Μηχανική των υλικών Ενέργεια παραμόρφωσης Επιβλέπων: Γ. Αγγελόπουλος, καθηγητής Επιμέλεια Πήττας Κωνσταντίνος, διπλ. Μηχ. Μηχ. Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σκοποί ενότητας Εξοικειωθεί ο φοιτητής με την έννοια της ενέργειας παραμόρφωσης. Να μπορεί να υπολογίσει την ενέργεια παραμόρφωσης. Να γνωρίζει πώς μπορεί να αξιοποιήσει το συγκεκριμένο μέγεθος για να επιλύσει προβλήματα.

Περιεχόμενα ενότητας Ενέργεια παραμόρφωσης Ελαστική πλαστική παραμόρφωση Ελαστική γραμμική παραμόρφωση Δυναμική φόρτιση Υπολογισμός επιμήκυνσης ράβδου Απότομα μεταβαλλόμενα φορτία Αποδείξεις σχέσεων ενέργειας παραμόρφωσης

Ενέργεια παραμόρφωσης Με την σταδιακή εφαρμογή του φορτίου Ρ από 0 έως Ρ η ράβδος επιμηκύνεται κατά Δl . Το φορτίο Ρ παράγει ένα έργο W . Το έργο ισούται με την δύναμη επί την απόσταση. Για να βρούμε το λοιπόν το έργο πρέπει να γνωρίζουμε την μεταβολή του Ρ και του l. Αυτό διαγράφεται από το διάγραμμα Δl και Ρ. Συνεπώς το έργο είναι η σκιαγραφημένη επιφάνεια. Επίσης δίνεται από τον παρακάτω τύπο : W

Ενέργεια παραμόρφωσης Όσο λοιπον το φορτίο Ρ καταπονεί την ράβδο την παραμορφώνει και το έργο που παράγεται αποθηκεύεται στην ράβδο και το ενεργειακό επίπεδο της ράβδου αυξάνει. Το μέτρο αυτής της ποσότητας ονομάζεται ενέργεια παραμόρφωσης και ορίζεται ως η ενέργεια που απορροφάται από την ράβδο κατά την φόρτισή της με το φορτίο Ρ.

Ανάλυση καμπύλη εφελκυσμού ώς προς παραμορφώσεις Ο νόμος γραμμικής ελαστικότητας (νόμος Hooke) ισχύει μέχρι το όριο διαρροής σο. Όταν η τάση γίνει ίση με το σο, το μέταλλο ξεκινά να υφίσταται πλαστική παραμόρφωση. Eάν ένα δοκίμιο παραμορφωθεί μέχρι το σημείο Α και στη συνέχεια το φορτίο αφαιρεθεί, τότε η συνολική παραμόρφωση του δοκιμίου θα μειωθεί αμέσως από το ε1 στο ε2 κατά μία ποσότητα σ/Ε. Η διαφορά ε1 – ε2 είναι το ποσό εκείνο της συνολικής παραμόρφωσης (ε1) που ήταν ελαστικής φύσεως και που με την διακοπή της φόρτισης μηδενίστηκε .

Αρχή παραμορφωτών σωμάτων Η γενική αρχή των παραμορφωτών σωμάτων είναι ότι το έργο παραμόρφωσης W των εξωτερικών δυνάμεων λόγω μετακίνησης των σημείων εφαρμογής των εξωτερικών φορτίων μετατρέπεται αποκλειστικά σε ενέργεια παραμόρφωσης U που ‘’αποθηκεύεται’’ υπό την μορφή τάσεων και παραμόρφωσεων. Η σχέση W=U προκύπτει από την αρχή διατήρησης της ενέργειας με την προυπόθεση οτι τα φορτία ασκούνται ομαλά ώστε να μην υπάρχουν κινητικές ή θερμικές ενεργειακές απώλειες και ότι το σύστημα δεν απορροφά ενέργεια.

Ελαστική πλαστική παραμόρφωση Η το εμβαδό της επιφάνειας ΟΑΒD είναι η πλαστική ενέργεια παραμόρφωσης και το εμβαδό της BDC είναι η ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης. Οι περισσότερες κατασκευές κατασκευάζονται έτσι ώστε τα υλικά να παραμένουν στην ελαστική περιοχή δηλαδή τα φορτία και κατ’ επέκτασει οι τάσεις να φτάνουν μέχρι το όριο διαρροής (σημείο Α) . Έτσι η ράβδος λειτουργεί σαν ελατήριο και μετά το πέρας της φόρτισης επανέρχεται στην αρχική της κατάσταση. Β Α C

Ελαστική γραμμική συμπεριφορά Προκύπτει λοιπόν οτι αυξανομένου του μήκους αυξάνεται και η ενέργεια παραμόρφωσης ανεξαρτήτως του Ρ.

Συνολική ενέργεια παραμόρφωσης Στα παρακάτω σώματα δίνονται οι σχέσεις υπολογισμού της συνολικής ενέργειας παραμόρφωσης για σύστημα ράβδων με διαφορετική διατομή και για κωνική ράβδο μεταβλητής διατομής.

Δυναμική φόρτιση Έστω φορτίο μάζας Μ. Η δυναμική ενέργεια του σε σχέση με το επίπεδο είναι M∙g∙h αυτή την χρονική στιγμή. Αυτή μετατρέπεται σε κινητική όταν το σώμα πέφτει. Συγκεκριμένα, την στιγμή που το κολάρο ακουμπά το οριζόντιο επίπεδο η δυναμική του ενέργεια μηδενίζεται ενώ η κινητική του είναι μέγιστη και ίση με: όπου

Θεωρήσεις ιδανικής συμπεριφοράς Για να θεωρήσουμε ιδανική την προηγούμενη κατάσταση θα πρέπει να ισχύουν οι εξής υποθέσεις: Το σώμα με την πτώση του δεν αναπηδά στο επίπεδο αλλά η σύγκρουση θεωρείται πλαστική. Η κινητική ενέργεια μετασχηματίζεται σε ενέργεια παραμόρφωσης της ράβδου που κινείται. Θεωρούμε την ράβδο αβαρή και οτι δεν υπάρχει μεταβολή της δυναμικής της ενέργειας. Θεωρούμε την συμπεριφορά της ράβδου ελαστική. Θεωρούμε οτι οι τάσεις που δημιουργούνται κατά την πτώση του σώματος κατανέμονται στο οριζόντιο επίπεδο ομοιόμορφα.

Υπολογισμός επιμήκυνσης ράβδου Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας έχουμε ότι η δυναμική ενέργεια του σώματος είναι ίση με την ενέργεια παραμόρφωσης. Η δυναμική ενέργεια είναι : , όπου Β το βάρος, h το ύψος και η μέγιστη επιμήκυνση της ράβδου. Η ενέργεια παραμόρφωσης της ράβδου θα είναι : Επειδή όμως U=E (1) → Η παραπάνω εξίσωση είναι β’ βαθμού ως πρός και η λύση για την θετική ρίζα είναι:

Υπολογισμός επιμήκυνσης ράβδου Από την (2) προκύπτει ότι η δmax αυξάνεται είτε με αύξηση του βάρους είτε με αύξηση του ύψους. Θέτοντας όπου δst η επιμήκυνση από το βάρος. Από την (3) προκύπτει ότι η δmax κάτω από δυναμική φόρτιση είναι πολύ μεγαλύτερη από ότι αν το ίδιο φορτίο επιβαλλόταν στατικά.

Υπολογισμός επιμήκυνσης ράβδου Για παράδειγμα άν το ύψος Όταν το ύψος είναι μεγαλύτερο σε σχέση με την στατική επιμήκυνση η εξίσωση μπορεί να γραφτεί : Το ίδιο προκύπτει και από την (4) άν παραληθφεί από το αριστερό μέρος το δmax .

Υπολογισμός σmax στη ράβδο Από την γενική εξίσωση έχουμε ότι : Η εξίσωση (8) είναι ανάλογη της (3) . Εάν h»δmax τότε :

Παρατηρήσεις Από την (9) προκύπτει ότι η άυξηση της κινητικής ενέργειας του σώματος που πέφτει αυξάνει την σmax ενώ αύξηση του όγκου AL την μειώνει. Αυτή η κατάσταση είναι διαφορετική από την στατική καταπόνηση όπου σst είναι ανεξάρτητη από το μήκος L και το μέτρο ελαστικότητας Ε αφού σst=B/A=Mg/A Συντελεστής πρόσκρουσης (impact factor)

Απότομα απιβαλλόμενο φορτίο Σε αυτή την περίπτωση παίρνουμε ότι το βάρος Β βρίσκεται σε h=0 και επιβάλλεται απότομα. Από την (3) για h=0 έχουμε ότι δmax=2δst και if=2 δηλαδή εάν το φορτίο επιβάλλεται απότομα διπλασιάζεται κατά δύο φορές η επιμήκυνση.

Παράδειγμα 1 Ας υποθέσουμε ότι άνθρωπος που ζυγίζει 80kg πραγματοποιεί αλμα από εξέδρα bangee jumping η οποία βρίσκεται 50 μέτρα πάνω απ την επιφάνεια της θάλασσας. Εάν το γινόμενο ΕΑ του λάστιχου είναι 2,5kN να υπολογίσετε το μήκος του έτσι ώστε ο άλτης ίσα που να αγγίξει την επιφάνεια της θάλασσας. Λύση Θεωρούμε δst την επιμήκυνση από το βάρος.

Παράδειγμα 1 Απ την σχέση (3) που αποδείξαμε νωρίτερα έχουμε ότι: Άρα λοιπόν λοιπόν το λάστιχο πρέπει να έχει το πολύ 22,93 μέτρα μήκος έτσι ώστε ο άλτης ίσα που να αγγίξει την επιφάνεια της θάλασσας.

Απόδειξη σχέση ενέργειας παραμόρφωσης Για ένα στοιχειώδη όγκο ισχύει: Για ένα γραμμικά ελαστικό μέσο ισχύει: σ=ε·Ε όπου (1) τότε Επομένως

Απόδειξη σχέση ενέργειας παραμόρφωσης Απ την σχέση (1) με αντικατάσταση συνεπάγεται ότι: Για Ν(x), P(x) σταθερά τότε απ το παραπάνω ολοκλήρωμα παίρνουμε την σχέση που μας δίνει την ένέργεια παραμόρφωσης:

Παράδειγμα 2 Η κατασκευή αποτελεί ένα δικτύωμα δύο ράβδων μήκους L οι οποίες έχουν άνοιγμα φ μοιρών και εφελκύονται με ένα φορτίο Ν. Το εμβαδό της διατομής της κάθε ράβδου είναι Α. Να υπολογιστεί η μετατόπιση x του κόμβου στον οποίο εφαρμόζεται το φορτίο. Λύση Η ενέργεια παραμόρφωσης του συστήματος είναι το άθροισμα των επιμέρους ενεργειών παραμόρφωσης των ραβδών δηλαδή . Επίσης απ την αρχή διατήρησης της ενέργειας έχουμε ότι W=U .

Παράδειγμα 2 Επειδή λόγω συμμετρίας έχουμε ότι Όπου Άρα Επειδή λόγω συμμετρίας έχουμε ότι Όπου Άρα Όμως W=U επομένως = →

Τέλος Ενότητας