Obrada empirijskih podataka deskriptivna statistika – opisivanje podataka iz uzorka ili populacije u formi osnovnih parametara osnovne vrste podataka – po nastanku varijable (upotreba različitih mjernih ljestvica) se mogu klasificirati na: Kvalitativne: nominalne (Da, Ne, Dobar, Loš...), ordinalne (rangovi) Kvantitativne: diskretne (cjelobrojne vrijednosti, pobrojane), kontinuirane (neprekinute, mjerene) Diskretne varijable – nastaju prebrojavanjem Kontinuirane varijable – nastaju mjerenjem

Grafička obrada empirijskih podataka vrste grafičkih prikaza: Histogram (‘bar chart’) – prikazivanje učestalosti podataka stupićima te povezivanje vrhova u poligon frekvencija Primjer: histogramski prikaz za diskretnu varijablu direktno očitavanje vjerojatnosti pojave pojedine vrijednosti varijable histogramski prikaz za kontinuiranu varijablu prikaz preko razreda podataka po kojima klasificiramo podatke u tehnici se radi sa razredima jednake veličine (širine)

kumulanta – histogramski prikaz frekvencija koje se kumuliraju od najnižega ka najvišem razredu mogućnost prikaza relativnih frekvencija (u %) na ordinati ‘Box- whisker’ prikaz (prikaz ‘kutija – brkovi’) – jedno od najčešćih prikaza podataka Primjer: ‘box-whisker’ prikaz za kontinuiranu varijablu prikaz je moguće kreirati u različitim verzijama (središnja točka medijan/aritmetička sredina, podjela po percentilima/intervalima povjerenja...) jednostavna dijagnostika problematičnih podataka (ekstrema, ‘outliera’) mogućnost prikazivanja dva ili više uzoraka paralelno te brzo dijagnosticiranja njihovih relacija i karakteristika

‘Stem-leaf’ prikaz (prikaz ‘stabljika - list’) Primjer: fi Stem Leaf 2 21 0 2 4 22 3 3 4 9 5 23 1 2 5 8 9 24 5 6 7 8 25 4 8 1 26 prikaz ‘stabljika-list’ se najčešće koristi na podacima koji su u decimalnom obliku gdje se znamenka cijelog broja prikazuju kao stabljika a decimalni dio kao ‘list’ Ostali prikazi: ‘Individual plot’, ‘Scatter plot’, ‘Line plot’, ‘Dot plot’ , ‘Marginal plot’ , ‘Area plot’, ‘Pie chart’ ‘Normal probability plot’, ...

Primjer grafičke analize podataka: Na jednom uzorku izmjerene su vrijednosti vlačne čvrstoće šarže čeličnog lima (u N/mm2). Nakon mjerenja dobiveni su sljedeći podaci: 430, 440, 450, 460, 440, 430, 410, 410 440, 440, 430, 440, 420, 450, 430, 450 420, 440, 420, 450, 410, 440, 460, 430

Numerička obrada empirijskih podataka MJERE POLOŽAJA aritmetička sredina – suma svih elemenata u populaciji podijeljena sa brojem elemenata populacije (težište – paralela sa mehaničkim modelom) najvažnije svojstvo aritmetičke sredine: mod – podatak(ili razred) koji ima najveću frekvenciju - mod dijeli distribuciju frekvencija na rastuću i padajuću stranu - vrste distribucija s obzirom na mod

medijan – 50% podataka je manje, a 50% veće od te vrijednosti kvantili - vrijednosti numeričkog obilježja koje niz uređen po veličini dijele na q jednakih dijelova Medijan Kvartili Decili Percentili

nepristrana procjena varijance osnovnog skupa (σo2) : MJERE RASIPANJA standardna devijacija σ – prosječno odstupanje svakog podatka od arit. sredine varijanca σ2 – prosječno kvadratno odstupanje svakog podatka od arit. sredine nepristrana procjena varijance osnovnog skupa (σo2) : koeficijent varijacije, V – međusobno uspoređivanje varijabilnosti pojava ili svojstava - pokazuje koliki odnos vrijednosti aritm. sredine iznosi vrijednost standardne devijacije (u %) koeficijent varijacije (relativna mjera rasipanja) raspon, Rx – razlika najveće i najmanje vrijednosti u nekom nizu podataka

MOMENTI STATISTIČKIH SKUPOVA mehanički model - greda, oslonac i opterećenje ( x1,x2, ... – jedinične sile) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 centralni moment r-tog reda – moment oko centra (aritmetička sredina): r=0 M0=1 r=1 M1=0 r=2 M2=σ2 r=3 M3 r=4 M4 varijanca koeficijent asimetrije koeficijent spljoštenosti pomoćni moment r-tog reda – moment oko točke 0 r=0 m0=1 r=1 m1= aritmetička sredina

MJERE OBLIKA STATISTIČKOG SKUPA koeficijent asimetrije (Skewness) – mjera nagnutosti distribucije na lijevu ili desnu stranu svaki |α3| : 0 - 0,25 zanemariva asimetrija 0,25 – 0,50 slaba asimetrija 0,50 – 0,75 srednja asimetrija 0,75 - + jaka asimetrija pozitivna asimetrije α3>0 nema asimetrije α3=0 negativna asimetrija α3<0

koeficijent spljoštenosti (Kurtosis)– mjera spljoštenosti (zaobljenosti) distribucije normiranje na nulu (jednostavnije očitavanje) spljoštenost α4<3 (α’4<0) normalna spljoštenost α4=3 (α’4=0) izduženost α4>3 (α’4>0)

Primjer dva skupa: sa istim očekivanjem a različitom varijancom sa istim očekivanjem i varijancom ali različitim elementima

OPĆI SLUČAJ ZA DISKRETNE I KONTINUIRANE VARIJABLE diskretne varijable: očekivanje varijanca vjerojatnost diskretne varijable: učestalost vjerojatnost funkcija distribucije F(x) diskretne varijable (kumulanta):

zbrajanja frekvencija (kumuliranje)

kontinuirane varijable: očekivanje očekivanje varijanca funkcija gustoće vjerojatnosti (kontinuirana varijabla): svojstva f.g.v. :

funkcija distribucije vjerojatnosti (kontinuirana varijabla): povezanost f.g.v. i funkcije distribucije

Primjer: Sljedeći podaci prezentiraju temperature ‘O-ring’ brtvi raketnog motora prilikom testiranja sustava paljenja: 84, 49, 61, 40, 83, 67, 45, 66, 70, 69, 80, 58, 68, 60, 67, 72, 73, 70, 57, 63, 70, 78, 52, 67, 53, 67, 75, 61, 70, 81, 76, 79, 75, 76, 58, 31. Potrebno je odrediti sve osnovne statističke parametre i grafički prikazati podatke.

Razdioba aritmetičkih sredina i centralni granični teorem uzorkovanjem i analizom zaključujemo što se događa u osnovnom skupu uzorak mora biti sličan osnovnom skupu

razdioba aritmetičke sredine uzoraka se vrlo brzo približava normalnoj raspodjeli neovisno o vrsti raspodjele u osnovnom skupu ako veličina uzorka n teži u beskonačnost Primjer: Bacaju se igrače kocke. Nakon bacanja crta se distribucija prosječnih vrijednosti. Nakon ‘dovoljno’ (n>30) bacanja može se smatrati da se distribucija aritm. sredina ponaša po normalnoj distribuciji.

Nepristrane procjene parametara osnovnog skupa (populacije) aritmetička sredina: procjena očekivanja E(x)=µ osnovnog skupa – baza za intervalnu procjenu očekivanja nepristrana procjena varijance: procjena varijance osnovnog skupa (σo2) intervalna procjena varijance osnovnog skupa: nepristrana procjena standardne pogreške aritmetičke sredine: