Αν. Καθηγητής Γεώργιος Ευθύμογλου Σήματα και Συστήματα Αν. Καθηγητής Γεώργιος Ευθύμογλου September 7, 2018 Module Title
Εισαγωγή Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Module Title
ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Ζ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Ζ x(n) X(z) (z μιγαδικός)
Delay of x(n) in the Z-domain
Κρουστική απόκριση φίλτρου Υποθέτουμε ότι μία ακολουθία x(n) έχει μετασχηματισμό Z: με περιοχή σύγκλισης |z| > ½ . Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Ζ: 1ος Τρόπος με Χ(z) σαν συνάρτηση του z-1 με ανάπτυξη σε άθροισμα μερικών κλασμάτων
Η σταθερά C βρίσκεται με συνεχή διαίρεση: ¼ z-2 - 7/4 z-1 + 4 |1/8 z-2 - ¾ z-1 + 1 ¼ z-2 - 6/4 z-1 + 2 2 -¼ z-1 + 2 δηλαδή C= 2 και Χ(z) = όπου το έχει πολυώνυμο αριθμητή μικρότερου βαθμού από του παρονομαστή οπότε μπορεί να αναπτυχθεί σε άθροισμα μερικών κλασμάτων.
Επομένως η πλήρης ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα γίνεται: Οι τελεστές Α1 και Α2 βρίσκονται ως εξής: Επομένως η πλήρης ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα γίνεται:
Τέλος, η περιοχή σύγκλισης είναι η εξωτερική επιφάνεια του κύκλου |z| > ½ , η x(n) είναι η ακολουθία δεξιάς πλευράς:
R = 3 % Α1 -1 % Α2 p = 0.5000 % 1ος πόλος 0.2500 % 2ος πόλος C = >> clear >> a=[4, -7/4, 1/4]; >> b=[1, -3/4, 1/8]; >> [R, p, C] = residuez(a,b) R = 3 % Α1 -1 % Α2 p = 0.5000 % 1ος πόλος 0.2500 % 2ος πόλος C = 2 % σταθερά
2ος Τρόπος με Χ(z) σαν συνάρτηση του z, με 1) ανάπτυξη σε άθροισμα μερικών κλασμάτων 2) μέθοδο μιγαδικής ολοκλήρωσης πολλαπλασιάζοντας με z2 στην αρχική σχέση έχουμε: Και διαιρώντας με z
όπου τώρα ο αριθμός του αριθμητή είναι μικρότερος του παρονομαστή, επομένως Συνεπώς
Μιγαδική ολοκλήρωση από τον ορισμό της μιγαδικής ολοκλήρωσης έχουμε υπόλοιπο του z=0 υπόλοιπο του z=0.5 υπόλοιπο του z=0.25 Επομένως, πάλι