Ponašanje elektrona u kristalu -Elektron može imati samo diskretna stanja -Koncept energiskih traka. -Elektron se različito ponaša u vakuumu, u atomu ili kristalu. -Najpre klasičan slučaj elektrona u vakuumu, a zatim u potencijalnoj jami. -Model slobodnog elektrona može da se primeni kod elektrona koji ne interaguje sa svojom sredinom. -Elektron nije podvrgnut privlačenju od strane atoma u kristalu. Putuje u potencijalu koji je konstantan. Ovakav elektron nazivamo slobodnim elektronom

-Za jednodimenzioni kristal koji je najjednostavnija struktura , može se napisati vremenski nezavisna Schrödinger-ova jednačina za konstantni potencijal V. -Pošto je referenca za potencijal proizvoljna možemo staviti V=0. Gde je E energija elektrona a m je njegova masa. Rešenje jednačine se dobija u obliku: Gde je Rešenje predstavlja dva talasa koja se kreću u suprotnim smerovima.

Značenje k -K ima jedinicu m-1 ; prema tome pripada recipročnom prostoru. -U jednodimenzionom prostoru k je skalar. -Operator momenta px je dat izrazom: Smatrajući da se elektron kreće u x+ smeru i primenjujući operator impulsa na funkciju Dobijamo:

Svojstvene vrednosti operatora px date su sa: Možemo zaključiti da je k impuls do na konstantu ℏ. U klasičnoj mehanici brzina elektrona je v=p/m što daje v=ℏk/m. Tako povezujemo izraz za energiju sa klasičnim izrazom Dakle kao i u klasičnoj mehanici elektron može da uzme bilo koju energiju iz kontinuuma.

-Možemo interpretirati k na još jedan način . -Ako posmatramo 3D kristal k je vektor recipročnog prostora. -Izraz exp(ikr) gde je r=r(x,y,z) položaj elektrona predstavlja ravan prostorni talas koji se kreće u pravcu k . -Prostorna frekvenca talasa je jednaka k njegova prostorna talasna dužina je jednaka: -Čestica u potencijalnoj jami -Slučaj kada je elektron vezan za mali deo prostora. -Ovo ćemo ostvariti postavljanjem elektrona u duboku potencijalnu jamu, recimo u jamu sa beskonačno visokim zidovima. -Uz ograničenja ovaj problem liči na elektron u atomu gde privlačenje pozitivnog jezgra formira potencijalnu jamu u kojoj je elektron zarobljen.

-Po definiciji je elektron ograničen na unutrašnjost potencijalne jame i prema tome talasna funkcija iščezava na ivicama. - Prema tome granični uslovi za funkciju su: Unutar potencijalne jame gde je V=0, Schrödingerova (vremenski nezavisna) jednačina se može napisati kao: Rešenje ove homogene jednačine je:

-Rezultat je sličan kao za slobodan elektron -Rezultat je sličan kao za slobodan elektron. Energija je funkcija kvadrata momenta impulsa. -Razlika je u tome što u slučaju slobodnog elektrona impuls i energija mogu uzeti bilo koju kontinualnu vrednost dok u slučaju beskonačne potencijalne jame uzimaju samo diskretne vrednosti. -U slučaju kada širina a teži beskonačnosti vrednosti k postaju vrlo bliske i prelaze u kontinuum kao u slučaju slobodnog elektrona. B=0 I prema tome n=1, 2, 3,... Talasna funkcija je onda data sa:

Ako razmotrimo jednodimenzioni kristal dužine L i kao u prethodnom slučaju stavimo: Gornji izrazi za energiju i momenta sugerišu da će dozvoljene vrednosti zavisiti od dužine kristala što je pogrešno zato što iz iskustva znamo da elektronske osobine ne zavise od makroskopskih dimenzija. Bolje rezultate daju Born-von Karmanovi granični uslovi poznati kao ciklični granični uslovi.

Da bismo ih dobili savijamo kristal tako da se početak x=0 i x=L poklapaju. Tada za svako x imamo cikličan uslov : Koristeći talasnu funkciju slobodnog elektrona i uzimajući u obzir periodičnu prirodu problema možemo da napišemo: što nameće gde je n ceo broj. u 3D slučaju imamo:

Energijske trake (zone) u kristalu (intuitivan pristup) U jednom atomu elektroni zauzimaju diskretne energijske nivoe. Šta se dešava kada imamo uređen sistem atoma –kristal? Uzmimo Litijum Z=3. Kod njega dva elektrona sa suprotnim spinovima zauzimaju 1s nivo, a treći zauzima 2s nivo. Elektronska kofiguracija je 1s22s1 . Svi atomi litijuma imaju istu elektronsku kofiguraciju i iste energijske nivoe. Zamislimo sada hipotetički molekul od dvaatoma litijuma. Imamo četiri elektrona koji žele da zauzmu 1s nivo. Prema Paulijevom principu isključivosti samo dva elektrona sa suprotnim spinovima mogu da zauzmu jedan energijski nivo, dakle samo dva od četiri 1s elektrona mogu da zauzmu 1s nivo. Ovo je problem za molekul i zato se 1s nivo razdvaja na dva koja imaju blisku ali u svakom slučaju različitu energiju.

Ako kristal litijuma ima N atoma sistem će sadržati N 1s nivoa i isto razmatranje se može primeniti na 2s nivoe. Broj atoma u kubnom centimetru je oko 5x1022 , i kao rezultat imamo da se svaki energijski nivo cepa na 5x1022 različitih nivoa. Kako je razlika izmedju najnižeg i najvišeg nivoa (rezultat cepanja) svega nekoliko eV, energijska ralzlika izmedju dva susedna razdvojena nivoa je oko 10-22eV. Ovo je praktično kontinuum dozvoljenih energijskih vrednosti za elektron.

Ovo je koncept energijskih zona u kristalu Ovo je koncept energijskih zona u kristalu. Između dozvoljenih energijskih zona se nalaze zabranjene. Energijski nivoi i energijske zome se prostiju čitavim kristalom. Zbog potencijalnih jama generisanih atomskim jezgrima neki elektroni (1s) su ograničeni na okolinu jezgra . 2s elektroni sa druge strane mogu da prevaziđu privlačenje jezgra i kreću se kroz kristal. Model Krönig-Penney-a poluprovodnici su kao i metali i neki izolatori uglavnom kristali. To znači da su atomi na uređen i periodičan način postavljeni u kristalu. U kristalu svaki atom formira lokalnu potencijalnu jamu koja privlači elektrone. Iz elektrostatike znamo potencijalnu energiju koja je rezultat privlačenja elektrona –q i +qZ gde je Z atomski broj:

Ovaj izraz zanemaruje uticaj ostalih elektrona koji ekraniraju elektrone sa viših nivoa. Kako će se elektron ponašati u kristalu? Radi jednostavnosti pretpostavićemo da je kristal skoro bezkonačan, jednodimenzioni lanac atoma. Ovo deluje dosta grubo ali očuvava ključnu osobinu kristala: periodičnu prirodu položaja atoma u kristalu. Matematički, periodična priroda potencijalnih jama generisanih atomima se može prikazati:

gde je a+b rastojanje izmedju dva atoma u x-pravcu. Periodična priroda potencijala ima dubok uticaj na talasnu funkciju elektrona. Ona mora da zadovolji vremenski nezavisnu Schrödingerovu jednačinu kad god x zamenimo sa x+a+b u operatorima koji deluju na Ψ(x). Ovaj uslov se dobija ako talasna funkcija zadovoljava Blochovu teoremu koja se može formulisati: Ako je V(x) periodično tako da je V(x+a+b)=V(x), onda je

Druga formulacija je: Ako je V(x) periodično tako da je V(x+a+b)=V(x), onda dve formulacije su ekvivalentne pošto: Pošto je potencijal u kristalu veoma složena funkcija koristićemo aproksimaciju Krönig i Penney-a gde se V(x) zamenjuje periodičnom sekvencom četvrtastih potencijalnih jama. Ova aproksimacija je prilično gruba ali očuvava periodičnu prirodu promene potencijala omogućavajući zatvorenu formu rešenja Ψ(x).

Medjuatomsko rastojanje je a+b, potencijal u blizini atoma V1 , potencijal izmedju atoma je V0 . Oba potencijala su negativna u odnosu na neki referentni V=0 izvan kristala. Analiziraćemo energiju elektrona E koja se nalazi izmedju V1 i V0 . U oblasti I V(x)=V1 , SJ glasi: U oblasti II :

rešenja su u oblasti I u oblasti II α i β su realni brojevi. Periodična struktura kristala ukazuje na to da talasna funkcija zadovoljava Blochovu teoremu i može biti zapisana u sledećoj formi

gde je uk(x) periodična funkcija sa periodom a+b što nameće: Tada možemo da napišemo: Da bi izračunali integracione konstante koristimo granične uslove i to da su talasna funkcija i njen prvi izvod neprekidni u tačkama x=0 i x=a. U x=0 imamo A+B=C+D za izvod dobijamo

U x=a Korišćenjem Blochove teoreme: za izvod dobijamo uz korišćenje Blochove teoreme:

P(E)=cos(k(a+b)) Simultano rešenje leve i desne strane jednačine nalaže da je -1<=P(E)<=1. Ovo definiše dozvoljene energije zabranjene energije.

Koristeći ovaj izraz može se nacrtati E(k) grafik. Krive E(k) na slici pokazuju sa se mogu ograničiti na period od –π/(a+b) do π/(a+b) bez gubitka informacija. Ova posebna oblast se naziva prva Brillouenova zona. Druga Brillouenova zona se prostire od –2π/(a+b) do -π/(a+b) i od π/(a+b) do 2π/(a+b) , itd. -Korišćenje Born-von Karmanovih graničnih uslova u jednodimenzionom kristalu daje vrednosti za k:

-Koristeći izraz (sa P(E)) može se nacrtati i E(k) dijagram. -Energija elektrona u kristalu grubo ima istu zavisnost kao i slobodni elektron. --- -Glavna razlika je postojanje zabranjenih zona, i zakrivljenost svakog od segmenata E(k) krivih. Zbog periodičnosti kristalne rešetke (period je a+b), periodičnost recipročne rešetke je 2π/(a+b). -Kriva E(k) se se može proširiti od k=- do k= sa periodom 2π/(a+b), što daje vrednosti dozvoljenih energija za ceo jednodimenzioni kristal.

gde je N broj ćelija kristalne rešetke. Dužina kristala je N(a+b) gde je N broj ćelija kristalne rešetke. Dužina kristala je N(a+b). Pošto smo se ograničili na prvu B. zonu vrednosti k koje treba razmotriti su date sledećim izrazom: -vrednost π/(a+b) je isključena jer je duplikat k=-π/(a+b) talasnog broja. Ogovarajuće vrednosti za n idu od –N/2 do (N/2-1). Prema tome vrednosti k koje treba razmatrati su n=0, ±1, ±2, ±3, ..., ±(N/2-1), -N/2. -Ima N talasnih brojeva u prvoj Brillouinovoj zoni, što odgovara broju elementarnih ćelija u kristalu. -Za svaki talasni broj postoji dozvoljena energija u svakoj energijskoj zoni. -Prema Paulijevom principu isključivosti svaka zona može da sadrži maksimum 2N elektrona.

Jednodimenziona zapremina prve Brillouinove zone je 2π/(a+b) . Pošto sadrži N k vrednosti gustina k vrednosti u prvoj B zoni je: n(k)=N(a+b)/2π=L/2π. -U slučaju 3D kristala izračunavanje energijskih zona je daleko komplikovanije, ali bitni rezultati jednodimenzionog modela i dalje stoje. -Pre svega postoje postoje dozvoljene energijske zone razdvojene zabranjenim energijskim procepima. -3D zapremina PBZ je 8π3N/V, gde je V zapremina kristala, broj talasnih vektora jednak je broju elementarnih ćelija, N. Gustina talasnih vektora je data sa: n(k)=gustina k=(broj k-vektora ) / (zapremina zone)= NV/(8π3N/V)=V/(8π3)

Valentna zona i provodna zona -Hemijske reakcije potiče od razmene elektrona koji potiču od spoljašnjih elektronskih ljuski atoma. -Elektroni unutrašnjih ljuski ne učestvuju u hemijskim reakcijama zbog jakog elektrostatičkog privlačenja jezgra. -Isto tako veze između atoma u u kristalu kao i elektronski transportni fenomeni potiču od elektrona iz spoljašnjih ljuski. -Jezikom energijskih zona , elektroni odgovorni za formiranje veza između atoma se nalaze u poslednjoj populisanoj zoni gde elektroni imaju najviše energijske nivoe za osnovno stanje atoma. -U svakom slučaju postoji beskonačan broj energijskuh elektrona. - Prve najniže zone sadrže jezgarne elektone kao što su 1s elektroni koji su čvrsto vezani za jezgro. -Najviše zone ne sadrže elektrone. -Poslednja zona u osnovnom stanju koja sadrži elektrone naziva se valentna zona, zato što sadrži elektrone, zato što sadrži elektrone koji formiraju –načešće kovalentnu- vezu između atoma.

-Dozvoljena energijska zona odmah iznad valentne naziva se provodna zona. -U poluprovodniku je ova zona potpuno prazna na niskim temperaturama (T=0). -Na višim temperaturama neki elektroni imaju dovoljno termalne energije na napuste funkciju formiranja veze između atoma i cirkulišu u kristalu. -Ovi elektroni Ovi elektroni „preskaču“ iz valentne zone u provodnu gde mogu slobodnu da se kreću. -Energijska razlika izmedju vrha valentne zone i dna provodne zone se naziva zabranjeni procep i označava se Eg. U opštijem smislu mogu se javiti sledeće situacije u zavisnosti od položaja atoma-elementa u periodnom sistemu: A. Poslednja (valentna zona ) je samo delimično popunjena elektronima čak i na T=0. B. Poslednja (valentna zona ) je potpuno popunjena elektronima na T=0, ali se sledeća (prazna) energijska zona preklapa sa njom (tj. prazna zona deli neki zajednički opseg energija, Eg<0). C. Poslednja (valentna zona ) je samo kompletno popunjena elektronima i prazne zone se ne preklapaju sa njom Eg<0.

U slučajevima A i B elektroni sa najvišim energijama mogu lako dobiti infinetezimalnu količinu energije i preskočiti u nešto energijski višu dozvoljenu zonu i kretati se kroz Kristal. Drugim rečima elektroni mogu napustiti atome i kretati se kroz kristal bez dodatnog priliva energije. Materijali sa ovakvim osobinama su metali. U slučaju C potrebno je uložiti značajnu količinu energije Eg ili više u electron da bi on “preskočio” u dozvoljeni energijski nivo provodne zone. To znači da electron mora da primi značajnu količinu energije da bi napustio atom i kretao se “slobodno” kroz atom. Materijali sa ovakvim osobinama su ili izolatori ili poluprovodnici. Razlika između izolatora i poluprovodnika je čisto qvantitativna i zasnovana je na veličini energijskog procepa. U poluprovodnicima je Eg msnje od 2eV i termalna energija na sobnoj temperature ili eksitacija vidljivim fotonima je dovoljna za prelaz iz valentine u provodnu zonu. Energijski procep za najčešće korišćene poluprovodnike su: 1.12eV (Si), 0.67eV (Ge) i 1.42 (galijumarsenide). Izolatori imaju značajno šire energijske procepe : 9.0eV (SiO2), 5.47 (dijamant) i 5eV (Si3N4). U ovim materijalima na sobnoj temperature termalna energija nije dovoljna da elektroni pređu u provodnu zonu.

Pored elementalnih poluprovodnika kao što su silicijum i germanijum , mogu se sintetisati složeni poluprovodnici kombinovanjem elemenata IV grupe periodnog sistema (SiC i SiGe) ili kombinovanjem elemenata III i V grupe periodnog sistema (GaAs, GaN, InP, AlGaAs, AlSb, GaP,AlP i AlAs). Mogu se koristiti i elementi iz drugih kolona (HgCdTe, CdS,...). Dijamant ispoljava poluprovodničke osobine na visokim temperaturama, a kalaj postaje poluprovodnik na niskim temperaturama. Oko 98% svih poluprovodničkih komponenata proizvedeni su od monokristalnog silicijuma, integralna kola, mikroprocesori, memorije itd. Ostalih 2% koriste III-V jedinjenja, kao što su svetleće diode, laserske diode i neke komponente u mikrotalasnom frekventnom domenu. Moguće je da i nekristalne substancije ispoljavaju poluprovodničke osobine. neki materijali kao što je amorfni silicijum, kod koga rastojanje među atomima varira na slučajan način, može da se ponaša kao poluprovodnik. Ipak mehanizni transporta naelektrisanja u ovim materijalima su potpuno drugačiji nego u kristalnim poluprovodnicima. Prigodno je predstaviti energijske zone u realnom prostoru umesto u k-prostoru. U tom slučaju se dobija sledeći dijagram gde x-oda definiše fizičko rastojanje u kristalu.

Maksimalna energija u valentnoj zoni je označena sa EV, minimalna energija u provodnoj zoni je označena sa EC i širina energiskog procepa sa Eg. Takođe je zgodno uvesti i pojam Fermijevog nivoa. Fermijev nivo, EF, predsavlja maksimalnu energiju elektrona u materijalu na temperaturi 0 K. Na toj temperaturi, svi dozvoljeni energijski nivoi ispod Fermijevog su zauzeti i svi nivoi iznad Fermijevog su prazni. Alternativno, Fermijev nivo se definiše kao energijski nivo koji ima 50% verovatnoće da bude popunjen elektronima čak iako može biti unutar procepa. U izolatorima i poluprovodnicima znamo da je valentna zona popunjena i da je provodna zona prazna na 0K. Prema tome Fermijev nivo leži negde u procepu između Ev i Ec. U metalu Fermijev nivo se nalazi unutar zone.

Nemoguće je predstaviti enegijske zone kao funkciju od k=k(kx,ky,kz) za trodimenzioni kristal u dve dimenzije na papiru. Možemo ipak predstaviti E(k) duž glavnih kristalnih pravaca u k-prostoru i staviti ih na jedan grafik. Na primer na gornjoj slici vidimo maximum valentne i minimum provodne zone u pravcima[100] [111] za dva kristala. Kristal A je izolator ili poluprovodnik Eg>0 dok je B metal Eg<0.

Dijagrami energijskih zona duž glavnih kristalnih pravaca dozvoljavaju analizu nekih osobina. Naprimer: na B se minimum energije u provodnoj i maksimum energije u valentnoj zoni javljaju za isto k=0. Poluprovodnik koji ispoljava ovu osobinu naziva se direktno bandgap poluprovodnik. Primeri ovakvih poluprovodnika su složeni poluprovodnici bazirani na GaAs. U ovakvim poluprovodnicima elektroni mogu „pasti“ iz provodne zone u valentnu bez narušavanja zakona očuvanja momenta tj. bez promene momenta. Ovaj proces ima veliku verovatnoću i gubitak energije u tom „skoku“ se može emitovati u obliku fotona hν=Eg. Na slici A minimum energije u provodnoj i maksimum u valentnoj se javljaju na različitim k-vrednostima. Ovakvi poluprovodnici su indirektni bandgap poluprovodnici. Ovakvi su Si i Ge. U ovakvom poluprovodniku elektron ne može pasti iz provodne u valentnu bez promene momenta. Ovo neverovatno smanjuje verovatnoću da elektron direktno „padne“ izprovodne zone u valentnu.

Aproksimacija parabolične zone Za električne fenomene samo elektroni locirani blizu maksimuma valentne zone i minimuma provodne zone su od interesa. Ovo su energijski nivoi na kojima se mogu naći slobodni pokretni lektroni nedostajući valentni elektroni. U tom slučaju kao što se vidi sa gornje slike zavisnost energije od momenta se može aproksimirati kvadratnom paraboličnom funkcijom. Blizu minimuma provodne zone možemo napisati: U blizini maksimuma valentne zone možemo napisati: Gde su A i B konstante. Aproksimacija se zove „parabolična aproksimacija zone“ i liči na relaciju E(k) za model slobodnog elektrona.

Pojam šupljine Da bi pojednostavili razumevanje električnog provođenja u kristalu možemo napraviti poređenje između toka naelektrisanih čestica u energijskim zonama i kretanja vodenih kapi u cevi. Na slici vidimo cevi zatvorene na oba kraja. Donja cev je potpuno napunjena vodom, dok je gornja potpuno prazna (napunjena vazduhom). U analogiji između naelektrisanja i vode, svaka kap odgovara jednom elektronu, a gornja i donja cev odgovaraju provodnoj i valentnoj zoni respektivno. Naginjanje cevi odgovara primeni električnog polja na poluprovodnik. Kad se puna i prazna cev nagnu ne može se uočiti nikakvo kretanje tj. nema električne struje u poluprovodniku. Znači, poluprovodnik se ponaša kao izolator.

Uzmimo jednu kap iz pune cevi i premestimo je u praznu što predstavlja pomeranje elektrona iz valentne u provodnu zonu. Ako su cevi nagnute, videće se kretanje tečnosti što odgovara protoku električne struje u poluprovodniku. Protok vode u gornjoj cevi (provodna zona) je zbog pokretanja kapi vode (elektrona). Štaviše, postoji i protok vode u donjoj cevi (valentna zona) pošto voda može zauzeti mesto koje ostaje iza mehurića koji se kreće. Lakše je naravno vizuelizovati sam mehurić umesto kretanja „valentne„ vode iza njega. Ako je u ovoj vodenoj analogiji elektron predstavljen kapljicom vode, mehurić ili nedostatak vode u „valentnoj „ cevi predstavlja nešto što se zove šupljina. Šupljina je ekvivalentna nedostajućem elektronu u kristalnoj valentnoj zoni. Šupljina nije čestica i ne postoji samostalno. Ona vuče svoje postojanje iz odsustva elektrona u kristalu, kao što mehurić postoji samo zbog nedostatka vode. Šupljine mogu da se kreću kroz kristal preko sukcesivnog popunjavanja praznog prostora koji ostavlja nedostajući elektron. Šupljina nosi pozitivno naelektrisanje +q, kao što elektron nosi negativno –q (q= 1.6x 10-19C).

Efektivna masa elektrona u kristalu Masa elektrona m može se definisati preko relacije F=ma, gde je a ubrzanje elektrona pod uticajem sile F. Činjenica da je elektron u kristalu uticaće na njegov odgovor na primenjenu silu. Prema tome, očigledno, „efektivna“ masa elektrona u kristalu će se razlikovati od one u vakuumu. U slučaju slobodnog elektrona masu ćemo dobiti iz izraza za energiju: gde je m=mo=9.11x10-28 g masa elektrona u vakuumu. Masa je konstantna jer je E kvadratna funkcija k. Koristeći gornji izraz kao definiciju mase elektrona izraze za P(E) u slučaju jednodimenzionog kristala možemo izračunati efektivnu masu elektrona unutar zona. gde je m* efektivna masa elektrona u kristalu. Za razliku od slučaja slobodnog elektrona efektivna masa elektrona u kristalu nije konstantna, već se menja kao funkcija k:

Štaviše masa u kristalu će se razlikovati od zone do zone Štaviše masa u kristalu će se razlikovati od zone do zone. Mogu se napraviti sledeća opšta zapažanja: -ako se elektron nalazi u gornjoj polovini energijske zone njegova efektivna masa je negativna. -ako se elektron nalazi u donjoj polovini energijske zone njegova efektivna masa je pozitivna. -ukoliko je elektron blizu sredine energijske zone, efektivna masa teži beskonačnosti. Negativna masa elektrona locirana u gornjem delu energiske zone deluje kao iznenađenje, ali se lako može opjasniti pojmom šupljine. Razmotrimo ubrzanje, a, dato elektronu naelektrisanja –q i negativne mase –m* u električnom polju E. Lako je shvatiti da ovo ubrzanje odgovara šupljini sa pozitivnom masom +m* i pozitivnim naelektrisanjem +q :

U slučaju trodimenzionalnog kristala izraz za efektivnu masu je komplikovaniji zato što ubrzanje elektrona može imati različit pravac od delovanja sile. U tom slučaju se efiktivna masa može prikazati 3x3 tenzorom:

Obično se u fizici poluprovodničkih komponenti operiše samo elektronima koji se nalaze blizu minimuma provodne zone i šupljinama smeštenim blizu maksimuma valentne zone. U slučaju silicijuma masa elektrona blizu minimuma provodne zone duž [100] kx pravca jednaka je ml*=0.97 m0, au ortogonalnom pravcu mt*=0.19 m0. ml* se naziva longitudinalna masa a mt* transferzalna masa dok je m0 masa slobodnog elektrona u vakuumu. Ove mase su povwzane sa energijom kroz „aproksimaciju parabolične energijske zone“: gde je Ec(km) najniže energijsko stanje u provodnoj zoni duž [100] ili [-100] kx pravaca. U najpraktičnijim slučajevima, radi jednostavnosti, smatra se da je efektivna masa konstantna. U tom slučaju m* se aproksimira skalarnom vrednošću.

U jednodimenzionom kristalu vidi se kvadratna zavisnost energije od k na A. Postoje dva vektora km+dk i km-dk koji odgovaraju istoj vrednosti energije Ec(km+dk). U dvodimenzionom kristalu mesto (kx,ky) vrednosti koje odgovaraju energiji Ec(km+dk) je elipsa u (kx,ky) ravni B.

Trodimenzionalni slučaj ne možemo nacrtati ali se iz 1D i 2D slučajeva može zaključiti da k vrednosti koje odgovaraju Ec(km+dk) formiraju elipsoide u (kx,ky,kz) prostoru C. U 3D kristalima kao što je Si postoji 6 ekvivalentnih kristalnih pravaca [100], [-100], [010], [0-10], [001] i [00-1], koji predstavljaju energijski minimum (minimum provodne zone). Mesto k-vrednosti koji odgovaraju posebnoj energiji su 6 elipsoida C. Centri ovih elipsoida su 6 k vrednosti koje odgovaraju energijskom ninimumu provodne zone. Radi pojednostavljenja elipsoidi se mogu aproksimirati sferama (D) što je ekvivalentno izjednačavanju transferzalne i longitudinalne mase.( mt*=ml* ) Energija u blizini maksimuma valentne zone je data sa: Gustina stanja u energijskim zonama Gustina dozvoljenih stanja u 3d kristalu data je sa po jedinici zapremine kristala

. Ako definišemo f(k) kao verovatnoću da ova stanja budu zauzeta, onda se elektronska gustina, n, u energijskoj zoni En(k) može izračunati integracijom proizvoda gustine stanja sa verovatnoćom zauzeća po PB zoni: Na sličan način gustina šupljina unutar energijske zone se može izračunati kao: Funkcija n(k) predstavlja gustinu dozvoljenih stanja u energijskoj zoni. f(k) je statistička funkcija raspodele koja je funkcija energije, En(k). U uslovima termodinamičke ravnoteže (k) je Fermi-Dirakova funkcija raspodele data sa:

gde je EF energija nazvana „Fermijev nivo“, k je Bolcmanova konstanta, a T je absolutna temperatura. Fermi-Diracova raspodela za T>0: f(E)=0.5 ako je E=EF , bez obzira na temperaturu. Dakle druga definicija Fermijevog nivoa je da je to energijski nivo sa 50% verovatnoće da bude zauzet.

Da bi dobili integrale za n i p zavisnosti n i f treba transformisati u zavisnost od energije E. Da bi ovo uradili razmotrimo jediničnu ćeliju recipročne rešetke gde su kx, ky i kz dati sa: i nx=ny=nz zapremina ove ćelije je kxkyky=8π3/L3 . Ako kristal ima jediničnu zapreminu onda L3 =1 i zapremina jedinične ćelije kristala jedinične zapremine i k-prostoru jednaka je 8π3 . U ovom kristalu zapremina sferične ljuske debljine dk u k-prostoru je data sa: broj jediničnih ćelija je dato kao odnos zapremine ljuske i jedinične zapremine ćelije:

Broj k vektora (pa prema tome i broj energijskih nivoa, pošto postoji jedan energijski nivo za svaki vektor k) jednak je broju jediničnih ćelija. Koristeći Paulijev princip isključivosti ( samo dva elektrona po jednom k-vektoru), broj elektrona je dat sa: Koristeći paraboličnu aproksimaciju zone i konstantnu efektivnu masu dobija se:

Ova jednačina daje gustinu stanja za česticu mase m Ova jednačina daje gustinu stanja za česticu mase m* koja ima energiju između E i E+dE. U slučaju elektrona sa masom me* smeštenim blizu dna provodne zone energija se meri u odnosu na minimum provodne zone Ec što daje: U slučaju šupljina sa masom mh* u blizini vrha valentne zone je referencirana u odnosu na maksimum valentne zone Ev i dobijamo: Sada integralimo jednačine za n i p. Dalje uprošćavanje je zamena FD funkcije Maxwell- Bolltzmann ovom raspodelom. Raspodele su skoro identične za E-Ef dovoljno veliko.

kada je u>>1. zamenom k u E dobijamo.

U tipičnom poluprovodniku ogromna većina elektrona u provodnoj zoni ima energiju blisku Ec. Tako za donju i gornju granicu možemo da stavimo Ec i beskonačno respektivno. Kod integracije menjamo promenjive y=(Ec-E)/kT: ili

Nc se zove „efektivna gustina stanja u provodnoj zoni“ Nc se zove „efektivna gustina stanja u provodnoj zoni“. Predstavlja broj stanja koja imaju energiju jednaku Ec, koja kad se pomnoži sa verovatnoćom zauzeća na Ec daje broj elektrona u provodnoj zoni. Na isti način se može proračunati totalni broj šupljina u valentnoj zoni. Efektivna gustina stanja za šupljine u valentnoj zoni je:

Unutrašnji poluprovodnik Koristeči dobijene izraze za proizvod koncentracije elektrona i šupljina u poluprovodniku u stanju termodinamičke ravnoteže dobijamo: gde je ni unutrašnja koncentracija nosilaca. Poluprovodnik se naziva „unutrašnjim“ ako velika većina njegovih slobodnih nosilaca (elektrona i šupljina) potiče od njegovih sopstvenih atoma. U tom slučaju ako elektron primi dovoljno energije da „skoči“ iz valentne zone u provodnu zonu on ostavlja šupljinu za sobom u valentnoj zoni. Prema tome svaka šupljina u valentnoj zoni odgovara elektronu u provodnoj i broj provodnih elektrona je jednak broju valentnih šupljina.

ili ako je Ei je unutrašnji energetski nivo. To je energija FN u unutrašnjem poluprovodniku. Uopšteno možemo da smatrano da se nalazi na sredini energijskog procepa. ni je koncentracija unutrašnjih npsilaca i funkcija je temperature i materijala preko Eg. U Si na 300 K to je oko 1.45x1010 cm-1 .

Koncentracija nosilaca na 0 K je nula Koncentracija nosilaca na 0 K je nula.Ka da se temperatura povisi rastući broj elektrona dobije dovoljno termalne energije da predje u provodnu zonu. Ovi elektroni se nazivaju „slobodni“. pošto mogu da se kreću kroz kristal doprinose električnoj struji. Isti doprinos daju i „slobodne“ šupljine. Provodnost materija direktno zavisi od broja slobodnih nosilaca: što je veći broj nosilaca veća je provodnost. Provodnost unutrašnjih poluprovodnika raste sa temperaturom. Koncentracija slobodnih nosilaca je data sa:

-Kada elektroni difunduju iz N oblasti u P oblast, oni za sobom ostavljaju jonizovane atome donora od kojih potiču. Ovi atomi zauzimaju fiksna mesta-ne mogu da se pomeraju. Ovde se sada formira prostorno naelektrisanje i oblast se naziva oblast trošenja-elektroni su potrošeni. -Pozitivno naelektrisanje u oblasti osiromašenja privlači elektrone tako da je u ravnoteži, sila difuzije koja tera elektrone u P oblast izjednačena sa silom električnog polja formiranog pozitivnim prostornim naelektrisanjem. -Slično važi i za akceptorske atome u P oblasti i šupljine. -Oblast osiromašenja se još zove prelazna oblast ili oblast prostornog naelektrisanja.

-Električno polje i promena potencijala u ovoj prelaznoj oblasti se može izračunati korišćenjem Poissonove jednačine. - Radi pojednostavljenja razmotrićemo jednodimenzioni problem. Ako koristimo Bolcmanovu jednačinu za koncentracije elektrona i šupljina dobijamo:

-Ova jednačina ne može da se reši analitički, pa se mora uprostiti aproksimacijom prostornog naelektrisanja. -Ovo podrazumeva da se prostorno naelektrisanje sastoji samo od jonizovanih atoma primesa i da je doprinos slobodnih naelektrisanja lokalnoj raspodeli zanemarljiv. -Dalje smatra se da nema slobodnih elektrona u N delu prelazne oblasti niti šupljina u P delu prelazne oblasti. Kao rezultat dobijamo da je gustina naelektrisanja u N oblasti qNd a u P oblasti –qNA . Prelazna oblast se prostire do rastojanja ln na N strani i lp na P strani.

Sa ovom aproksimacijom i odgovarajućim graničnim uslovima možemo da izračunamo električno polje i potencijal korišćenjem Poasonove jednačine i Gausove teoreme. Smatraćemo da imamo kvazineutralne oblasti van prelazne zone i u ovi oblastima električno polje je jednako 0.

Korišćenjem Gausovog zakona dobijamo:

Integracijom električnog polja dobijamo raspodelu potencijala:

Smenom se za potencijal spoja dobija: Maksimalno električno polje je za x=0. Debljine prelaznih oblasti:

Aktivni režim rada tranzistora Baza emiter direktno polarisani-propušta glabne nosioce naelektrisanja elektroni iz emitera –nE – čine struju INE šupljine iz baze- pB – čine struju IPE iE= INE + IPE

kolektor emiter – reverzno polarisani- sporedni nosioci naelektrisanja nB –prelaze iz baze u kolektor, a pC – prelaze u bazu. Prolaze kroz spoj baza kolektor i kada je emitersko kolo otvoreno. Daju inverznu struju zasićenja ICB0 . Elektroni iz emitera koji se nisu rekombinovali u bazi a usli su u kolektor-sporedni nosioci, daju struju INEC . iC=INEC + ICB0

iB=IPE+IRB-ICB0 iE =iB+IC efikasnost emitera treba da bude što veća Transportni faktor što bliži 1

α-strujno pojačanje kolektor emiter β-strujno pjačanje kolektor baza