί Διαγράμματα Τεμνουσών Δυνάμεων και Καμπτικών Ροπών Ανακεφαλαίωση

Beams Members that are slender and support loads applied perpendicular to their longitudinal axis. Concentrated Load, P Distributed Load, w(x) Longitudinal Axis Span, L

Types of Beams Depends on the support configuration FH FV FH M Fv FH Pin Roller M Fv FH Fixed Pin Roller FV FH

Statically Indeterminate Beams Continuous Beam Propped Cantilever Beam Can you guess how we find the “extra” reactions?

Internal Reactions in Beams At any cut in a beam, there are 3 possible internal reactions required for equilibrium: normal force, shear force, bending moment. L P a b

Internal Reactions in Beams At any cut in a beam, there are 3 possible internal reactions required for equilibrium: normal force, shear force, bending moment. Positive Directions Shown!!! V M N Left Side of Cut Pb/L x

Internal Reactions in Beams At any cut in a beam, there are 3 possible internal reactions required for equilibrium: normal force, shear force, bending moment. Positive Directions Shown!!! V M N Right Side of Cut Pa/L L - x

Finding Internal Reactions Pick left side of the cut: Find the sum of all the vertical forces to the left of the cut, including V. Solve for shear, V. Find the sum of all the horizontal forces to the left of the cut, including N. Solve for axial force, N. It’s usually, but not always, 0. Sum the moments of all the forces to the left of the cut about the point of the cut. Include M. Solve for bending moment, M Pick the right side of the cut: Same as above, except to the right of the cut.

Point 6 is just left of P and Point 7 is just right of P. Example: Find the internal reactions at points indicated. All axial force reactions are zero. Points are 2-ft apart. P = 20 kips 1 2 3 4 5 8 9 10 6 7 8 kips 12 kips 12 ft 20 ft Point 6 is just left of P and Point 7 is just right of P.

V M 12 ft 20 ft P = 20 kips 8 kips 12 kips (kips) (ft-kips) 1 2 3 4 5 9 10 6 7 8 kips 12 kips 12 ft 20 ft 8 kips V (kips) x -12 kips 96 80 64 72 48 48 32 16 24 M (ft-kips) x

V & M Diagrams 12 ft 20 ft P = 20 kips 8 kips 12 kips V x What is the slope of this line? -12 kips 96 ft-kips What is the slope of this line? 96 ft-kips/12’ = 8 kips b -12 kips M (ft-kips) a c x

V & M Diagrams 12 ft 20 ft P = 20 kips 8 kips 12 kips V M 8 kips x What is the area of the blue rectangle? -12 kips 96 ft-kips What is the area of the green rectangle? 96 ft-kips b -96 ft-kips M (ft-kips) a c x

Draw Some Conclusions The magnitude of the shear at a point equals the slope of the moment diagram at that point. The area under the shear diagram between two points equals the change in moments between those two points. At points where the shear is zero, the moment is a local maximum or minimum.

The Relationship Between Load, Shear and Bending Moment

Common Relationships Load Constant Linear Shear Parabolic Moment Cubic

Common Relationships Load Constant Shear Linear Moment Parabolic M

Example: Draw Shear & Moment diagrams for the following beam 12 kN 8 kN A C D B 1 m 3 m 1 m RA = 7 kN  RC = 13 kN 

12 kN 8 kN 1 m 3 m 1 m 2.4 m 8 7 8 7 V -15 -5 7 M -8 A C D B (kN)

Σχέσεις μεταξύ κατανεμημένης φόρτισης και τέμνουσας δύναμης Κλίση του διαγράμματος τεμνουσών = ένταση της κατανεμημένης φόρτισης Μεταβολή της τέμνουσας δύναμης = εμβαδόν κάτω από την καμπύλη φόρτισης

Σχέσεις μεταξύ τέμνουσας δύναμης και καμπτικής ροπής Κλίση του διαγράμματος ροπών = Τέμνουσα Διαιρώντας αμφότερα τα μέλη της εξίσωσης με , και θέτοντας προκύπτει Μεταβολή της ροπής = Εμβαδόν κάτω από την καμπύλη στο διάγραμμα τεμνουσών

Σημαντικά Σημεία Η κλίση του διαγράμματος των τεμνουσών δυνάμεων σε ένα σημείο είναι ίση με την ένταση της κατανεμημένης φόρτισης, η θετική κατανεμημένη φόρτιση κατευθύνεται προς τα επάνω, Η μεταβολή της τέμνουσας δύναμης μεταξύ δύο σημείων ισούται με το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη της κατανεμημένης φόρτισης μεταξύ αυτών των δύο σημείων. Εάν μία συγκεντρωτική δύναμη δρα στη ράβδο προς τα επάνω, η τέμνουσα δύναμη θα παρουσιάζει ένα ισοδύναμο άλμα προς τα επάνω, κατά το ίδιο ποσό.

Η κλίση του διαγράμματος καμπτικών ροπών σε ένα σημείο ισούται με την τέμνουσα δύναμη, Η μεταβολή της ροπής μεταξύ δύο σημείων ισούται με το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη της τέμνουσας δύναμης μεταξύ αυτών των δύο σημείων. Εάν στη ράβδο δρα μία δεξιόστροφη ροπή το διάγραμμα των τεμνουσών δυνάμεων δεν μεταβάλλεται, ωστόσο το διάγραμμα ροπών θα παρουσιάζει ένα ανοδικό άλμα ίσο με αυτήν τη ροπή.

Σημεία μηδενικής τέμνουσας δύναμης αναπαριστούν σημεία μέγιστης ή ελάχιστης ροπής εφόσον Απαιτούνται δύο ολοκληρώσεις της ώστε να προσδιοριστούν : αρχικά η μεταβολή της τέμνουσας δύναμης και έπειτα η μεταβολή της ροπής, Αν η καμπύλη φόρτισης είναι πολυώνυμο βαθμού η θα είναι μια καμπύλη βαθμού ενώ η θα είναι μια καμπύλη βαθμού

L P a b