Η ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
Ας υποθέσουμε: n ανεξάρτητες δοκιμές τύπου Bernoulli Ίση πιθανότητα επιτυχίας p (και προφανώς ίση πιθανότητα αποτυχίας q, αφού p+q=1άρα p=1-q ή q=1-p) Ο αριθμός των επιτυχιών θεωρείται ως μία τυχαία μεταβλητή (Χ) με κατανομή πιθανότητας γνωστή και ως Διωνυμική (Β) που συμβολίζεται ως:
(9.2) Χ ~ Β (n, p) που διαβάζεται: Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται κατά ή ακολουθεί τη Διωνυμική με παραμέτρους n, p
Αν αναζητούμε την πιθανότητα να έχουμε: Ακριβώς x επιτυχίες Σε n ανεξάρτητες επαναλήψεις Bernoulli Με σταθερή πιθανότητα επιτυχίας p, τότε αυτή υπολογίζεται από τη Διωνυμική Συνάρτηση Πιθανότητας: Όπου: Οι συνδυασμοί n δοκιμών ανά x φορές εμφάνισης της επιτυχίας
ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Πιθανότητες μέχρι μία συγκεκριμένη τιμή:
Η πιθανότητα εμφάνισης του ενδεχομένου που έχουμε ορίσει ως επιτυχία να εμφανιστεί περισσότερες από (χj) φορές:
Η πιθανότητα τυχαία μεταβλητή Χ που ακολουθεί το διωνυμικό νόμο, δηλαδή Χ~Β (n,p) να πάρει τιμές στο διάστημα (x1,x2] :
Για μικρό αριθμό x ο υπολογισμός των ατομικών πιθανοτήτων διευκολύνεται με τη χρήση του ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ:
Αν στην 9.3 όπου x θέσουμε το μηδέν θα έχουμε : Η σχέση αυτή δίνει τη (διωνυμική) πιθανότητα να μην εμφανιστεί καμία φορά το ενδεχόμενο που έχουμε ορίσει ως επιτυχία
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ
Εάν τυχαία μεταβλητή Χ~ Β(n,p) αποδεικνύεται ότι: ΜΕΣΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΑΣΣΥΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΚΥΡΤΩΣΗΣ