1η ενότητα: Εισαγωγικές έννοιες Διδασκαλία και μάθηση των Μαθηματικών με διαδικασίες επίλυσης προβλημάτων 1η ενότητα: Εισαγωγικές έννοιες ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Ο κεντρικός ρόλος των προβλημάτων στη Μαθηματική επιστήμη ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Ο Γερμανός Μαθηματικός David Hilbert (1862-1943) ισχυρίστηκε ότι οι μαθηματικοί νιώθουμε μέσα μας την αέναη κλήση: Υπάρχει πρόβλημα; Αναζητάμε τη λύση του. Ο εβραιο-ουγγρικής καταγωγής Μαθηματικός, Paul Halmos (1916-2006) δήλωσε ότι Από τι αποτελούνται πράγματι τα μαθηματικά; Από αξιώματα, θεωρήματα, ορισμούς, τύπους και μεθόδους; Ασφαλώς τα συστατικά αυτά είναι απαραίτητα, χωρίς αυτά δεν μπορούν να υπάρξουν τα μαθηματικά. Είναι, ωστόσο, μια άποψη ότι κανένα από αυτά δεν είναι η καρδιά του αντικειμένου, ότι η κύρια αιτία ύπαρξης του μαθηματικού είναι να επιλύει προβλήματα και κατά συνέπεια το πραγματικό περιεχόμενο των μαθηματικών είναι τα προβλήματα και η επίλυσή τους. ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Τι είναι μαθηματικό πρόβλημα; Ένα μαθηματικό πρόβλημα είναι ένα πρόβλημα που μπορεί να αναπαρασταθεί, να αναλυθεί και ενδεχομένως να λυθεί με τη χρήση των μαθηματικών. Αναφερόμαστε στη «επίλυση ενός προβλήματος» όταν αντιμετωπίζουμε μια μη οικεία κατάσταση, από την οποία δεν μπορούμε άμεσα να διαμορφώσουμε τρόπους να την διαπραγματευτούμε. ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Schoenfeld Σύγχρονος ερευνητής της διδακτικής των μαθηματικών ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 A problem is only a problem (as mathematicians use the word) if you don’t know how to go about solving it. A problem that has no ‘surprises’ in store, and can be solved comfortably by routine or familiar procedures (no matter how difficult!) is an exercise and not a problem (Schoenfeld, 1983, p. 41) ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Εξέλιξη στη διδακτική του εστίαση … Ο Schoenfeld (Olkin και Schoenfeld, 1994, σελ.43) περιέγραψε τον τρόπο με τον οποίο η διδακτική του εστίαση στην επίλυση προβλημάτων στους φοιτητές του έχει αλλάξει από τη δεκαετία του '70: «Στα πρώτα μου μαθήματα επίλυσης προβλημάτων επικεντρώθηκα σε προβλήματα που μπορούν να επιλυθούν με ευρητικές μεθόδους τύπου Polya: σχεδίαση διαγράμματος, εξέταση ειδικών περιπτώσεων ή αναλογιών, εξειδίκευση, γενίκευση κ.ο.κ. Με την πάροδο των ετών η εστίασή μου επικεντρώθηκε λιγότερο στην παρακολούθηση των στρατηγικών αλλά περισσότερο στην εισαγωγή των φοιτητών μου σε θεμελιώδεις ιδέες όπως για παράδειγμα τη σπουδαιότητα του μαθηματικού συλλογισμού και της αποδεικτικής διαδικασίας … τώρα με ενδιαφέρει τι είδους προβλήματα να θέσω στους μαθητές ώστε να τους οδηγήσω σε δράσεις μαθηματικής διερεύνησης…» ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Επισημαίνει τη δυσκολία που αντιμετώπισε όταν έπρεπε να περιγράψει το τι συνιστά πρόβλημα, "... το πρόβλημα δεν είναι μια εγγενής ιδιότητα [του θέματος που προτείνεται] είναι η τριπλή αλληλεπίδραση μεταξύ του μαθητή (-ριας), του προβλήματος και της κατάστασης που αυτό περιγράφει». όρισε ως προβλήματα τα μαθηματικά «έργα» που χρησιμοποιούνται ως μέσα διδασκαλίας, για την άσκηση των μαθηματικών δεξιοτήτων και τη μέτρηση του επιπέδου ανάπτυξης των μαθητών. Διακρίνει τα προβλήματα σε "προβλήματα ρουτίνας ή ασκήσεις" και σε "προβληματικές καταστάσεις ή πρωτότυπα προβλήματα". ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Προβλήματα ρουτίνας - αυθεντικά προβλήματα Προβλήματα ρουτίνας - αυθεντικά προβλήματα Προβλήματα ρουτίνας είναι προβλήματα "που μπορεί να λυθούν είτε αντικαθιστώντας δεδομένα σε ένα προηγουμένως γενικό τύπο είτε ακολουθώντας βήμα προς βήμα , χωρίς κανένα ίχνος πρωτοτυπίας. Αντίθετα, τα αυθεντικά/πρωτότυπα προβλήματα είναι προβλήματα με ένα βαθμό πολυπλοκότητας, που περιγράφουν μια προβληματική κατάσταση. δεν υπάρχει συγκεκριμένη στρατηγική επίλυσης, αλλά οι μαθητές πρέπει να συνδυάσουν τις γνώσεις τους και τις ικανότητές τους, ώστε να οδηγηθούν στη λύση Είναι ένα έργο για το οποίο η μέθοδος λύσης δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων. ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Χαρακτηριστικά των πρωτότυπων προβλημάτων Τα πρωτότυπα προβλήματα περιγράφουν στο μαθητή προβληματικές καταστάσεις οικείες με τις εμπειρίες του. Η λύση αυτών των προβλημάτων δεν βασίζεται σε ένα συγκεκριμένο αλγόριθμο αλλά απαιτείται από τους μαθητές να δημιουργήσουν διαφορετικές αναπαραστάσεις και να συνδυάσουν ένα μεγάλο εύρος μαθηματικών γνώσεων και ικανοτήτων. Οι μαθητές μπορούν να εφαρμόσουν τα δικά τους μοντέλα λύσης. ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Η επίλυση προβλήματος Η επίλυση προβλήματος θεωρείται θεμελιώδης ικανότητα για τον άνθρωπο καθώς το μεγαλύτερο μέρος της συνειδητής μας σκέψης αφορά σε προβλήματα (Polya, “How to solve it”) ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Επίλυση προβλήματος Η ικανότητα των ατόμων να χρησιμοποιούν τις γνωστικές διαδικασίες, να αντιμετωπίσουν και να επιλύσουν πραγματικές καταστάσεις με αλληλοεξαρτώμενους περιορισμούς, όπου η πορεία της λύσης δεν είναι άμεσα ορατή και όπου οι εμπλεκόμενες γνωστικές περιοχές που απαιτούνται για την επίλυση του προβλήματος δεν κατατάσσονται σε μια και μοναδική περιοχή των μαθηματικών, της επιστήμης ή της ανάγνωσης (Pisa 2003). ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Συζήτηση Γιατί είναι σημαντικό οι μαθητές να εμπλακούν στην επίλυση προβλημάτων; Δικαιολογείστε την άποψή σας. ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Γιατί είναι σημαντικό οι μαθητές να εμπλακούν στην επίλυση προβλημάτων; Κάποιες απαντήσεις Υποστηρίζει την σύνδεση μαθηματικών εννοιών και διαδικασιών, αντανακλά με ακρίβεια τι σημαίνει «κάνω μαθηματικά» Είναι ένας τρόπος για να κατανοήσουν καλύτερα οι μαθητές τη νέα μαθηματική γνώση Μετατρέπει τους μαθητή σε ‘μικρούς ερευνητές των μαθηματικών’ Είναι ένας ενδιαφέρον και ευχάριστος τρόπος να μάθουν οι μαθητές μαθηματικά. Οι μαθητές διαμορφώνουν μια θετική στάση απέναντι στα μαθηματικά (αν λύσουν το πρόβλημα). Μαθαίνει τους μαθητές να είναι ευέλικτοι και δημιουργικοί Ενθαρρύνει τις συνεργατικές δεξιότητες των μαθητών. … ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Στην επίλυση προβλήματος ο μαθητής καλείται να … προσεγγίσει καταστάσεις με σφαιρικό τρόπο να διερευνήσει εναλλακτικούς τρόπους λύσης, να αναγνωρίσει κοινές δομές πίσω από καταστάσεις διαφορετικού περιεχομένου να εντοπίσει τις μεταξύ τους σχέσεις και να αναδείξει κανονικότητες, να επεξεργαστεί ‘έξυπνους’ και λιτούς τρόπους αντιμετώπισής του, να αναστοχαστεί πάνω στη δράση και τη σκέψη του να γενικεύσει την εμπειρία του ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Η επίλυση προβλημάτων ως περιβάλλον μάθησης Ως περιβάλλον μαθηματικής δουλειάς. τα προβλήματα χρησιμοποιούνται με σκοπό την επιτυχία στόχων του αναλυτικού προγράμματος σπουδών. Από πολλούς ερευνητές η επίλυση προβλήματος ταυτίζεται με τη μαθηματική σκέψη. Ως περιβάλλον απόκτησης δεξιοτήτων και ανάπτυξης στρατηγικών όπως κατασκευή διαγράμματος, αναζήτηση ή κατασκευή μοτίβων λύση ενός απλούστερου προβλήματος δοκιμή και επανέλεγχος … ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Η επίλυση προβλημάτων ως περιβάλλον μάθησης ως παιδαγωγικό περιβάλλον Ως αισθητική. Η επίλυση προβλημάτων επιτρέπει στον μαθητή να δοκιμάσει μια σειρά συναισθημάτων που σχετίζονται με διάφορα στάδια στη διαδικασία λύσης. Οι μαθηματικοί που επιλύουν επιτυχώς τα προβλήματα λένε ότι η εμπειρία από την πραγματοποίησή τους συμβάλλει στην εκτίμηση της δύναμης και της ομορφιάς των μαθηματικών Είναι η χαρά που νιώθεις όταν χτυπάς το κεφάλι σου σε ένα μαθηματικό τοίχο και στη συνέχεια ανακαλύπτεις ότι μπορεί να υπάρχουν τρόποι είτε να περπατήσετε γύρω από το τείχος είτε να περάσεις πάνω από το τείχος (Olkin and Schoenfeld, 1994, σελ. 43).

H επίλυση προβλήματος ως διαδικασία Η επίλυση προβλήματος συνίσταται την κίνηση από μια δοσμένη αρχική κατάσταση σε μια τελική κατάσταση. Είναι η διαδικασία σχεδιασμού και διεξαγωγής ενός συνόλου βημάτων για να φτάσουμε το στόχο. Μπορεί ο εκπαιδευτικός να εστιάσει στο μαθηματικό περιεχόμενο ή στην διαδικασία εξέλιξης του φαινομένου ή και στα δύο. ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Εβδομαδιαία εργασία Αναζητήστε στα σχολικά βιβλία του Γυμνασίου 2 προβλήματα που θα μπορούσατε να τα ορίσετε ως «πρωτότυπα προβλήματα» σύμφωνα με τον ορισμό του Schoenfeld. Παρουσιάστε αυτά τα προβλήματα σε ένα ppt και δικαιολογείστε τα «πρωτότυπα» χαρακτηριστικά τους. ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

βιβλιογραφικές αναφορές Olkin, I. & A. Schoenfeld, H. (1994). A Discussion of Bruce Reznick's Chapter [Some Thoughts on Writing for the Putnam]. Mathematical Thinking and Problem Solving. A. Schoenfeld, H. Hillside NJ, Lawrence Erlbaum: 39-51. NCTM (2000). Principles and Standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM, 2000. Polya, G. (1945). How to Solve It. Princeton, NJ: Princeton University Press 1945. PISA, (2003). Problem Solving for tomorrow’s World. Organisation for economic cooperation and development. Schoenfeld, Η. (1992). Learning to think mathematically: Problem-solving, metacognition, and sense making in mathematics. Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp.334-368). New York: Macmillan. ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18