پديدة گذار فاز پديده‌‌اي است كه با بروز يك ناپيوستگي در ترموديناميك يك دستگاه همراه است. گذار فاز مرتبة اول: مشتق اول پتانسيل گيبس در عبور از مرز فاز گسسته است. گذار فاز مرتبة دوم و بالاتر: در اين گذار ها سيستم بدون تغيير حالت يک شکست تقارن دارد. مثل تبديل مواد پا رامغناطيس به مواد فرو مغناطيس در اين حالت پارامتر نظم است و بدون اينكه سيستم تغيير حالت پيدا كند سيستم تقارنش را نسبت به دوران از دست مي‌دهد.

پديدة فرو مغناطيس در بعضي از فلزات كسري از اسپين اتمها در دماي پايين‌تر از دماي خاصي (دماي بحراني) در يك جهت خاص تطبيده مي‌شوند و يك ميدان مغناطيسي خود بخودي ايجاد مي‌كنند. مطالعة اساسي در گذار فاز مطالعه رفتار سيستم در همسايگي نقطة بحراني است.

مدل آيزينگ هر جا كه با زنجيري از يك خصوصيت و يا با انتشاري كه همسايگي در آن نقش مهمي داشته باشد مدل آيزينگ را مي‌توان آزمود. مثلاً بررسي يك بيماري مسري و انتشار آن در يك جامعه و يا ارتباط شركتهاي تجاري و همچنين در موقعيت‌هايي كه پارامتر يا كميت خاصي از سيستم دو انتخاب براي مقدار گيري داشته باشد يا بتوان تعداد اين انتخاب‌ها را به دو مقدار تقليل داد.

مدل آيزينگ در گذار پارامغناطيس- فرو مغناطيس براي حل سيستمهاي شيميايي- فيزيكي كه دستخوش انتقال فاز مي‌شوند بوسيلة آرايش شبكه‌اي كه فقط نيروهاي بر هم كنشي اتمهايي كه در همسايگي هم هستند را در نظر مي‌گيريم كه نحوة‌ آرايش (اشغال فضا) اين برهم كنش‌ها را تغيير مي‌دهد اين مدل خواص ترموديناميكي پديده‌ها را تغيير نمي‌دهد. مدل آيزينگ تلاشي است براي شبيه‌سازي ساختار يك جسم فرومغناطيس و مزيت اصلي آن اينست كه اين مدل در دو بعد به بررسي دقيق در مكانيك آماري منجر مي‌شود.

در اين مدل سيستم به صورت آرايه‌اي از N نقطة ثابت كه جايگاههاي شبكه ناميده مي‌شود و در نظر گرفته مي‌شود. اين آرايه شبكه n بعدي را تشكيل مي‌دهد كه يك متغيير اسپيني به هر جايگاه شبكه نسبت داده مي‌شود كه عددي برابر 1+ يا 1- است. معرف يك پيكربندي است. شكل يك نمونه‌اي از يك پيكربندي براي سيستمي با 5 جايگاه است كه پيكربندي اين شكل {1-، 1+، 1+، 1-، 1+}={δ1}است. شكل (1)

انرژي سيستم در يك پيكره بندي {δi } جملة اول ناشي از بر هم كنش اسپيني نزديكترين همسايه است كه در اين رابطه J ثابت جفت شدگي يا متبادلي نام دارد كه تابعي از فاصلة بين دو اسپين است. فرض مي‌كنيم كه J به مكان ذرة i و j بستگي نداشته باشد. n.n معرف نزديكترين همسايه‌هاي هر جايگاه است و q تعداد اين همسايه‌ها، هندسه شبكه از طريق J , q وارد مسأله مي‌شود. جمله دوم ميانگين برهم كنش تك تك اسپين‌ها با ميدان مغناطيسي است.

بررسي مدل آيزينگ در يك بعد با استفاده از خاصيت تبادلي شبكه بلوري ما مي‌توانيم ساختار بسته و متناهي را جايگزين شبكه متناوب بكنيم. بنابراين ساختار مربوط به شبكه يك بعدي منحني بسته‌اي است كه N امين عضو شبكه در كنار اولين اسپين قرار مي‌گيرد.

بررسي مدل آيزينگ در يك بعد تابع پارش سيستم

محاسبه كميتهاي ترموديناميكي سيستم و دماي گذار

در غياب ميدان مغناطيسي، مغناطش سيستم صفر است البته اين در شرايطي است كه سيستم به دماي گذار و پس از آن نرسيده باشد در آن صورت ما مغناطش خودبخودي خواهيم داشت. براي تمامي مقادير معينβ يا بعبارتي 0 ≠ T براي پس M در T= 0 پيوسته نمي‌باشد .

اما بر اساس تقريب اول (تقريب Beth) كه در آيزينگ يك بعدي مي‌توان نشان داد كه به نتايج دقيق فيزيكي مي‌رسد ما در يك بعد گذار نداريم. تقريب اول در اين تقريب وقتي يك جايگاه سيستم را جايگاه مركزي مي‌گيرد علاوه بر هم كنش‌هايي كه در مدل آيزينگ در نظر گرفته مي‌شود برهم كنش اسپينهاي همسايه با ميدان مغناطيسي كل (شامل ميدان مغناطيسي خارجي + ميدان ذاتي متوسط) هم وارد مي‌شود. يكي از دلايل مطرح كردن مدل آيزينگ در يك بعد نشان دادن اين است كه تقريب اول در يك بعد به نتايج دقيقي مي‌رسد.

كميتهاي ترموديناميكي در غياب ميدان مغناطيسي : گرماي ويژه به سمت صفرمين مي‌كند. درحد

محاسبة تابع پارش بوسيلة مدل آيزينگ براي زنجيرة باز هاميلتوني براي زنجير بسته هاميلتوني براي زنجيره باز در غياب ميدان اولين و آخرين اسپين تنها يكبار در جمع درون تابع نمايي رخ مي‌دهد بنابراين اين دو جمله را جدا كرده و اثر آنها را در تابع پارش به صورت مستقل مي‌نويسيم

با تكرار اين روش براي دو اسپين دوم و ماقبل آخر و سپس به همين ترتيب براي اسپين سوم از ابتدا وانتها خواهيم داشت

مدل آيزينگ در دو بعد H = -J∑σiσj - μB∑σi مدل آيزينگ در دو بعد يکي از مدل هايي که مي تواند گذارفاز را نمايش دهد و يکي از معدود مدل هايي است که داراي حل دقيق مي باشد گذار فاز در اين سيستم يک گذار از نوع نظم – بي نظمي است. در فيزيک آيزينگ دو بعدي براي مدل بندي گذار فاز از پارامغناطيس به فرو مغناطيس در يک شبکه مغناطيسي مورد استفاده قرار مي گيرد. در يک بعد و دوبعد مي توان يک عبارت تحليلي براي تابع توزيع به دست آورد ولي تا به حال اين مدل در سه بعد به حل دقيق منجر نشده است. H = -J∑σiσj - μB∑σi n.n i=1 N (1) مي‌خواهيم تابع توزيع را براي دماي بالا و دماي پائين استخراج كنيم و يك رابطه بين اين دو به دست آوريم

N: تعداد کل نزديکترين همسايه ها (2) N: تعداد کل نزديکترين همسايه ها (3) N تعداد همسايه ها (4)

زوجي قيد ها

زوجي

شبکه V

(6)

(7)

مثال : H = -J∑σiσj n.n ↑↑ E =-J ∑1 = -J ↑↓ E =-J ∑-1 = J ∆E =2J

(8) (9)

U

دوگان دوگان دوگان

دوگان

مدل کروي در فصل قبل ديديم که گذار فاز در هر سيستم با ويژگي هايي توصيف ميشود که به طور کيفي با کلاس جهان شمولي آن سيستم بررسي مي شود. در اين فصل سيستم هاي مختلفي بررسي شده اند که در کلاس هاي جهان شمولي مختلفي قرار دارند. اين بررسي مي تواند نشان دهد چگونه اين خصوصيات از کلاسي به کلاس ديگر تغيير مي کند.يادآوري مي کنيم پارامتر هايی که کلاسهای مختلف جهان شمولی را از هم متمايز می کنند عبارتند از : ,d بعد فضايی ,nبعد پارامتر نظم که معمولا همان بعد اسپينی است. گستره بر همکنشهای ميکروسکوپيک در اين فصل ما بر همکنش های کوتاه برد را در نظر می گيريم که اغلب از نوع نزديک ترين همسايه است.بنابر اين تنها پارامترهايی که می توان انتخاب کرد dوn هستند.

در اين فصل بحث با مدل آيزينگ(n=1)در يک بعد شروع شد. مدل آيزينگ فقط مربوط به سيستمهای دو ترازی (n=1) است . بعد از آن اين مدل در دو بعد (d=2) حل شد. متاسفانه مدل آيزينگ در سه بعد (d=3)حل دقيق ندارد.بعد از آنکه تلاش ها برای حل اين مسئله به نتيجه ای نرسيد پيشنهاد شد که مسئله d بعدی با n=∞ بررسی شود.يعنی سيستم از اسپينهای با تقارن پيوسته تشکيل شده باشد. کاک(1947) مدلي در نظر گرفت که در آن متغير اسپينی به جای آنکه تنها مقادير گسسته 1- يا 1+ را اختيار کند ٬مقداری از بازه پيوسته از ∞- تا ∞+ انتخاب کند.به شکل تابع توزيع احتمال گوسی. در برازش با شکل استاندارد تابع گوسی داريم :

اين مدل اشکالات جدي داشت که مهمترين آن اين بود که در دماهاي زير دماي بحراني انتگرال واگرا مي شود و مدل شکست مي خورد.اين موضوع باعث شد کاک اين مدل را رها کند و مدل ديگري ارائه کند

(18)

براي Nj>>1 ,جمع روي nj مي تواند با انتگرال جايگزين شود. با نوشتن بدست مي آوريم: که I0(x) تابع تغيير يافته است.

پس که تابع واتسون است که به شکل زير تعريف مي شود : که تابع واتسون است که به شکل زير تعريف مي شود : رابطه هاي (19) و (21) به شکل زير در مي آيند : (19) 

رفتار مجانبي براي به صورت زير آمده است: For d < 2 For d = 2 For 4 < d <2 For d = 4 For d > 4 وقتي از بالا به دماي بحراني نزديک شويم ، پارامتر کمتر مي شود ودر Tc وتمام دماهاي کمتر از Tc صفر مي شود.

(II) رفتار بحراني : مي خواهيم خصوصيات فيزيکي مختلف مدل کروي ميانگين را براي رده هاي مختلف d بررسي کنيم. الف)d<2 . با توجه به تابع واتسون براي d<2 و جايگذاري در رابطه (32a) با B=0 ، به دست مي آوريم: KB ثابت بولتزمن است. مي بينيم که در اين حالت در صورتي صفر ميشود که T0 يعني گذار فاز در Tc=0 اتفاق مي- افتد.روابط (20b) و (23) و(24) و(25) پذيرفتاري در دماي پايين و گرماي ويژه را مي دهند.

ب)d=2 .با توجه به تابع واتسون براي d=2 داريم : دوباره در Tc=0 گذار اتفاق مي افتد.اما در دماهاي پايين : ج)2 < d < 4 .با توجه به تابع واتسون براي اين d و رابطه (32a) داريم :

اکنون نقطه بحراني با قرار دادن B=0 و 0 تعيين ميشود و تغييرات با T وقتي که به نقطه بحراني نزديک مي شويم با رابطه زير داده مي شود: وقتي صفر مي شود ، براي همه دماهاي پايين تر صفر مي ماند. و در نتيجه : و براي T Tc بينهايت ميشود.

و براي T Tc ب صفرميل مي کند. با توجه به رابطه (32b) و (40) وقتي B  0 قرار دهيم: و نهايتا اگر در رابطه (39) ، B را نگه داريم اما T= Tc قرار دهيم بدست مي آوريم: با استفاد ازتعريف m به شکل و روابط (20a)و(24) و(25) داريم :

در نتيجه ميتوان توانهاي بحراني را براي اين سيستم پيدا کرد در نتيجه ميتوان توانهاي بحراني را براي اين سيستم پيدا کرد .اينها ، پارامترهايي براي تعيين چگونگي رفتار بحراني سيستم هستند.زيرا مسئله اصلي در گذار فاز ،بررسي رفتار سيستم در نزديکي نقطه بحراني است و ميدانيم که اين رفتار با کميتهاي فيزيکي مختلفي از سيستم که درنقطه بحراني يکتا هستند تعيين ميشود يکي از آنها مربوط به m است که m کميت نظم تعريف مي شود و مربوط به نظم ميدان h است که در حد h0 ، m به مقدار محدود m0 ميل ميکند که براي T>= Tc ،m0=0 و براي T< Tc ، m0≠0 است .براي يک سيستم مغاطيسي m همان و h همان کميت است.کميت β به شکل زير تعريف مي شود : با توجه به اينکه وقتي از بالا به دماي گذار نزديک مي شويم ،پذيرفتاري x0 در ميدان ضعيف واگرا مي شود،کميتγبه شکل زير تعريف مي شود: For h0 , T>Tc

درنهايت α را برحسبcv تعريف مي کنيم : وکميت γ به شکل زير تعريف ميشود: ( T=Tc , h  0 ) درنهايت α را برحسبcv تعريف مي کنيم : ( T>Tc ) بنابراين توانهاي بحراني براي اين سيستم عبارتند از :

د)d>4 .تابع واتسون براي اي حالت عبارتست از : براي اين حالت هم شرط حالت بحراني همان معادله (40) است . کميتهاي فيزيکي سيستم با روابط زير مشخص ميشوند: (32a)و(52) (46)

پس توانهاي بحراني براي اين حالت عبارتند از : ه)d=4. براي اين حالت داريم : دوباره براي حالت تعادل داريم : و با توجه به رابطه (32a) داريم: با معرفي يک پارامتر قراردادي : به دست مي آوريم :

و کميتهاي ترموديناميکي از روابط زير بدست مي آيند:

قبلا ديديم در مدل شبکه دو بعدی که با پارامتر نظم گسسته (n=1) مشخص می شود گذار فاز در دمای متناهی رخ می دهد.طبيعتا انتظار می رود برای d>2 هم به همين صورت باشد.از طرف ديگر مدل کروی که با پارامتر نظم گسسته (∞n=)مشخص می شودگذار فاز را فقط برای d>2 پيش بينی می کند.سوالی که مطرح می شود اين است که در مدلهای ميانی يعنی n=2,3,… آيا گذار فاز در دمای متناهی در d=2رخ می دهد يا نه؟ در جواب تئوری زير مطرح شده است: ((سيستمهايی که از اسپينهايی تشکيل شده اند که تقارن پيوسته دارند و بر همکنشهای آنها کوتاه برد است٬در در هيچ دمای متناهی مغناطش خود به خود پيدا نمی کنند .يعنی گذار نمی کنند.)) يعنی سيستمهای با مانند مدل کروی بر خلاف مدل آيزينگ عمل می کنند.