Κλασσική προσέγγιση στις ηλεκτρικές ιδιότητες των μετάλλων Κλασσική προσέγγιση στις ηλεκτρικές ιδιότητες των μετάλλων. Θεωρία Drude Βασικές υποθέσεις Ηλεκτρική αγωγιμότητα στο πρότυπο του Drude Φαινόμενο Hall Συντονισμός πλάσματος Θερμική αγωγιμότητα «νόμος» των Wiedemann-Franz Ατέλειες του προτύπου Drude

Κλασσική θεωρία του Drude 3 χρόνια μετά την ανακάλυψη του ηλεκτρονίου από τον J. J. Thomson (1897) ο Paul Drude το1900. Ο Drude θεωρεί τα ελεύθερα ηλεκτρόνια σαν κλασσικό ιδανικό αέριο όπου τα ηλεκτρόνια μπορούν να συγκρούονται με τα στατικά ιόντα αλλά όχι μεταξύ τους. Μέση ταχύτητα Σε θερμοκρασία δωματίου

(μέσος χρόνος μεταξύ των γεγονότων σκέδασης) Χρόνος εφησυχασμού (μέσος χρόνος μεταξύ των γεγονότων σκέδασης) Μέση ελεύθερη διαδρομή

Πυκνότητα ηλεκτρονίων αγωγιμότητας n Αριθμός ατόμων στη μονάδα του όγκου another fundamental quantity for all processes number of conduction electrons per volume this is easy to figure out if we know the number of valence electrons per atom, the atomic weight and the mass per volume (density). result obviously same as number of atoms per volume from this we will in a minute derive Ohms law, the Hall effect, why metals are shiny... Αριθμός ηλεκτρονίων σθένους ανά άτομο Πυκνότητα μάζας Ατομική μάζα

Προβληματικές υποθέσεις Τα ηλεκτρόνια δεν μπορεί παρά να αλληλεπιδρούν μεταξύ τους Τα ηλεκτρόνια δεν μπορεί παρά να αλληλεπιδρούν με τα ιόντα Δεν μπορεί να ισχύει η κλασσική στατιστική για τα ηλεκτρόνια: first point: very subtle, we will get some ideas: Coulomb repulsion, Pauli principle, but really Landau’s Fermi liquid theory is needed and it took a great deal of time to understand this. second point: see next lecture: screening of the ion cores by free electrons reduces the potential length, periodicity gets rid of scattering third point: this is indeed blatantly wrong and causes many problems. But it is also quite easily resolved by quantum statistics. Μήκος κύματος de Broglie ενός ηλεκτρονίου: Συνθήκη για τη κλασσική στατιστική T=300Κ τάξης του Å Τι συμβαίνει;

Ηλεκτρική αγωγιμότητα Εξίσωση κίνησης ηλεκτρονίου σε ηλεκτρικό πεδίο υπενθύμιση: αν electrons negative here, the elementary charge is positive the equation means that v increases linearly with t until one hits an ion. Then the drift velocity is 0 again. Distinguish between drift and real velocity. The small drift velocity means that not all the electrons in field direction (or opposite). Electrons move still more or less random there is just a small drift. The small velocity is important. Otherwise we would have to revise the tau! what is the significance of the scattering with the ions? What would happen without it? One could think that the average speed is just half of this. When all electrons travel up to the average time, the velocity would go from zero to v, so the average would be v/2. Drude did make this mistake. His average velocity was a factor of two too small. So this point is not trivial!

Αριθμός διαπερνώντων ηλεκτρονίων Αριθμός διαπερνώντων ηλεκτρονίων Στη μονάδα του χρόνου Ρεύμα ηλεκτρονίων in the final expression e is squared for a positive charge, you get exactly the same thing! From conduction, we cannot tell if the electrons are negative or positive. so Ohm’s law is linear discuss the proportionality factors: all make sense, only e is ^2 because of current definition and because of coupling to field Πυκνότητα ρεύματος Ohm επειδή

Ohm αγωγιμότητα αντίσταση Ευκινησία some definitions, now in a 1D version discuss meaning of these with mass, tau, charge, n Now j=I/A E=U/L I/A=U/(Lrho) I=U*A/(Lrho)=U/R mobility is useful if I have a material where I can change n without changing anything else. But what about predicting the conductivity now? We know everything in the formula....well... Before comparing to experiment, we need some more practical definitions. Ευκινησία αγωγιμότητα αντίσταση

Ohm and with Καλό για μέταλλα Ανεπαρκές για ημιαγωγούς so at least the linear dependence must contain a great amount of correctness, even though the factor of proportionality might be incorrect. we come to that in a moment

Ηλεκτρική αγωγιμότητα υλικών 32 orders of magnitude, even discounting superconductors from the size of an atom to the earth-sun distance is only 19 orders of magnitude

quantitative comparison: we know all the things in the equation but we have to guess lambda in order to get tau. The order of magnitude is right and we have got this from seemingly reasonable assumptions for so for a copper wire rho is about 10-8 Ohmmeter and therefore the resistance of a meter of wire with a sqare mm area would be 10-8*1/10-6=10-2 Ohm low T: v_t smaller, tau longer, sigma higher - but not high enough now this doesn’t fit anymore experimental values increased by a factor of 10 or so calculated value by less than a factor of 2 the lower the temperature, the worse this gets the mean free path can become very long, microns or mm even.

Κίνηση των ηλεκτρονίων σύστημα ελευθέρων μη-αλληλεπιδρώντων σωματιδίων Κίνηση των ηλεκτρονίων σύστημα ελευθέρων μη-αλληλεπιδρώντων σωματιδίων Kάθε ηλεκτρόνιο (e-) : Στα πλαίσια μοντέλου Jellium: κάθε e- κινείται παρουσία ενός σταθερού δυναμικού (επομένως δεν υφίσταται καμία δύναμη) Διατηρείται η ορμή του e- : και χαρακτηρίζει την κίνηση του H κυματοσυνάρτηση του e- έχει μορφή επίπεδου κύματος

Συνολική κατάσταση Νe- Η συνολική κατάσταση Ν e- προσδιορίζεται πλήρως από τις ορμές τους (i=1,…,N) και τις προβολές των σπιν τους siz (i=1,…,N siz= +1/2) πάνω σε άξονα, π.χ. τον z. Συνολική κινητική ενέργεια των Ν e- είναι το άθροισμα των κινητικών ενεργειών κάθε ηλεκτρονίου: Η ελάχιστη τιμή της κινητικής ενέργειας (επομένως και της ολικής ενέργειας - δυναμική ενέργεια στα8ερή) επιτυγχάνεται όταν τα ki2 πάρουν ελάχιστες δυνατές τιμές. Κατατάσσουμε τα ki κατά σειρά αυξανόμενου μεγέθους και τοποθετούμε στο καθένα δύο ηλεκτρόνια (ένα με σπιν πάνω και ένα με σπιν κάτω) σύμφωνα με την αρχή του Pauli. Το μέγεθος του μέγιστου ki (δηλ. (Ν/2)-οστού) το συμβολίζουμε kF (κυματαριθμός Fermi).

Όταν ο όγκος του συστήματος γίνει πολύ μεγάλος τότε το ά8ροισμα πάνω στις δυνατές τιμές του ki ανάγεται σε ολοκλήρωμα: Aπόδειξη ψκ(0,y,z)= ψκ(Lx,y,z) ψκ(x,0,z)= ψκ(x,Ly,z) ψκ(x,y,0)= ψκ(x,y,Lz) Θεωρούμε το στερεό ως παραλληλεπίπεδο όγκου V=LxLyLz και επιλέγουμε περιοδικές συνθήκες για τις ιδιοσυναρτήσεις ψκ(r): Στη διεύθυνση x για παράδειγμα (λόγω περιοδικών συνθηκών): Γενικά: i= x,y,z επιτρεπτές τιμές ki

Kυματαριθμός και ενέργεια Fermi n=Ν/V συγκέντρωση e- Σφαιρικές συντεταγμένες Ορμή Fermi : Ενέργεια Fermi (3.6) Ταχύτητα Fermi : Θερμοκρασία Fermi : kB παγκόσμια σταθερά Boltzmann (3.7) Τα pF, υF και EF είναι αντίστοιχα η μέγιστη ορμή, η μέγιστη ταχύτητα και η μέγιστη κινητική ενέργεια που εμφανίζεται σ’ ένα από τα Ν ελεύθερα ηλεκτρόνια του συστήματος υπό την προυπόθεση ότι αυτό (δηλαδή ολόκληρο το σύστημα) βρίσκεται στην ελάχιστη κινητική (άρα και ολική) ενέργειά του.

Η μέση κινητική ενέργεια ανά ηλεκτρόνιο είναι Κe=Kολ/Ν, όπου Κολ: Παρόλο που το σύστημα μας είναι σε κατάσταση ελάχιστης συνολικής ενέργειας (δηλαδή συνθήκες απόλυτου μηδέν), τα ελεύθερα ηλεκτρόνια που το συναποτελούν (μαζί με τα ιόντα) δεν ακινητούν. Η μέση κινητική ενέργεια ανά ηλεκτρόνιο είναι Κe=Kολ/Ν, όπου Κολ: όμως (3.5): μέση κινητική ενέργεια ανά e- (3.9) Η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου είναι ανάλογη του n5/3 , n=N/V:

Η πίεση είναι επίσης ανάλογη του n5/3 : Πίεση Η πίεση είναι επίσης ανάλογη του n5/3 :

Πυκνότητα καταστάσεων Έστω κάποια συνάρτηση του κυματαριθμού (ή κυματανύσματος) η οποία εξαρτάται από το ki μέσω της ιδιοενέργειας εi, δηλαδή εάν είναι της μορφής φ(εi) και το εi είναι συνάρτηση του τότε : Η συνάρτηση ρt(ε) είναι η ενεργειακή πυκνότητα καταστάσεων δηλαδή ο αριθμός καταστάσεων ανά μονάδα ενέργειας. Σαφέστερα το δίνει το αριθμό των καταστάσεων που η ιδιοτιμή της ενέργειας τους βρίσκεται στο διάστημα [ε, ε+dε]. Ισοδύναμα R(E) είναι ο συνολικός αριθμός καταστάσεων που βρίσκονται ενεργειακά κάτω από το Ε

Εφαρμογή στο μοντέλο Jellium (3 διαστάσεις (3D)): H ιδιοενέργεια εi δίδεται από τη σχέση: H πυκνότητα καταστάσεων R(E) δίδεται : O αριθμός καταστάσεων ανά μονάδα ενέργειας ρ(ε) δίδεται : ρ(ε) ανά σπιν 3D

Εφαρμογή στο μοντέλο Jellium (2D - 1D): Όπου d είναι η διάσταση του χώρου και cd είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τη διάσταση του χώρου και από τις παγκόσμιες σταθερές m και ħ.

Κίνηση του Ηλεκτρονίου στο Στερεό Παρουσία Εξωτερικής Δύναμης Παρουσία εξωτερικής δύναμης F τα ηλεκτρόνια που θα υποστούν κρούσεις στο διάστημα Δt θα αυξήσουν την ορμή τους από P(t) σε P(t+Δt) με πιθανότητα Δt/τ. Αυτά που δεν θα υποστούν κρούσεις στο ίδιο διάστημα θα είναι 1- Δt/τ και η ορμή θα γίνει

Παρουσία ηλεκτρικού ή/και μαγνητικού πεδίου Παρουσία ηλεκτρικού πεδίου Ισορροπία (σταθερό ηλεκτρικό ρεύμα) όπου και

Φαινόμενο Hall Edwin Hall 1879 tried to find out if a magnetic field acts on the current carrying wire or just on the current. experimentally one finds this linear relation (at least for small field) What is the Hall coefficient? Hall coefficient gives electron density! Συσσώρευση φορτίου οδηγεί στη δημιουργία πεδίου Hall EH. Το πεδίο Hall είναι ανάλογο της πυκνότητας ρεύματος και του μαγνητικού πεδίου B Συντελεστής Hall

Συντελεστής Hall Hall field force and Lorentz force must compensate each other This is sensitive on the electron density and the sign of the charge It is nice that we can get the carrier density, we certainly don’t get it from the conductivity because of the other unknown parameters.

Ohm ~ e2 RH το πρόσημο του e είναι σημαντικό . so here we should get one works fine for the alkalis does not work at all for Bi (maybe the electron density is somehow wrong?) but maybe even worse for Be - Al because the sign is wrong so what if these had positive charge carriers?

Θετικοί φορείς - and + go in opposite x direction but in the same y direction The voltage drop and the electric field is the other way round but the current flows in the same direction We cannot only get the carrier density, we can also get their sign!

Κίνηση ηλεκτρονίων σε μέταλλα παρουσία εναλλασσόμενου ηλεκτρικού πεδίου Λύση της μορφής όπου

Αλληλεπίδραση Ηλεκτρομαγνητικής Ακτινοβολίας με τα Μέταλλα Αλληλεπίδραση Ηλεκτρομαγνητικής Ακτινοβολίας με τα Μέταλλα Maxwell όπου μιγαδική διηλεκτρική συνάρτηση

Ποσότητα κβαντισμένη, το κβάντο ονομάζεται το πλασμώνιο Αν όπου Η συχνότητα πλάσματος ηλεκτρονίων Ποσότητα κβαντισμένη, το κβάντο ονομάζεται το πλασμώνιο Κυματική συμπεριφορά όταν ή αν η συχνότητα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας, που προσπίπτει σε ένα μέταλλο είναι μεγαλύτερη από τη συχνότητα πλάσματος, τότε η ακτινοβολία θα διαδοθεί στο υλικό και το υλικό θα είναι διαφανές. Αντίθετα, αν η συχνότητα της ακτινοβολίας είναι μικρότερη από τη συχνότητα πλάσματος η ακτινοβολία θα ανακλαστεί και το υλικό θα είναι αδιαφανές.

Λίγα ακόμα… Επίπεδο κύμα Μιγαδικός δείκτης διάθλασης Maxwell N: n takes care of the wavelength change, kappa of adsorption so if a wave can propagate depends on the N, if only kappa, the thing is just damped k=2piN/wavelength in vacuum epsilon offers an equivalent description but easier link to microscopic pic in the last we have used that nu lambda = c index of refraction and epsilon depend on the frequency of the light usually the index of refraction is higher for blue light look in more detail at epsilon in chapter 10 Maxwell

Διπολική ροπή ενός ηλεκτρονίου we consider a forced oscillation in time-dependent field. So now just oscillating rapidly, no scattering. This could be included but isn’t here.... we can write any time-dependence as a Fourier sum. So we just have to focus on one omega here Διπολική ροπή ενός ηλεκτρονίου Στη μονάδα του όγκου του στερεού

So now we have the dielectric function So now we have the dielectric function. This can tell us all about the wave propagation calculate electric displacement field from polarization Συχνότητα πλασμωνίων

Διηλεκτρική συνάρτηση στο πρότυπο του Drude με υπενθύμιση above omega_p the metal is transparent below omega_p it is opaque BUT this also means that it is highly reflective, high absorption, high reflection here. Fresnel equations describe this. Here simple: no damping, energy conservation, if the energy does not go in, it must be reflected. plasma frequency must obviously be high!!! ε αρνητικός πραγματικός όχι διάδοση το μέταλλο είναι αδιαφανές ε θετικός προγραματικός  διάδοση του κύματος  το μέταλλο διαφανές

Τιμές της ενέργεια πλάσματος Συχνότητα πλάσματος Τιμές της ενέργεια πλάσματος the plasma frequency has a simple interpretation: movement of all the electrons against all the ions’ positive background charge at low frequencies, the electrons can follow any external field and keep it out of the solid - classical assumption for electrostatics energy very high. How high is it for optical light? 1.5 eV or so. Συλλογικοί διαμήκεις τρόποι δόνησης του ηλεκτρονιακού αερίου

ο νόμος των Wiedemann-Franz most convincing piece of evidence in Drude’s time simple relation works because the electrons contribute most significantly to both el and th conduction. This works only because the phonons are not so important. And they are not because of the metallic bonding. The Debye temperatures are usually low and anharmonicity is important. So we are lucky here. Οι Wiedemann and Franz βρήκαν το 1853 ότι ο λόγος της θερμικής προς την ηλεκτρική αγωγιμότητα των ηλεκτρονίων για όλα τα μέταλλα είναι σταθερός για μία θερμοκρασία (για Τ>300Κ) . Αργότερα βρέθηκε από το L. Lorenz ότι αυτή η σταθερά L εξαρτάται από τη Τ.

Θερμική αγωγιμότητα κλασσικού ιδανικού ηλεκτρονικού αερίου for kappa we go like for the phonons. We know v^2 because we know the kinetic energy, we know cv which is the heat capacity for the ideal gas. we don’t know tau but this doesn’t matter the linear behaviour is right but L is too small by a factor of 2. Initially Drude made a mistake and got it right, source of admiration. this is all for the wrong reasons C_v and v_t are wrong by two orders of mag. However, the result does not depend on m or tau. This is what is really clever about this! κβαντικά περίπου 3

Πιο αναλυτικά Θερμοχωρητικότητα ηλεκτρονίων Πλήθος ηλεκτρόνιων σε μια Τ Αύξηση ενέργειας κάθε ενός e ΚΒΤ, άρα συνολικά

Ο λόγος της θερμικής προς την ηλεκτρική αγωγιμότητα οδηγεί σε ένα αποτέλεσμα ανεξάρτητο του χρόνου εφησυχασμού Αριθμός Lorentz

Αριθμός του Lorenz πειραματικά 273 K metal 10-8 Watt Ω K-2 Ag 2.31 Au 2.35 Cd 2.42 Cu 2.23 Mo 2.61 Pb 2.47 Pt 2.51 Sn 2.52 W 3.04 Zn so no wonder people were impressed by Drude’s theory! It’s also interesting because all the “ugly” stuff is falling out (mean free path, lifetime and so on). L = 2.45 10-8 Watt Ω K-2