Γραμμικός Προγραμματισμός Άλλες μορφές ΓΠ Αναθεωρημένη SIMPLEX Interior Point Approach Sensitivity Analysis (Παράδειγμα)

Η Μέθοδος Simplex Η μέθοδος υποθέτει ότι το πρόβλημα είναι διατυπωμένο στην τυπική του μορφή (standard form). Subject to the constraints and

Άλλες Πιθανές Διατυπώσεις Περιορισμοί: Προβληματικές περιπτώσεις Αντικειμενική:

Περιορισμοί Ισότητας x1 x2

Λύση προβλημάτων με περιορισμούς ισότητας χρησιμοποιώντας SIMPLEX

Μέθοδος Big M x1 x2 Feasible Region

Πίνακας Simplex Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 y5 1 -3 3 -5 2 M 4 12 18

Simplex Tableau Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 y5 1 -3 3 -5 2 M 4 12 18 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 -3M-3 3 -2M-5 2 -18M 4 12 18 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 3 2 4 12 18

Simplex Tableau -Continued Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 -3M-3 3 -2M-5 2 -18M 4 12 18 4/1=4 - 18/3=6 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 -3M-3 3 -2M-5 2 -18M 4 12 18 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 -2M-5 2 3M+3 -3 -6M+12 4 6 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 -2M-5 2 3M+3 -6M+12 4 12 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 4 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 -2M-5 3M+3 -6M+12 4

Simplex Tableau -Continued Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 -2M-5 2 3M+3 -3 -6M+12 4 12 6 - 12/2=6 6/2=3 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 -2M-5 2 3M+3 -3 -6M+12 4 12 6 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 -9/2 3 -3/2 M+5/2 -1 1/2 27 4 6 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 -9/2 -3/2 M+5/2 1/2 27 4 3 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 -3/2 1/2 3 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 -9/2 -3/2 M+5/2 1/2 27 3

Simplex Tableau -Continued Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 -9/2 3 -3/2 M+5/2 -1 1/2 27 4 6 4/1=4 6/3=2 - Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 -9/2 3 -3/2 M+5/2 -1 1/2 27 4 6 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 3/2 -1/3 1/3 1/2 M+1 36 2 6 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 3/2 -1/3 1/3 M+1 36 2 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 1/3 -1/3 2 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 y5 1 3/2 1/3 M+1 -1/3 36 2

Περιορισμοί του τύπου «μεγαλύτερο ή ίσο» x1 x2

Περιορισμοί του τύπου «μεγαλύτερο ή ίσο» Μετατροπή του  σε = Χρήση χαλαρών και τεχνιτών μεταβλητών (surplus and artificial variables). Αλλαγή αντικειμενικής

Περίληψη Constraint Simplex Constraint Objective no change

Μέθοδος 2 «Φάσεων» - Two Phase Method Οι τεχνητές μεταβλητές χρησιμοποιούνται για να μπορέσουμε να βρούμε αρχική λύση (το [0,…,0]). Στο τέλος θέλουμε οι τεχνητές μεταβλητές να πάρουν την τιμή μηδέν Έχουν μεγάλο κόστος στην αντικειμενική (Μ) Εναλλακτική Μέθοδος: Φάση 1: Αλλαγή αντικειμενικής συνάρτησης. Η αντικειμενική συνάρτηση είναι η ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τεχνητών μεταβλητών. Εάν υπάρχει εφικτή λύση, η λύση της φάσης 1 θα έχει όλες τις τεχνητές μεταβλητές ίσες με 0. Φάση 2: Επιθυμητή αντικειμενική συνάρτηση. Η λύση της Φάσης 1 γίνεται η αρχική λύση της Φάσης 2.

Minimization Problems

Mary’s Radiotherapy Area Fraction of entry dose absorbed by area (average) Restrictions on total dosage Beam 1 Beam 2 Healthy anatomy Critical tissues Tumor region Center of tumor 0.4 0.3 0.5 0.6 0.1 Minimize 2.7 =6.0 6.0

Mary’s Radiotherapy - continued

Two-Phase Method Phase 1: Phase 2:

Αρνητική παράμετρος στη «δεξιά μεριά»

Μεταβλητές που μπορούν να πάρουν αρνητικές τιμές Εάν το x μπορεί να πάρει κάποιες αρνητικές τιμές Εάν το x μπορεί να πάρει οποιαδήποτε αρνητική τιμή τότε χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση:

Παράδειγμα Substitutions:

Αναθεωρημένη Μέθοδος SIMPLEX Το πρόβλημα με n μεταβλητές και m περιορισμούς μπορεί να γραφτεί με τη μορφή γραμμικών εξισώσεων Εισάγοντας τις χαλαρές μεταβλητές, οι περιορισμοί γίνονται

Αναθεωρημένη Μέθοδος SIMPLEX Υποθέστε πως χωρίζουμε τις βασικές μεταβλητές από τις μη βασικές. Ο Πίνακας Β έχει μόνο τις m σειρές και m στήλες που αντιστοιχούν στις βασικές μεταβλητές. Εάν σε κάποια επανάληψη της SIMPLEX έχουμε τον πίνακα Β-1 τότε μπορούμε να βρούμε τη βασική λύση καθώς και την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης.

Αναθεωρημένη Μέθοδος SIMPLEX Στη συνέχεια, αφού βρούμε την εισερχόμενη και εξερχόμενη μεταβλητή, χρησιμοποιούμε το GE το οποίο ισοδυναμεί με ένα «πολλαπλασιασμό» πινάκων

Αναθεωρημένη Μέθοδος SIMPLEX Στην αριστερή μεριά θα πρέπει να έχουμε [Z xB]T το οποίο θα πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση Επομένως θα πρέπει να ισχύει Σε κάθε επανάληψη, έχουμε το εξής

Αναθεωρημένη Μέθοδος SIMPLEX Τελικά καταλήγουμε στην εξίσωση Παρατηρήσεις Για τον πιο πάνω υπολογισμό χρειαζόμαστε μόνο τον πίνακα Β-1 ο οποίος έχει διαστάσεις mxm. Θυμηθείτε πως Β είναι πίνακας ο οποίος έχει μόνο τους συντελεστές των βασικών μεταβλητών. Πηγαίνοντας από μία επανάληψη στην επόμενη, αλλάζουμε μόνο μια στήλη στον Β επομένως θα έχουμε «εύκολο» τρόπο να υπολογίσουμε τον Β-1.

Αντίστροφος Πίνακας Εάν αλλάξουμε μία σειρά του Β. Τότε πως θα αλλάξει ο Β-1; Οι αλλαγές στον αντίστροφο μπορούν να υπολογιστούν σχετικά εύκολα. Υποθέστε πως xk είναι η νέα βασική μεταβλητή, r είναι ο αριθμός της εξίσωσης που άλλαξε, και a’ij είναι ο συντελεστής της xk στην εξίσωση i. Tότε

Παράδειγμα

Παράδειγμα

Παράδειγμα

Παράδειγμα

Παράδειγμα

Interior Point Method Διαφορετική μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού. Για πολύ μεγάλα προβλήματα μπορεί να είναι πιο αποδοτική από την SIMPLEX. Βασικές Ιδέες: Κινείται στο εσωτερικό της εφικτή περιοχής Σε αντίθεση με την SIMPLEX που κινείται κατά μήκος των συνόρων της εφικτής περιοχής. Κινείται στην κατεύθυνση που βελτιώνει την αντικειμενική πιο γρήγορα. Μετασχηματίζει τους περιορισμούς έτσι που η τρέχουσα λύση να είναι περίπου στο μέσο της εφικτή περιοχής

Interior Point Method Κινείται στο εσωτερικό της εφικτή περιοχής Δεν ελέγχει σημεία στα σύνορα της εφικτής περιοχής. Κινείται στην κατεύθυνση που βελτιώνει την αντικειμενική πιο γρήγορα. Μετασχηματίζει τους περιορισμούς έτσι που η τρέχουσα λύση να είναι περίπου στο μέσο της εφικτή περιοχής Τέτοια σημεία συνήθως επιτρέπουν μεγαλύτερα βήματα προς τη βέλτιστη λύση.

Παράδειγμα Υποθέστε το πρόβλημα x1 x2

Παράδειγμα Μετατρέπουμε τους περιορισμούς σε ισότητες x2 Υποθέστε πως ξεκινούμε από το σημείο [2,2,4] Κινείται στην κατεύθυνση που αυξάνεται η αντικειμενική πιο γρήγορα

Παράδειγμα Το επόμενο σημείο θα πρέπει να είναι Επόμενο εφικτό σημείο

Παράδειγμα Επόμενο εφικτό σημείο Είναι επιθυμητό κάθε σημείο που επισκέπτεται ο αλγόριθμος να είναι στο «κέντρο» της εφικτής περιοχής. Στο παράδειγμα υπάρχουν 3 σύνορα της εφικτής περιοχής Απόσταση αρχικού σημείου από το κάθε σύνορο x1=2, x2=2, x3=4. Χρησιμοποιούμε τον μετασχηματισμό

Παράδειγμα Στο «μετασχηματισμένο» πρόβλημα, οι περιορισμοί γίνονται Το σημείο [2,2,4] γίνεται [1,1,1] και απέχει το ίδιο από όλα τα σύνορα της εφικτής περιοχής.

Αλγόριθμος Αρχικό σημείο [2, 2, 4]. Αλλαγή μεταβλητών Μετασχηματισμός εφικτής περιοχής Μετασχηματισμός αντικειμενικής συνάρτησης Προβολή διανύσματος κλίσης στην εφικτή περιοχή

Αλγόριθμος Ορίζουμε σαν γ την απόλυτη τιμή του πιο αρνητικού στοιχείου του διανύσματος sp. Βρίσκουμε το νέο επαναληπτικό Η παράμετρος α δηλώνει πόσο κοντά στο σύνορο της εφικτής περιοχής θα φτάσουμε. Συνήθως 0.25<α<0.9. Μετασχηματίζουμε το πρόβλημα στις αρχικές μεταβλητές. Ελέγχουμε κάποιο κριτήριο σύγκλισης Εάν δεν ικανοποιείται επαναλαμβάνουμε

Sensitivity Analysis Μετά τη λύση ενός προβλήματος βελτιστοποίησης βρίσκουμε Λύση Βέλτιστη τιμή Πόσο «ευαίσθητη» είναι η λύση σε πιθανές αλλαγές στις παραμέτρους aij, bi, cj, i=1,…,m, j=1,…,n. Ερώτηση: Πολλές φορές οι τιμές των παραμέτρων δεν είναι παρά καλές εκτιμήσεις των παραμέτρων, όμως στη πραγματικότητα η τιμή τους μπορεί να είναι διαφορετική!

New England (NE) Motors Vehicle Models Small sedan Family car Factory Capacity Assembly labor: Doors 7 2 4 49,000 20,000 Maximum sales 5,000 8,000 Profit: $3,000 $5,000

New England (NE) Motors x1 x2

NE Motors – Changes in Objective Parameters s.t. Feasible Region x1 x2

NE Motors – Cost Range For what range of objective function coefficient values does the current solution remain optimal? s.t. x2 Z slope= Feasible Region x1

NE Motors – Cost Range If c2=5 fixed. Then optimal solution does not change as long as : Allowable increase in c1=2. Allowable decrease in c1=0.5. If c1=3 fixed. Then optimal solution does not change as long as : Allowable increase in c2=1. Allowable decrease in c2=2. Note: We consider a single change at a time

NE Motors - Shadow Price s.t. The sales team has just sent you a proposal with a new and exciting advertising campaign that will cost just $250,000, and will increase the demand for each type of car by 2000 cars. Should this campaign be undertaken? Feasible Region x1 x2 Z

NE Motors - Shadow Price s.t. The employee union agreed to allow its members to work overtime. They ask for $80 per hour. Are you willing to accept their offer? How much are you willing to pay per overtime hour? How many overtime hours? x1 x2 Feasible Region

NE Motors - Shadow Price Original Solution: x1=4000, x2=3000 Profit: $ 27,000,000 Increase in income: Increase in cost: Net increase in profit: Maximum acceptable hourly rate:

NE Motors - Shadow Price s.t. x1 x2 3. Maximum overtime hours: Feasible Region New England Motors matlab

Ορισμοί Δεσμευτικοί Περιορισμοί (Binding constraints): Οι περιορισμοί οι οποίοι «περιορίζουν» (δεσμεύουν) την αντικειμενική συνάρτηση. Είναι αυτοί που ικανοποιούνται σαν ισότητες (slack variables ίσοι με 0). Shadow Price: Η αλλαγή στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης όταν η «δεξιά μεριά» των περιορισμών αυξηθεί κατά μία μονάδα. Reduced Cost (Opportunity cost): Πόσο θα χειροτερεύσει η αντικειμενική εάν μια μεταβλητή πάρει μια μονάδα. Παίρνει μη μηδενικές τιμές μόνο όταν οι μεταβλητές στη βέλτιστη λύση πάρουν τιμή 0.