Μαθηματικά:Γεωμετρικές κατασκευές Δέσποινα Πόταρη, τμήμα μαθηματικών ΕΚΠΑ dpotari@math.uoa.gr

Γιατί Ευκλείδεια Γεωμετρία Ένα αξιωματικό σύστημα που έχει σχέση με την πραγματικότητα Η έννοια του σχήματος και της οπτικοποίησης σημαντική Οικείο πλαίσιο για αποδεικτική διαδικασία Διερεύνηση – Δημιουργία εικασιών – Απόδειξη Ανάλυση και Σύνθεση

Τι σημαίνει γεωμετρική κατασκευή; Η κατασκευή ενός σχήματος με κανόνα και διαβήτη Όλα τα σχήματα δεν είναι κατασκευάσιμα με κανόνα και διαβήτη (π.χ τριχοτόμηση της γωνίας, ο τετραγωνισμός του κύκλου, ο διπλασιασμός του κύβου, κατασκευή κανονικού επταγώνου – 19ο αιώνα αποδείχθηκε ότι δεν κατασκευάζονται) κατασκευή τριγώνου όταν γνωρίζω τις διχοτόμους τους) Το 16ο και 17ο αιώνα αποδείχθηκε ότι ότι μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη μπορεί και μόνο με διαβήτη.

Από το σχολικό βιβλίο του Σπ. Κανέλου (1976)

Στοιχειώδεις γεωμετρικές κατασκευές Η κατασκευή ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία Η κατασκευή κύκλου με κέντρο ένα δεδομένο σημείο Κατασκευή ενός σημείου ως σημείο τομής δύο κύκλων, ευθείας και κύκλου ή ευθειών. Η ευθεία και ο κύκλος τα πρωταρχικά θεμέλια των σχημάτων στην Αρχαία Ελλάδα

Διαδικασία κατασκευής Ανάλυση (ψάχνουμε να βρούμε την ιδέα του πώς θα κάνουμε την κατασκευή υποθέτοντας ότι έχουμε κατασκευάσει το ζητούμενο σχήμα και αναζητούμε στοιχειώδεις κατασκευές που γνωρίζουμε) Σύνθεση (κάνουμε την αντίστροφη διαδικασία της ανάλυσης κατασκευάζοντας με κανόνα και διαβήτη βασικά σχήματα) Απόδειξη (αποδεικνύουμε ότι το σχήμα που κατασκευάσαμε είναι το ζητούμενο) Διερεύνηση (αναζητούμε τις συνθήκες ώστε το σχήμα να είναι κατασκευάσιμο και ψάχνουμε και για άλλες περιπτώσεις)

Απλές γεωμετρικές κατασκευές Βρείτε το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος Φέρτε μια κάθετη σε ευθεία σε δοσμένο σημείο της ευθείας Φέρτε μια κάθετη από ένα δοσμένο σημείο έξω από μια ευθεία Κατασκευάστε τη διχοτόμο μιας γωνίας Κατασκευή παράλληλης ευθείας σε δοθείσα (Αναφορά – Ελληνική Μαθηματική Πύλη)

Παράδειγμα κατασκευής χρησιμοποιώντας τη διαδικασία Ανάλυση- Σύνθεση – Απόδειξη – Διερεύνηση στις απλές γεωμετρικές κατασκευές Οι αποδείξεις θα γίνουν στον πίνακα.

Άλλα προβλήματα κατασκευής Έχετε ένα νόμισμα. Βρείτε το κέντρο του. Σας δίνονται τρία ευθύγραμμα τμήματα. Κατασκευάστε ένα τρίγωνο με μήκη των πλευρών τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων Ποια είναι τα ελάχιστα στοιχεία που χρειάζεστε για να φτιάξετε ένα τρίγωνο; Κατασκευή ορθής γωνίας. Γνωρίζεις το μήκος δύο πλευρών ενός τριγώνου και τη διάμεσο που καταλήγει στην τρίτη πλευρά του. Κατασκεύασε το τρίγωνο.

Κατασκευάσιμοι αριθμοί Είναι εκείνοι που μπορούν δοθείσας κάποιας μονάδας να κατασκευαστούν με κανόνα και διαβήτη Φυσικοί και Ακέραιοι Ρητοί αριθμοί Τετραγωνικές ρίζες Κατασκευή παραδειγμάτων στον πίνακα