VEZA GRAVITACIONOG POLJA I GEOMETRIJE Maturski rad: VEZA GRAVITACIONOG POLJA I GEOMETRIJE Mentor: Ljubiša Nešić Učenik: Petra Laketa

UVOD Može se reći da nema načina da se osobine prostora i vremena odrede samo matematičkim razmišljanjem, jer taj postupak ne daje jednoznačan rezultat. Pitanje o istinitosti određenih geometrijskih iskaza svodi se na pitanje o ''istinitosti'' aksioma. U fizici prostor je onakav kakav se vidi u eksperimentima. Ako se osnovnim pojmovima geometrije prida određen fizički smisao, ako se oni povežu sa određenim fizičkim objektima (npr. prava = putanja svetlosnog zraka), onda pitanje o ''istinitosti'' geometrijskih iskaza postaju pitanja fizike, tj. pitanja o tačnosti veze između odgovarajućih fizičkih objekata. Jedno od najpoznatijih dela u istoriji matematike je Euklidovo delo ‘‘Elementi’’. On je prvi objedinio i sistematizovao dotadašnja znanja iz geometrije. Preko 2000 godina ljudi su čvrsto verovali u Euklidov prostor jer ga je svakodnevno iskustvo potvrđivalo. Međutim, sa nastankom specijalne i opšte teorije relativnosti situacija se promenila. Peti postulat – Plejferov ekvivalent – geometrije Lobačevskog i Rimana

GEOMETRIJA NJUTNOVE MEHANIKE Istorijski prva fizička teorija bila je Njutnova mehanika. U njenoj osnnovi leže predstave o apsolutnom prostoru i apsolutnom vremenu. -prostorni interval: -vremenski interval: Njutnovi zakoni: 1. Zakon inercije 2. Zakon delovanja sile 3. Zakon akcije i reakcije Prvi i drugi važe samo za IRS – apsolutni prostor Galilejev princip relativnosti: Zakoni mehanike su istog oblika u svim inercijalnim sistemima reference

Galilejeve transformacije: Klasični zakon slaganja brzina:

Etar je na neki način realizacija Njutnovog apsolutnog prostora. Krajem XIX veka Njutnova mehanika i Maksvelove jednačine su, kako je izgledalo, bili dovoljno čvrsto postavljeni. Maksvelove jednačine su predviđale da se svetlost u vakuumu kreće brzinom c, ali ne govore ništa o tome u odnosu na koji sistem reference. Kako za mehaničke talase postoji sredina koja ih prenosi, smatralo se da to važi i za svetlost. Ta sredina nazvana je etar. Za posmatrača koji miruje u odnosu na etar, brzina svetlosti je c, dok je za onog koji se kreće prema (od) svetlosnom izvoru brzinom u u odnosu na etar jednaka: c’=c±u Etar je na neki način realizacija Njutnovog apsolutnog prostora.

Do pred kraj XIX veka merna aparatura kojom su raspolagale laboratorije nije bila dovoljno precizna da bi mogla da izmeri malu razliku između c i c’, a i metodologija koja se zasnivala na kretanju aparature u laboratoriji nije puno obećavala. Međutim, 1880. se došlo na ideju da se iskoristi kretanje Zemlje pri rotaciji oko Sunca , tj. da se za nju veže pokretni referentni sistem. Očekivalo se da odstupanja od brzine svetlosti mogu da se registruju prilikom merenja kada se Zemlja kreće prema etru ili od njega. Merenja su vršena Majkelsonovim interferometrom, koji je imao mogućnosti da izvrši merenja potrebne tačnostii, međutim, svi pokušaji su bili neuspešni.

GEOMETRIJA STR Izlazak iz novonastalih teškoća otklonio je Albert Ajnštajn, odbacujući postojanje etra i klasičan zakon slaganja brzina. Kao rezultat toga, nastala je 1905. STR, koja se zasniva na dva postulata: Zakoni fizike su istog oblika u svim IRS. Brzina svetlosti u vakuumu, odnosno maksimalna brzina prostiranja interakcije, ista je u svim IRS. Lorencove transformacije

Dilatacija vremena: Kontrakcija dužine: Međutim, ipak postoji veličina koja je invarijantna u odnosu na Lorencove transformacije. S obzirom na to da ove transformacije ''mešaju'' prostorne i vremenske koordinate, prirodno je govoriti o četvorodimenzionom prostor-vremenu, a ne o prostoru i vremenu posebno. Koordinate tačke definišemo na sledeći način: Pokazuje se da tražena invarijantna veličina ds ima oblik: i naziva se prostorno-vremenski interval.

Ovo se može zapisati i u drugačijem obliku: (*) gde je sa dxµ označen četvorodimenzioni vektor sa komponentama (dx0, dx1, dx2, dx3). Pritom koristimo Ajnštajnovu konvenciju o sumiranju: Po ponovljenim indeksima u nekom izrazu koji se jednom javljaju kao donji, a drugi put kao gornji podrazumeva se sumiranje. Ako se ponavljaju veličine sa grčkim indeksima α, β,... onda oni poprimaju n vrednosti od 0 do n-1, a ako su latinični i, j,... uzimaju n-1 vrednosti, od 1 do n-1, gde je n dimenzija prostora (u našem slučaju ). Veličina ημν naziva se metrika prostora ili metrički tenzor, čije komponente su zadate sledećom dijagonalnom matricom: Prostor u kojem važi jednačina (*) je četvorodimenzioni prostor Minkovskog (M4). Geometrija STR je, znači, pseudoeuklidska. Pošto su svi metrički koeficijenti u ovom slučaju konstantni, ovaj prostor je ravan. Dok je euklidska metrika pozitivno definitina, tj. sve komponente metrike su pozitivne, metrika prostora Minkovkog je indefinitna, tj. ima i pozitivne i negativne komponente. Kao posledica toga, rastojanje dve tačke u M4 može biti nula i kad se ove dve tačke ne poklapaju. Ova razlika ne menja bitno matematičku analizu prostora M4 u odnosu na odgovarajući euklidski slučaj, ali ona onemogućava direktne predstave geometrijskih objekata, jer je naše svakodnevno iskustvo vezano za euklidsku geometriju.

STR ima dva velika nedostatka: 1. Razmatra samo inercijalne referentne sisteme. 2. Ne razmatra gravitaciju. Jedan od problema sa gravitacijom u Njutnovoj teoriji je u tome što ona zavisi samo od medjusobnog položaja tela, što implicira da se ona prenosi trenutno, tj. beskonačno velikom brzinom. Ovo je u suprotnosti sa postulatom STR da je najveća poznata brzina brzina svetlosti u vakuumu c. To je upućivalo na to da treba preformulisati teoriju gravitacije. Ajnštajn je to uradio po uzoru na teoriju elektromagnetne interakcije, uvodeći pretpostavku da se i gravitaciona interakcija prenosi (posredstvom gravitaconog polja) brzinom svetlosti.

GEOMETRIJA OTR Bilo je, dakle, potrebno uraditi dve stvari: uvesti gravitaciju u teoriju i proširiti princip relativnosti sa inercijalnih na sve RS. Ajnštajn je problem rešio uvođenjem dva principa: 1. Princip ekvivalencije (PE): Referentni sistem koji apsolutno miruje ili se kreće konstantnom brzinom u homogenom gravitacionom polju jačine g , i sistem reference, koji se kreće konstantnim ubrzanjem a u odsustvu gravitacionog polja, su fizički ekvivalentni, ako je g=-a . ''Prava'' gravitaciona polja (koja nisu homogena) se mogu razlikovati od polja kojima je ekvivalentan neki neinercijalni RS po ponašanju na beskonačnosti. ''Prava'' polja tamo iščezavaju, a ova druga ne. Ekvivalentnost važi samo lokalno, u manjim delovima prostora i vremena, gde se ''pravo'' polje može smatrati homogenim. Na drugi način iskazan, PE tvrdi da se pogodnim izborom RS može lokalno kompenzovati dato gravitaciono polje.

2. Opšti princip relativnosti (OPR): Svi fizički zakoni moraju biti formulisani tako da imaju isti oblik u svim RS koji se proizvoljno kreću. Ovo je uopštenje specijalnog principa relativnosti. Time je Ajnštajn proširio postulat relativnosti na sisteme koji se proizvoljno kreću, čime je ustvari, obuhvatio i gravitaciju i sve ostale vrste ubrzanih kretanja. Preme tome, za opisivanje zakona prirode svi sistemi reference su potpuno ravnopravni. Opšti princip relativnosti se može realizovati uz pomoć opšteg principa kovarijantnosti: Svi fizički zakoni se moraju zapisati u kovarijantnom obliku u odnosu na proizvoljne transformacije koordinata. Princip kovarijantnosti ustvari predstavlja matematičku formulaciju opšteg principa relativnosti. Kovarijantnost je omogućena izražavanjem fizičkih jednačina u tzv. tenzorskom obliku.

Uvedimo osnovne pojmove tenzorske analize. U n-dimenzionoj mnogostrukosti transformacije koordinata izražavaju se pomoću n jednačina Neka je u sistemu reference S data funkcija =(x0,x1,...,xn-1) kojom je opisana neka fizička veličina. Pretpostavimo da je u sistemu reference S' ta ista fizička veličina opisana funkcijom '='(x0,x1,...,xn-1). Ako je u svakoj tački prostora tj. pri transformaciji koordinata ova funkcija ostaje nepromenjena, onda se ona naziva tenzor nultog reda, skalar ili invarijanta. Po analogiji sa vektorima u 3-dimenzionom prostoru, u n-dimenzionom Rimanovom prostoru n komponenata određuje vektor. Skup od n veličina , koje se pri transformaciji koordinata transformišu po zakonu : naziva se kontravarijantni vektor ili kontravarijantni tenzor prvog reda.

S druge strane, skup od n veličina Uµ koje se transformišu prema zakonu: predstavlja kovarijantni vektor ili kovarijantni tenzor prvog reda. Skup od n2 veličina (u n-dimenzionom prostoru) koje se transformišu prema zakonu: naziva se kontravarijantni tenzor drugog reda, dok n2 veličina koje se transformišu prema zakonu: određuju kovarijantni tenzor drugog reda. Skup od n2 veličina koje se transformišu prema zakonu: naziva se mešoviti tenzor drugog reda.

Slično se, neposrednom generalizacijom mogu uvesti i tenzori višeg ranga. Na osnovu zakona transformacije kontravarijantnog (kovarijantnog) tenzora vidi se da su te transformacije homogene i linearne u odnosu na same tenzore. Otuda je jasno da ako su komponente tenzora u datoj tački u datom sistemu reference jednake nuli, tada zbog homogenosti i linearnosti transformacija sve komponente tenzora u datoj tački ali u drugom sistemu koordinata su takođe jednake nuli. Prema tome, karakter nula tenzora nemoguće je izmeniti nikakvim transformacijama koordinata. Dakle, tenzori su definisani nezavisno od metrike prostora i stoga se mogu iskoristiti za kovarijantni zapis jednačina koji zahteva OTR.

Algebra tenzora Zbir dva tenzora definiše se kao skup suma odgovarajućih elemenata ovih tenzora, čime se dobija tenzor istog ranga. Spoljašnji proizvod tenzora: Uzmimo dva proizvoljna tenzora i sastavimo proizvod njihovih komponenata: Skup svih takvih proizvoda daje komponenete novog tenzora W. Pri tome je rang tenzora W jednak zbiru rangova polaznih tenzora. Tenzor dobijen na ovaj načina naziva se spoljašnji proizvod tenzora U i V. Kontrakcija tenzora: ako se izjednače jedan gornji i jedan donji indeks mešovitog tenzora i izvrši sumiranje po tom indeksu, dobija se tenzor čiji je rang za dva niži od polaznog. Ta operacija se naziva kontrakcija tenzora. Unutrašnji proizvod tenzora je operacija pri kojoj se prvo sprovede spoljašnje množenje, a zatim izvrši kontrakcija.

Neka je nad nekom mnogostrukošću zadat sistem koordinata tako da se tački posmatrane mnogostrukosti pridružuje n realnih brojeva (x0,x1,...,xn-1) gde su xα koordinate tačke. Ako se u takvom n-dimenzionom prostoru definiše rastojanje ds između bilo koje dve infinitezimalno bliske susedne tačke i , tzv. kvardatnom diferencijalnom formom oblika: (**) onda kažemo da prostor poseduje metriku i nazivamo ga metričkim. Funkcije gµν= gµν(xα) su neprekidne funkcije koordinata xα i ima ih n2. Skup svih koeficijenata čini metrički ili fundamentalni tezor. Mnogostrukost sa metričkom formom (**) u matematici se naziva Rimanov prostor. On nalazi svoju veliku primenu u OTR.

Veličine gµν su simetrične, tj Veličine gµν su simetrične, tj. važi gµν= gνµ Zbog toga postoji n(n+1)/2 nezavisnih metričkih koeficijenata. Ovaj tenzor u bilo kom sistemu koordinata potpuno je određen matricom: Determinantu metričkog tenzora gµν označavamo sa g. Pokazuje se da je veličina koja je invarijanta u odnosu na ma kakve transformacije kod Rimanovog prostora i naziva se element zapremine Rimanovog prostora. S obzirom na to da je veličina u OTR negativna, češće se uzimaju odgovarajuće pozitivne veličine -g . U slučaju euklidskog prostora i Dekartovih koordinata je g=1 , čime neposredno dobijamo generalizaciju uobičajenog izraza za element zapremine.

Kristofelov simbol prve vrste definisan je kao Veličine koje se koriste da objasne promenu vektora pri paralelnom prenosu su Kristofelovi simboli. Kristofelov simbol prve vrste definisan je kao Kristofelov simbol druge vrste se dobije tako što se izvrši unutrašnje množenje sa metičkim tenzorom gγη: Pri ovome važi relacija: gde je δVµ promena vektora pri paralelnom prenosu. U opštem slučaju Kristofelovi simboli prve i druge vrste nisu tenzori. Može da se pokaže da u Euklidovom prostoru postoji bar jedan sistem koordinata u kome su svi Kristofelovi simboli jednaki nuli, pa se u njemu vektor ne menja pri paralelnom prenosu

Prilikom izračunavanja različitih veličina u OTR često se koriste operacije diferenciranja i integraljenja. U euklidskoj geometriji npr. operacija diferenciranja vektora se definiše isto kao i za obične matematičke funkcije-skalarne veličine. Međutim, u neeuklidskoj geometriji procedura formiranja izvoda vektora je znatno složenija. Naime, parcijalni izvod vektora i tenzora po prostornim koordinatama sami po sebi ne predstavljaju komponente tenzora. Ova činjenica , koju je neophodno uračunati u tzv. zakrivljenom (Rimanovom) prostoru, dovodi do ideje o kovarijantnom diferenciranju. Kovarijantni izvod po xσ mešovitog tenzora je

Neeuklidska geometrija, kao i euklidska, u potpunosti je okarakterisana metričkim tenzorom. Međutim, osim ovog tenzora postoji još nekoliko važnih tenzora koji se koriste u neeuklidskoj geometriji, a time i u OTR. Jedna od najvažnijih veličina posle metričkog tenzora je svakako tenzor krivine ili, kako se u relativističkoj fizici kaže, krivina. U tački B se nalazi vektor a, tangentan na luk AB. Pomerajući taj vektor paralelno duž zatvorene konture B-P-A-B lako se vidi da se konačni i početni položaj vektora razlikuju, pri čemu je u posmatranom primeru a ortogonalan na a’ (ugao između vektora i velikog kruga se ne menja tokom paralelnog pomeranja). Razlog ovome je upravo krivina prostora (u ovom slučaju površ sfere).

Riman-Kristofelov tenzor određen je formulom: Potreban i dovoljan uslov da bi metrika nekog prostora bila ravna jeste da je Riman-Kristofelov tenzor jednak nuli. Zbog toga se ovaj tenzor naziva i tenzor krivine.Iz tenzora krivine mogu se obrazovati dve interesantne veličine. Kontrakciju Riman-Kristofelovog tenzora moguće izvršiti na dva različita načina. Jedan od tih načina je kontrakcija gornjeg indeksa  u jednačini i donjeg prvog 1. Takva kontrakcija uvek dovodi do tenzora koji je identički jednak nuli, usled specifičnih osobina simerije Riman Kristofelovog tenzora. Međutim, ako se kontrakcija izvrši po gornjem i poslednjem donjem indeksu dobija se: Ova veličina se naziva Ričijev tenzor.

Unutrašnjim množenjem Ričijevog tenzora sa fundamentalnim tenzorom dobija se invarijanta, u odnosu na koordinatne transformacije, koja se naziva skalarna krivina ili invarijanta krivine prostora Drugi značajan tenzor koji se dobija od tenzora krivine je tzv. Ajnštajnov tenzor. On se definiše na sledeći način Važi tzv. Ajnštajnov identitet:

U okviru klasične Njutnove teorije gravitaciona interakcija se može opisati samo jednom skalarnom funkcijom , koja se naziva potencijal, i ona zadovoljava Poasonovu parcijalnu diferencijalnu jednačinu drugog reda gde je  Laplasov operator koji ima oblik  gustina mase koja je izvor gravitacionog polja, a  univerzalna gravitaciona konstanta. Poasonova jednačina, očtigledno, nije relativistički invarijantna. Stoga je jasno sa je Njutnova teorija gravitacije suštinski nerelativistička teorija i da je treba modifikovati u okviru relativističke teorije gravitacije.

Prirodno je bilo zahtevati da se nova teorija gravitacije, takođe, opisuje parcijalnim diferencijalnim jednačinama drugog reda, koje u odgovarajućoj aproksimaciji prelaze u Poasonovu jednačinu. Ulogu relativističkog analogona njutnovskog potencijala treba da preuzme metrički tenzor, koji sadrži deset nezavisnih komponenata, tako da je za potpuni opis gravitacionog polja neophodan sistem od deset parcijalnih jednačina drugog reda. U tom smislu, Ajnštajn je razvio ideju o povezanosti geometrije i materijalnog sadržja prostora. Polazeći od toga da postoji neka relacija između geometrije i materije opšteg oblika geometrijamaterija, on je uspešno konstruisao obe strane ove jednačine.

Iz principa opšte kovarijantnosti sledi da relativističke jednačine gravitacionog polja treba da budu zapisane u tenzorskom obliku. Zbog toga na levoj strani jednačina treba da stoji neki tenzor koji sadrži izvode (zaključno do drugog reda) od metričkog tenzora gµν i koji ima deset komponenata. Ovaj tenzor bi morao, prema Ajnštajnu, određivati geometriju prostora. Sam metrički tenzor nije dovoljan za izražavanje zakrivljenosti prostor. Zbog toga je Ajnštajn iskoristio veličine kao što su Riman-Kristofelov tenzor i Ričijev tenzor. Takođe, Ajnštajn je našao tenzor Gµη, koji zadovoljava oba gornja zahteva. Prema tome, na levoj strani relativističkih jednačina može stajati neki od ovih tenzora ili njihove kombinacije. S obzirom na to da su navedeni tenzori simetrični na levoj strani treba da stoji neki simetrični tenzor drugog ranga Qµη. Tada, očigledno, na desnoj strani treba da stoji, takođe, simetrični tenzor drugog ranga. Taj tenzor treba da karakteriše raspodelu i kretanje mase. Takav tenzor je tenzor energije-impulsa Tµη i njime se opisuje materijalni sadržaj prostora.

Ajnštajn je zaključio da ova relacija ima oblik: gde je konstanta koja se određuje iz zahteva da se, u aproksimaciji slabog polja, dobije Njutnova gravitacija opisana Poasonovom jednačinom i iznosi: Ajnštajnove jednačine gravitacionog polja, dakle, predstavljaju relativističko uopštenje Poasonove jednačine. Međutim, za razliku od Poasonove jednačine, Ajnštajnove jednačine su nelinearne i zbog toga se ne mogu rešiti u opštem obliku. Zbog toga se ne može koristiti ideja suerpozicije (osim aproksimativno u slučaju slabih polja). Drugim rečima, gravitaciono polje sistema više objekata se ne može dobiti kao zbir polja podsistema, što znatno otežava njihovo rešavanje. Čak i u slučaju praznog prostora Ajnštajnove jednačine su veoma složene i teško je naći rešenje. Međutim, ipak postoje situacije za koje su one rešene (npr Švarcšildovo rešenje iz 1916. godine za stastičko sferno-simetrično gravitaciono polje).

EKSPERIMENTI KOJI POTVRĐUJU OTR 1.Precesije perihela orbita planeta Koristeći OTR dobija se obrazac za ugaono pomeranje perihela u pravcu kretanja planeta: gde je velika poluosa, T period, a ekscentricitet orbite. Kada je reč o planetama Sunčevog sistema najveći efekat treba očekivati za Merkur, jer je njegov ekscentricitet orbite najveći, dok je njegova velika poluosa najmanja. Ovi rezultati se slažu sa merenjima, u granicama eksperimentalne greške. Ovaj rezultat bio je prvi trijumf OTR. Njutnova teorija gravitacije nije uspela da objasni ovaj efekat.

2. Skretanje svetlosti u blizini Sunca Korišćenjem OTR dobija se obrazac za ugao odstupanja svetlosnog zraka (***) gde je M masa Sunca, a d je rastojanje koje se vidi na slici. Ovaj rezultat je prvi eksperimentalno potvrdio Artur Edington 1919. godine. Poslednjih godina izvedeni su mnogo tačniji eksperimenti koji su potvrdili skretanje zraka (radio talasa). Eksperimentalna merenja se dobro slažu sa rezultatima dobijenom formulom (**)sa tačnošću od oko 1%. Ovaj efekat se može proceniti i u okviru njutnovske mehanike i pri tome se za skretanje svetlosti dobije duplo manji rezultat od onog predviđenog formulom (***).

3. Gravitacioni crveni pomak U ravnom prostoru Minkovskog frekvencija fotona koji emituje neki atom, posmatrana iz proizvoljnog inercijalnog sistema reference se ne menja. Međutim, kada se emiter (atom) nalazi u gravitacionom polju (npr.Sunca) s tok vremena menja od tačke do tačke. Kada se sa Sunca emituje svetlost, onda, prema OTR, gravitacioni potencijal Sunca mora uticati na talasnu dužinu, odnosno frekvenciju emitovane svetlosti za posmatrača sa Zemlje. Korišćenjem OTR dobija se: gde su e i p potencijal gravitacionog polja u tački emitovanja, odnosno primanja zračenja, a odnos λ/λe karakteriše pomeranje spektralnih linija u gravitacionom polju prema većim talasnim dužinama i naziva se Ajnštajnov efekat ili efekat crvenog pomaka. Novija merenja efekta gravitacionog pomeranja frekvencije sa kosmičkih stanica i veštačkih satelita potvrđuju navedenu formulu sa tačnošću do 2x10-4.

ZAKLJUČAK Predstava koju smo iz antičkih vremena imali o euklidskom prostoru i vremenu koji postoje odvojeni i koja je bila ugrađena u Njutnovu mehaniku, je početkom prošlog veka doživela pravu revoluciju koja je kulminirala eksperimetalnom potvrdom Ajnštajnove teorije što je bio konačan dokaz da na geometriju prostora u kome živimo u najvećoj meri utiče gravitacija, odnosno raspodela masa koje je stvaraju. Opšta teorija relativnosti, međutim, nailazi na velike probleme prilikom opisivanja geometrije prostor-vremena u blizini jako masivnih objekata malih dimenzija, odnosno u blizini crnih rupa (takozvani lokalni singulariteti u OTR). Sličan problem se u ovoj teoriji javlja ukoliko probamo da predstavimo prostor-vreme u ranim trenucima nastanka vasione (globalni singularitet). U oba slučaja problemi su izazvani činjenicom da je OTR u stvari klasična odnosno ne kvantna teorija. Pokazalo se da je nemoguće formulisati kvantnu teoriju gravitacije na osnovu Ajnštajnove OTR. Naime, sve ostale interakcije (elektromagnetna, jaka i slaba) su interakcije koje postoje i deluju u prostor-vremenu dok se za gravitaciju opisanu preko OTR može reći da ga u osnovi određuje. Stoga je bila neophodna njena modifikacija, zapravo formulisanje potpuno nove, takođe geometrijske, teorije koja se zove teorija struna. Na odgovarajuće direktne eksperimentalne potvrde, obzirom na to da se ona ispoljavaju tek na Plankovoj skali se naravno ne može računati, ali se registrovanje nekih njenih posledica očekuje već u eksperimentu koji se u CERN-u odvija na LHC.

HVALA NA PAŽNJI