Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 2008-9 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 2008-9 Παρουσίαση Νο. 3 Δισδιάστατα σήματα και συστήματα #2

Projection-Slice Theorem (1/4) Χρησιμοποιείται στην τομογραφία Απεικόνιση του εσωτερικού στερεών σωμάτων (της τομής f(x,y) ) με μη επεμβατικό τρόπο Θυμίζουμε ότι για την συνεχή φυσική σκηνή f(x,y) το ζεύγος Fourier είναι ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Projection-Slice Theorem (2/4) Κατασκευή της 1-D συνάρτησης pθ(t) Κάθε τιμή της pθ(t) δίνεται από το άθροισμα των τιμών της τομής κατά μήκος των γραμμών που φαίνονται στο σχήμα ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Projection-Slice Theorem (3/4) Μετασχηματισμός Radon (προβολή της f(x,y) υπό γωνία θ ) Αλλαγή συντεταγμένων από το σύστημα t,u στο x,y Η συνάρτηση f(x,y) εξαρτάται από το υλικό της τομής αφού κάθε υλικό παρουσιάζει διαφορετικές ιδίοτητες (π.χ., απορρόφηση σε κάποια ακτινοβολία) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Projection-Slice Theorem (4/4) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Ανακατασκευή από προβολές 1/2 Ανακατασκευή από προβολές 1/2 Για την πλήρη ανακατασκευή του στερεού σώματος Εκτιμάται η F(Ω1,Ω2) και κατ’ επέκταση η f(x,y) από τον υπολογισμό της pθ(t) για διάφορες γωνίες στο διάστημα [0 π] Εφαρμόζεται η παραπάνω διαδικασία για διάφορα επίπεδα (τομές) και στη συνέχεια γίνεται η κατάλληλη αντιστοίχησή τους ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Ανακατασκευή από προβολές 2/2 (το παράδειγμα της αξονικής τομογραφίας) Ανακατασκευή από προβολές 2/2 (το παράδειγμα της αξονικής τομογραφίας) Ns : αριθμός εκπεμπομένων φωτονίων ανά χρονική μονάδα Nr : αριθμός λαμβανομένων φωτονίων ανά χρονική μονάδα Σύμφωνα με το νόμο Lambert-Beer : Όπου η α(d) είναι η σταθερά εκθετικής απόσβεσης κατά μήκος της διαδρομής d και δίνεται ως  Αν πάρουμε φυσικό λογάριθμο και στις δύο πλευρές του Νόμου Lambert-Beer βρίσκουμε την απορροφητικότητα δια μέσου της συγκεκριμένης διαδρομής  ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Σχέση Χώρου – Συχνότητας F(Ω1,Ω2) = FT[f(t1,t2)] f(t1,t2): απόλυτα ολοκληρώσιμη Εάν f(t1,t2): ζωνοπεριορισμένη  f(n1,n2) F(ω1,ω2) = “DS”FT[f(n1,n2)] (discrete space) Εάν f(n1,n2) περιορισμένης χωρικής επέκτασης  F(k1,k2) (δειγματοληψία του DSFT) F(k1,k2) = DFT[f(n1,n2)] ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Περιγραφή συχνοτικού περιεχομένου (1/5) To ζεύγος DFT για 2D σήματα είναι (με συμβολισμό πιο συνήθη σε ΨΕΑΕ): Εμφάνιση συχνοτήτων σε μονοδιάστατα σήματα ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Περιγραφή συχνοτικού περιεχομένου (2/5) Όμοια για τα δισδιάστατα σήματα Η ολίσθηση είναι της μορφής F(u,v)F(u-N/2,v-N/2) Χαμηλές συχνότητες Ομαλές περιοχές στην εικόνα Υψηλές συχνότητες Περιγράμματα και άκρα εικόνας λόγω παραθύρωσης ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Περιγραφή συχνοτικού περιεχομένου (3/5) Μετασχηματισμός Fourier (στο σύστημα αξόνων u-v), p0(t) (κατά μήκος του άξονα v), pπ/2(t) (κατά μήκος του άξονα u) v u Η υψηλή ενέργεια που εμφανίζεται στις υψηλές συχνότητες κατά μήκος των αξόνων δικαιολογείται από τις έντονες διακυμάνσεις και τυχόν ασυνέχειες κατά μήκος του άξονα t των καμπυλών pθ(t) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Περιγραφή συχνοτικού περιεχομένου (4/5) Μετασχηματισμός Fourier, p3π/4(t) (κατά μήκος της v=-u), pπ/4(t) (κατά μήκος της v=u) Ενώ στο άξονα v=-u υπάρχει ενέργεια στις υψηλές συχνότητες (η αντίστοιχη καμπύλη μεταβάλλεται γρήγορα) δεν συμβαίνει το ίδιο με τον άξονα v=u (η αντίστοιχη καμπύλη είναι σαφώς ομαλότερη) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Περιγραφή συχνοτικού περιεχομένου (5/5) Άλλα παραδείγματα: ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Πληροφορία πλάτους-φάσης (1/3) Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου είναι μιγαδική ποσότητα και έτσι μπορεί να γραφεί σε πολική μορφή Η πληροφορία φέρεται κυρίως από την φάση Φx( ) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Πληροφορία πλάτους-φάσης (2/3) Έστω η εικόνα x με F{x}=MxejΦx και δημιουργώ τις εικόνες xp, xm ώστε xp=F-1{cejΦx}, xm=F-1{Μxejf}, όπου c, f σταθερές Εικόνα x, εικόνα xp με c=1, εικόνα xm με f=0,4π ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Πληροφορία πλάτους-φάσης (3/3) Έστω οι εικόνες x,y με F{x}=MxejΦx, F{y}=MyejΦy και δημιουργώ τις εικόνες z, w ώστε z=F-1{MyejΦx}, w=F-1{ΜxejΦy} Εικόνα x Εικόνα y Εικόνα z Εικόνα w ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Το πρόβλημα της ανάκτησης πλάτους (1/4) Σύμφωνα με αυτό γίνεται προσπάθεια ανακατασκευής ενός σήματος x(n1,n2) μόνο από την φάση Φx του μετασχηματισμού Fourier Το σήμα x'(n1,n2) που προκύπτει ισούται με αx(n1,n2) Περιορισμοί: Το x(n1,n2) πραγματικό και πεπερασμένο Ο μετασχηματισμός Fourier δεν παραγοντοποιείται σε γινόμενο πολυωνύμων των ejω1 και ejω2 Στις εικόνες ισχύουν οι παραπάνω περιορισμοί ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Το πρόβλημα της ανάκτησης πλάτους (2/4) Δύο λύσεις για το πρόβλημα: Μέσω γραμμικού συστήματος Μέσω επαναληπτικής μεθόδου Γραμμικό σύστημα Αν Ν2 άγνωστοι τότε δειγματοληπτούμε σε Ν2 σημεία (ω1,ω2) Το σύστημα που προκύπτει είναι της μορφής Ax=0 οπότε η λύση είναι της μορφής αx(n1,n2) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Το πρόβλημα της ανάκτησης πλάτους (3/4) Η μέθοδος γραμμικού συστήματος είναι κατάλληλη για μικρές εικόνες αφού για παράδειγμα αν έχουμε εικόνα 512x512 τότε απαιτούνται 262144 εξισώσεις!!! Επαναληπτική μέθοδος Θέτει περιορισμούς Στον χωρικό πεδίο: πραγματικές τιμές και τα εκτός εικόνας εικονοστοιχεία μηδέν Στο συχνοτικό πεδίο: ο μετασχηματισμός Fourier δεν πρέπει να παραγοντοποιείται Κριτήριο σταματήματος: Η φάση του αποτελέσματος πρέπει να είναι ίση (ή ~ = ) με αυτή της αρχικής εικόνας ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Το πρόβλημα της ανάκτησης πλάτους (4/4) Επαναληπτική διαδικασία ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Δειγματοληψία (1/5) Η εικόνα ψηφιοποιείται για να γίνει η επεξεργασία της από υπολογιστή Η δειγματοληψία αναφέρεται στην διακριτοποίηση των αξόνων x,y της εικόνας (δηλ. του πεδίου ορισμού) Από το σήμα xα(t1,t2) λαμβάνεται το σήμα x(n1,n2) Ομοιόμορφη δειγματοληψία (εύκολη υλοποίηση) Ανομοιόμορφη δειγματοληψία (π.χ., περισσότερα δείγματα στα περιγράμματα) Δυο ενδιαφέροντα προβλήματα Σχέση φασμάτων συνεχούς και διακριτού σήματος Ανακατασκευή συνεχούς από διακριτό σήμα ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Δειγματοληψία (2/5) Πλέγμα δειγματοληψίας Ορθογώνιο πλέγμα t=Vn, t=[t1,t2]T, n=[n1, n2]T, V=[vij]2x2 x(n)=xα(Vn) Ορθογώνιο πλέγμα Εξαγωνικό πλέγμα (βέλτιστο για κυκλικά φάσματα) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Δειγματοληψία (3/5) Σχέση φασμάτων (FT – DSFT) x(n)=xα(Vn) Σχέση φασμάτων με χρήση ορθογώνιου πλέγματος x(n1,n2) = xα(n1T1,n2T2) , T=T1xT2 (χωρική περίοδος) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Δειγματοληψία (4/5) Παράδειγμα συνεχούς και διακριτού φάσματος ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Δειγματοληψία (5/5) Ανακατασκευή αναλογικού σήματος Εφαρμογή ορίου Nyquist σε κάθε συνιστώσα κατά την δειγματοληψία για να αποφευχθεί η αναδίπλωση συχνότητας ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Κβαντισμός (1/3) Διαδικασία κβαντισμού Ο κβαντισμός αναφέρεται στη διακριτοποίηση της τιμής f του κάθε εικονοστοιχείου (δηλαδή του πεδίου τιμών) Διαδικασία κβαντισμού To πεδίο τιμών της f χωρίζεται σε L υποδιαστήματα Οι ακραίες τιμές κάθε υποδιαστήματος είναι τα όρια απόφασης di-1, di και μια τιμή μεταξύ αυτών ονομάζεται επίπεδο κβάντισης ri Αν di-1< f ≤ di τότε το fq= Q(f) = ri ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Κβαντισμός (2/3) Θόρυβος κβαντισμού: f=fq+eq Ομοιόμορφος κβαντισμός To eq εξαρτάται από το σήμα και το L Ομοιόμορφος κβαντισμός di-di-1=Δ, ri=(di+di-1)/2, 1≤i≤L, Δ=(dL-d0)/2(# ψηφίων) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Παράδειγμα κβαντισμού (3/3) Επανακβαντισμός εύρους τιμών [0:255] στα πέντε επίπεδα [0:51:255] και αντιστοίχιση στην κεντρική τιμή Παρατηρήστε ότι στην νέα εικόνα εμφανίζονται μόνο πέντε επίπεδα του γκρι ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Διανυσματικός κβαντισμός (1/4) Σε αυτή την περίπτωση οι ποσότητες που κβαντίζονται είναι Ν-διάστατα διανύσματα που παράγονται είτε από μια διανυσματική πηγή είτε μετά από ομαδοποίηση βαθμωτών ποσοτήτων Δημιουργείται ένας Ν-διάστατος χώρος Διαδικασία κβαντισμού (δοθέντος του διαν. κβαντιστή) Ο χώρος είναι διαχωρισμένος σε L υποπεριοχές Ri Τα όρια αυτών των υποπεριοχών είναι τα όρια απόφασης και επιλέγεται κάποιο διάνυσμα εντός των ορίων που ονομάζεται επίπεδο κβάντισης ri Αν το διάνυσμα g ανήκει στην περιοχή Ri τότε το gq= =Q(g)=ri και g=gq+eq ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Παράδειγμα διανυσματικού κβαντισμού (2/4) Έστω g=[g1 g2]T, 0≤g1,g2≤1 και L=4 Οι περιοχές μπορούν να έχουν οποιοδήποτε σχήμα και τα διανύσματα ri μπορεί να μην είναι στο κέντρο κάθε περιοχής ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Διανυσματικός κβαντισμός (3/4) Επιλογή Ri, ri Βέλτιστη επιλογή με βάση κάποιο κριτήριο (π.χ. Ευκλείδιο απόσταση) D=E[d(g,gq)], d(g,gq)=(gq-g)T(gq-g) Για τον βέλτιστο διανυσματικό κβαντιστή πρέπει να ισχύουν οι εξής ιδιότητες (1) gq=Q(g)=ri, αν και μόνο αν d(g,ri)≤d(g,rj), j≠i, 1≤j≤L (2) To ri πρέπει να είναι κεντροειδές, δηλαδή ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ

Διανυσματικός κβαντισμός (4/4) Ο καθορισμός των ri μπορεί να γίνει με τον αλγόριθμο Κ-means Επιλέγονται τυχαία M (Μ>>L) διανύσματα gi (διανύσματα εκπαίδευσης) Από αυτά επιλέγονται L και θεωρούνται τα κεντροειδή διανύσματα. Χρησιμοποιώντας το MSE D (MSE Distance) κατηγοριοποιούνται τα διανύσματα στις L υποπεριοχές (ιδιότητα 1 του βέλτιστου κβαντιστή) Για κάθε υποπεριοχή υπολογίζονται τα νέα κεντροειδή - Όταν χρησιμοποιείται το MSE Distance τότε τα κεντροειδή υπολογίζονται από τον μέσο όρο των διανυσμάτων κάθε περιοχής Επιστροφή στο βήμα 3 χρησιμοποιώντας να νέα κεντροειδή – αυτή η διαδικασία συνεχίζεται έως ότου τα κεντροειδή παραμείνουν τα ίδια ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ